辽宁省抚顺市省重点高中协作校2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题

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2018-2019 学年度下学期“抚顺六校协作体”期末考试 高二数学（文）试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的） 1.设全集 ，集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用补集的定义求出 ，再利用交集的定义得出集合 . 【详解】 ， ， ，因此， ， 故选：B. 【点睛】本题考查补集和交集的混合运算，要充分理解补集和交集的定义，在求解无限数集 之间的运算时，可以利用数轴来理解，考查计算能力，属于基础题. 2.若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由题 ．故本题答案选 ． 3.若函数 ，则 （ ） A. B. C. D. U = R { }3A x x= ≥ { }0 5B x x= < ≤ ( )U A B = { }0 3x x< ≤ { }0 3x x< < { }0 3x x≤ ≤ { }0 3x x≤ < U A ( )U A B U R= { }3A x x= ≥ { }3U A x x∴ = < ( ) { }0 3U A B x x∩ = < < 3 4z i= + z z 1 1− 3 4 5 5 i+ 3 4 5 5 − i 3-4i 3-4i 3 4= = - i|3+4i| 5 5 5 z z = D ( ) 2 2 , 2 5 , 2 xe xf x x x − <=  − ≥ ( )( )2f f = e 4 1 e 1 【答案】C 【解析】 【分析】 利用分段函数 的解析式先计算出 的值，再计算出 的值. 【 详 解 】 ， ， 因 此 ， ，故选：C. 【点睛】本题考查分段函数值的计算，解题时要充分利用分段函数的解析式，对于多层函数 值的计算，采用由内到外逐层计算，考查计算能力，属于基础题. 4.若 是不全相等的实数，求证： ． 证明过程如下： ， ， ， ， 又 不全相等， 以上三式至少有一个“ ”不成立， 将以上三式相加得 ， ． 此证法是（ ） A. 分析法 B. 综合法 C. 分析法与综合法并用 D. 反证法 【答案】B 【解析】 【详解】因为，综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理， 最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐 步推向“未知”，所以，本题用的是综合法，故选 B. 5.已知变量 、 之间的线性回归方程为 ，且变量 、 之间的一-组相关 数据如下表所示，则下列说法错误的是（ ） ( )y f x= ( )2f ( )( )2f f ( ) 2 2 , 2 5 , 2 xe xf x x x − <=  − ≥ ( ) 22 5 2 1f∴ = − = ( )( ) ( ) 1 2 12 1f f f e e −= = = a b c， ， 2 2 2a b c ab bc ca+ + > + + a b c∈R ， ， 2 2 2a b ab∴ + ≥ 2 2 2b c bc+ ≥ 2 2 2c a ac+ ≥ a b c ， ， ∴ = ∴ 2 2 22( ) 2( )a b c ab bc ac+ + > + + 2 2 2a b c ab bc ca∴ + + > + + x y 0.7 10.3y x= − + x y A. 可以预测，当 时， B. C. 变量 、 之间呈负相关关系 D. 该回归直线必过点 【答案】B 【解析】 【分析】 将 的值代入回归直线方程可判断出 A 选项的正误；将 的坐标代入回归直线方程 可计算出实数 的值，可判断出 B 选项的正误；根据回归直线方程的斜率的正负可判断出 C 选项的正误；根据回归直线过点 可判断出 D 选项的正误. 【详解】对于 A 选项，当 时， ，A 选项正确； 对于 B 选项， ， ，将点 的坐标代入回 归直线方程得 ，解得 ，B 选项错误； 对于 C 选项，由于回归直线方程的斜率为负，则变量 、 之间呈负相关关系，C 选项正确； 对于 D 选项，由 B 选项可知，回归直线 必过点 ，D 选项正确.故选：B. 【点睛】本题考查回归直线方程有关命题的判断，解题时要熟悉与回归直线有关的结论，考 查分析问题和解决问题的能力，属于基础题. 6.设 ， ， ，则 、 、 的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用指数函数与对数函数的单调性比较 、 、 三个数与 和 的大小，从而可得出这三个 x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 20x = 3.7y = − 4m = x y ( )9,4 20x = ( ),x y m ( ),x y 20x = 0.7 20 10.3 3.7y = − × + = − 6 8 10+12 92x + += = 6 3 2 11 4 4 m my + + + += = ( ),x y 11 0.7 9 10.3 44 m + = − × + = 5m = x y 0.7 10.3y x= − + ( )9,4 1.22a = ln 2b = 2 1log 3c = a b c a b c> > a c b> > b a c> > c a b> > a b c 0 1 数的大小关系. 【详解】由于指数函数 为增函数，则 . 由于对数函数 在 上为增函数，则 ，即 . 由于对数函数 在 上为增函数，则 ，即 . 因此， ，故选：A. 【点睛】本题考查指数式、对数式的大小比较，一般利用中间值 、 ，结合指数函数和对数 函数的单调性来得出各数的大小关系，考查逻辑推理能力，属于中等题. 7.函数 的图象大致为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题中表达式得到当 时，分母趋向于 0，分子趋向于 4，整个分式趋向于 ，故排 除 BC，当 时，分母趋向于 0，但是小于 0，分子趋向于 4，整个分式趋向于 ，故排 除 A.进而得到选项. 【详解】根据题干中的表达式得到 x 不能等于 2，故图中必有渐近线，x=2 或-2，当 时，分母趋向于 0，分子趋向于 4，整个分式趋向于 ，故排除 BC，当 时，分母趋 向于 0，但是小于 0，分子趋向于 4，整个分式趋向于 ，故排除 A. 2xy = 1.2 02 2 1a = > = lny x= ( )0, ∞+ ln1 ln 2 ln e< < 0 1b< < 2logy x= ( )0, ∞+ 2 2 1log log 13 < 0c < a b c> > 0 1 2 ( ) 2 4x xf x = − 2x +→ +∞ +-2x → -∞ 2x +→ +∞ +-2x → -∞ 故答案 ：D. 【点睛】这个题目考查了已知函数的表达式选择函数的图像，这类题目通常是从表达式入手， 通过表达式得到函数的定义域，值域，奇偶性，等来排除部分选项，或者寻找函数的极限值， 也可以排除选项. 8.已知 是定义在 上的函数，满足 ， ，当 时， ，则函数 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意可知，函数 是以 为周期的周期函数，且为奇函数，求出函数 在 区间 上的最大值即可作为函数 在 上的最大值. 【 详 解 】 ， ， 则 函 数 为 奇 函 数 ， 则 . 由 ，所以，函数 是以 为周期的周期函数， 且 ，又 ，所以， . 当 时， ， 那么当 时， ， 所以，函数 在区间 上的值域为 ， 因此，函数 的最大值为 ，故选：A. 【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性与函数的最值，解题时要充分注意函数的最值与单 调性、周期性之间的关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 为 ( )f x R ( ) ( ) 0f x f x+ − = ( ) ( )1 1f x f x− = + ( )1,0x∈ − ( ) 2f x x x= + ( )f x 1 4 1 4 − 1 2 − 1 2 ( )y f x= 2 ( )y f x= ( ]1,1− ( )y f x= R ( ) ( ) 0f x f x+ − = ( ) ( )f x f x∴ − = − ( )y f x= ( )0 0f = ( ) ( )1 1f x f x− = + ( )y f x= 2 ( ) ( )1 1f f− = ( ) ( )1 1f f− = − ( )1 0f = 1 0x− < < ( ) 2 2 1 1 1 ,02 4 4f x x x x   = + = + − ∈ −      0 1x< < ( ) 10, 4f x  ∈   ( )y f x= ( ]1,1− 1 1,4 4  −   ( )y f x= 1 4 9.函数 为 上的偶函数，且在 上单调递减，若 ，则满足 的 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 将不等式变为 ，由偶函数 性质得出 ，由函数 在 上单调递减得出 ，解出即可. 【详解】 ，由 得 ， 由于函数 为偶函数，则 ， ， 函数 在 上单调递减， ，可得 或 ， 解得 或 ，因此，满足 的 的取值范围是 ， 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解函数不等式，同时也考查了对数不等式的求解， 在解题时，若函数 为偶函数，可利用性质 ，可将问题转化为函数 在 上的单调性求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 10.设函数 ，则 零点的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 的 ( )f x R ( )0, ∞+ ( )1 1f = − ( )lg 1f x ≤ − x [ )10,+∞ 1 ,1010      [ )10, 10,10   +∞    ( ] [ ), 1 1,−∞ − +∞ ( ) ( )lg 1f x f≤ ( ) ( )lg 1f x f≤ ( )y f x= ( )0, ∞+ lg 1x ≥ ( )1 1f = − ( )lg 1f x ≤ − ( ) ( )lg 1f x f≤ ( )y f x= ( ) ( )f x f x= ( ) ( )lg 1f x f∴ ≤  ( )y f x= ( )0, ∞+ lg 1x∴ ≥ lg 1x ≤ − lg 1x ≥ 10 10x< ≤ 10x ≥ ( )lg 1f x ≤ − x [ )10, 10,10   +∞    ( )y f x= ( ) ( )f x f x= ( )y f x= [ )0,+∞ ( ) ln 2 6f x x x= − + ( )f x 3 1 2 0 在同一坐标系中作出函数 和函数 的图象，观察两个函数的交点个数，可得 出函数 的零点个数. 【详解】令 ，得 ，即 ， 则函数 的零点个数等于函数 和函数 的交点个数， 在同一坐标系中作出函数 和函数 的图象，如下图所示： 由上图可知，函数 和函数 有两个交点， 因此，函数 的零点个数为 ，故选：C. 【点睛】本题考查函数的零点个数的求解，一般有以下两种方法： （1）代数法：解方程 的根； （2）图象法：求函数 的零点个数，可转化为两个函数 和函数 图象的交点个数. 11.已知幂函数 的图象过点 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 lny x= 2 6y x= − ( )y f x= ( ) 0f x = ln 2 6 0x x− + = ln 2 6x x= − ( )y f x= lny x= 2 6y x= − lny x= 2 6y x= − lny x= 2 6y x= − ( )y f x= 2 ( ) 0f x = ( ) ( ) ( )f x g x h x= − ( )y g x= ( )y h x= ( )y f x= 33, 3       2 1log 2f f    =     2 2 2 2− 1 2 【分析】 设 ，将点 的坐标代入函数 的解析式，求出 的值，然后再计算 出 的值. 【详解】设 ，由题意可的 ，即 ， ，则 ， 所以， ， 因此， ，故选：B. 【点睛】本题考查指数幂的计算，同时也考查了对数运算，解题的关键就是求出幂函数的解 析式，同时利用指数幂的运算性质进行计算，考查计算能力，属于中等题. 12.已知函数 满足 ，且存在实数 使得不等式 成立，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 在函数 分别令 和 ，可得出建立关于 和 的方程组，求出这两个 值，可得出函数 的解析式，再利用导数求出函数 的最小值，可解出实数 的取值范围. 【详解】由题意可得 ，解得 ， ， 存在实数 使得不等式 成立， . ( ) af x x= 33, 3       ( )y f x= a 2 1log 2f f         ( ) af x x= ( ) 33 3 3 af = = 1 23 3a −= 1 2a∴ = − ( ) 1 2f x x −= 1 12 21 1 22 2f −   = =       1 1 12 2 2 2 2 1 1 1log log 2 2 22 2 2f f f f −       = = = = =                ( )g x ( ) ( ) ( )1 211 0 2 xg x g e g x x−= − + 0x ( )0m g x≥ m 1, 2  −∞   ( ],1−∞ [ )1,+∞ 1 ,2  +∞  ( )y g x= 0x = 1x = ( )0g ( )1g ( )y g x= ( )y g x= m ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 11 1 0 2 gg e g g g  =  = − + ( ) ( ) 10 2 1 2 g eg  =  = ( ) 2 2 xe x xg x + −∴ =  0x ( )0m g x≥ ( )minm g x∴ ≥ ，令 ，得 ，由于函数 单调递增， 当 时， ；当 时， 所以，函数 在 处取得极小值，亦即最小值，即 ， ，因此，实数 的取值范围是 ，故选：D. 【点睛】本题考查函数解析式的求解，同时也考查了利用导数研究不等式能成立问题，转化 技巧如下： （1） ， （或 ） （或 ）； （2） ， （或 ） （或 ）. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.函数 在 上的最大值与最小值的和为_______. 【答案】 【解析】 【分析】 判断出函数 在 上的单调性，可求出该函数的最大值和最小值，相加即可 得出答案. 【 详 解 】 由 于 函 数 在 上 单 调 递 减 ， 则 该 函 数 的 最 大 值 为 ，最小值为 ， 因此，函数 在 上的最大值与最小值的和为 ，故答案为： . 【点睛】本题考查函数在区间上最值的求解，解题时要充分分析函数的单调性，利用函数单 调性得出函数的最大值和最小值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. . ( ) 2 1 2 xe xg x + −′ = ( ) 0g x′ = 0x = ( )y g x′= 0x < ( ) 0g x′ < 0x > ( ) 0g x′ > ( )y g x= 0x = ( ) ( )min 10 2g x g= = 1 2m∴ ≥ m 1 ,2  +∞  x D∃ ∈ ( )a f x> ( )a f x≥ ( )mina f x⇔ > ( )mina f x≥ x D∃ ∈ ( )a f x< ( )a f x≤ ( )maxa f x⇔ < ( )maxa f x≤ ( ) 2 1f x x = − [ ]2,0− 8 3 − ( ) 2 1f x x = − [ ]2,0− ( ) 2 1f x x = − [ ]2,0− ( )max 2 2 2 1 3f x = = −− − ( ) ( )min 0 2f x f= = − ( ) 2 1f x x = − [ ]2,0− 2 823 3 − − = − 8 3 − 14.函数 的单调递增区间为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 通过换元，找到内外层函数的单调性，根据复合函数单调性的判断方法，得到单调区间. 【详解】函数 ，设 t= ,函数化为 ，外层函数是减函数，要 求整个函数的增区间，只需要求内层函数的减区间，即 t= 的减区间，为 . 故答案为： . 【点睛】这个题目考查了复合函数单调区间的求法，满足同增异减的规则，难度中等. 15.现有如下假设： 所有纺织工都是工会成员，部分梳毛工是女工，部分纺织工是女工，所有工会成员都投了健 康保险，没有一个梳毛工投了健康保险. 下列结论可以从上述假设中推出来的是__________．（填写所有正确结论的编号） ①所有纺织工都投了健康保险 ②有些女工投了健康保险 ③有些女工没有投健康保险 ④ 工会的部分成员没有投健康保险 【答案】①②③ 【解析】 ∵所有纺织工都是工会成员，所有工会成员都投了健康保险 ∴所有纺织工都投了健康保险，故①正确； ∵所有纺织工都是工会成员，所有工会成员都投了健康保险，部分纺织工是女工 ∴有些女工投了健康保险，故②正确； ∵部分梳毛工是女工，没有一个梳毛工投了健康保险 ∴有些女工没有投健康保险，故③正确； ∵所有工会成员都投了健康保险 ∴工会的部分成员没有投健康保险是错误的，故④错误. 故答案为①②③. 2 21( ) ( )2 x xf x −= ( ,1]−∞ ( ) 2 21 2 x x f x − =    2 2x x− 1 2 t y  =    2 2x x− ( ],1−∞ ( ],1−∞ 16.函数 f(x)＝x(x－m)2 在 x＝1 处取得极小值，则 m＝________. 【答案】1 【解析】 f′(1)＝0 可得 m＝1 或 m＝3. 当 m＝3 时，f′(x)＝3(x－1)(x－3)， 13，f′(x)>0，此时 x＝1 处取得极大值，不合题意，所以 m＝1. 三、简答题（本大题共 5 小题，每小题 12 分，共 60 分） 17.（Ⅰ）若 ，求 ， ； （Ⅱ）在复平面内，复数 对应的点在第一象限，求实数 的取值 范围. 【答案】（Ⅰ） ， ；（Ⅱ） . 【解析】 【分析】 （Ⅰ）利用复数的乘法法则可得出复数 ，再利用共轭复数的定义和模长公式可求出 和 ； （Ⅱ）根据题意得出 ，解出这个不等式组可得出实数 的取值范围. 【详解】（Ⅰ） ， 因此， ， ； （Ⅱ）由已知得： ，解得 ， 或 . 因此，实数 的取值范围是 . 【点睛】本题考查复数的乘法、共轭复数、复数的模以及复数的几何意义，解题的关键就是 利用复数的四则运算将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题. 18.设 ，且 . ( )( )3 2 4z i i= − + − z z ( ) ( )22 2z m m m i= + + − − m 2 14z i= − − 10 2z = ( ) ( )2, 1 2,− − +∞ z z z 2 2 0 2 0 m m m + >  − − > m ( )( ) 23 2 4 6 12 2 4 2 14z i i i i i i= − + − = − + + − = − + 2 14z i= − − 4 196 10 2z = + = 2 2 0 2 0 m m m + >  − − > 2 1 2 m m m > −  − 或 2 1m∴− < < − 2m > m ( ) ( )2, 1 2,− − +∞ ( ) ( ) ( )log 1 log 3a af x x x= + + − ( )0, 1a a> ≠ ( )1 2f = - （Ⅰ）求 的值及 的定义域； （Ⅱ）求 在区间 上的最小值. 【答案】（Ⅰ） ， 的定义域为 ；（Ⅱ） . 【解析】 【分析】 （Ⅰ）利用 可求出实数 的值，再由真数大于零可求出函数 的定义域； （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，设 ，求出 在 上 的取值范围，再由对数函数的单调性得出函数 在区间 上的最小值. 【详解】（Ⅰ）由 得 ，解得 ， 由 得 ，因此，函数 的定义域为 ； （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ， 令 ，由 得 ， 则原函数为 ， ，由于该函数 在 上单调递减， 所以 ，因此，函数 在区间 上的最小值是 . 【点睛】本题考查对数的计算、对数函数的定义域以及对数型复合函数的最值，对于对数型 复合函数的最值，要求出真数的取值范围，并结合同底数的对数函数单调性求解，考查分析 问题和解决问题的能力，属于中等题. 19.某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，先统计本校高三年级每个学生一 学期数学成绩平均分（采用百分制），剔除平均分在 分以下的学生后，共有男生 名，女 生 名.现采用分层抽样的方法，从中抽取了 名学生，按性别分为两组，并将两组学生 成绩分为 组，得到如下所示频数分布表. a ( )f x ( )f x 30, 2      1 2a = ( )y f x= ( )1,3− 2− ( )1 2f = - a ( )y f x= ( ) ( )2 1 2 log 2 3f x x x= − + + 2 2 3t x x= − + + t 30, 2x  ∈   ( )y f x= 30, 2      ( )1 2f = - ( )1 log 2 log 2 2a af = + = − 1 2a = 1 0 3 0 x x + >  − > 1 3x- < < ( )y f x= ( )1,3− ( ) ( )( ) ( )2 1 1 2 2 log 1 3 log 2 3f x x x x x= + − = − + + 2 2 3t x x= − + + 30, 2x  ∈   ( ) [ ]21 4 3,4t x= − − + ∈ 1 2 logy t= [ ]3,4t ∈ 1 2 logy t= [ ]3,4t ∈ min 1 2 log 4 2y = = − ( )y f x= 30, 2      2− 30 300 200 100 6 分数段 男 女 （Ⅰ）规定 分以上为优分（含 分），请你根据已知条件作出 列联表. 优分 非优分 合计 男生 女生 合计 （Ⅱ）根据你作出的 列联表判断是否有 以上的把握认为“数学成绩与性别有关”. 附表及公式： ，其中 . 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）没有. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）由 分以上为优分并结合表格中的数据可得出 列联表； （Ⅱ）根据 列联表中的数据计算出 的观测值，再将观测值与 进行大小比较，可 对题中的结论正误进行判断. 【详解】（Ⅰ）由已知得 列联表如下： 优分 非优分 合计 [ )40,50 [ )50,60 [ )60,70 [ )70,80 [ )80,90 [ ]90,100 3 9 18 15 6 9 6 4 5 10 13 2 80 80 2 2× 100 2 2× 90% ( )2 0P K k≥ 0.100 0.050 0.010 0.001 0k 2.706 3.841 6.635 10.828 ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + 80 2 2× 2 2× 2K 2.706 2 2× 男生 女生 合计 （Ⅱ） ， 因为 ，所以没有 以上的把握认为“数学成绩与性别有关”. 【点睛】本题考查 列联表的完善以及独立性检验基本思想的应用，解题的关键就是结合 的计算公式以及临界值表，计算出犯错误的概率，考查计算能力，属于基础题. 20.已知函数 f （x）＝x3＋（1－a）x2－a（a＋2）x＋b（a，b∈R）． （Ⅰ）若函数 f （x） 图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求 a，b 的值； （Ⅱ）若曲线 y＝f （x）存在两条垂直于 y 轴的切线，求 a 的取值范围． 【答案】（I） ；（II） . 【解析】 【详解】试题分析：（I）由函数 的图象过原点可求得 ，由在原点处的切线斜率为 可得 进而可求得 ；（II）由曲线 存在两条垂直于 轴的 切线得 有两个不同的根，即 ，可解得 的取值范围. 试题解析： ． （Ⅰ）由题意得 ，解得 ． （Ⅱ）∵曲线 存在两条垂直于 轴的切线， ∴关于 的方程 有两个不相等的实数根， ∴ 即 ∴ 的 15 45 60 15 25 40 30 70 100 ( )2 2 100 15 25 15 45 1.78660 40 30 70K × × − ×= ≈× × × 1.786 2.706< 90% 2 2× 2K ( )f x 3− ( )y f x= y a 2( ) 3 2(1 ) ( 2)f x x a x a a= − − +′ + y 2( ) 3 2(1 ) ( 2) 0f x x a x a a= + − − + =′ ∴a 的取值范围是 考点：导数的几何意义. 21.已知函数 . （Ⅰ）当 时，求 的单调区间； （Ⅱ）若函数 与 图象在 上有两个不同的交点，求实数 的取值范 围. 【答案】（Ⅰ）函数 的增区间为 ，减区间 ；（Ⅱ） . 【解析】 【分析】 （Ⅰ）将 代入函数 解析式，求出该函数的定义域和导数 ，然后分别 解不等式 和 可得出函数 的增区间和减区间； （Ⅱ）令 得出 ，问题转化为：当直线 与函数 在区间 上的图象有两个交点时，求实数 的取值范围，并利用导数 分析函数 在区间 上的单调性、极值和端点函数值，利用数形结合思想 可得出实数 的取值范围，即可求出实数 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）当 时， ，定义域为 ， 且 . 令 ，即 ，解得 ； 的 ( ) ( )12lnf x x ax a Rx = + + ∈ 2a = ( )f x ( )f x ( )g x ax m= − 1 ,ee      m ( )y f x= 1 3 ,2  − + +∞    1 30, 2  − +    [ )2 ,2ln 2 2e− − 2a = ( )y f x= ( )f x′ ( ) 0f x′ > ( ) 0f x′ < ( )y f x= ( ) ( )f x g x= 12ln x mx + = − y m= − ( ) 12lnh x x x = + 1 ,ee      m ( ) 12lnh x x x = + 1 ,ee      m− m 2a = ( ) 12ln 2f x x xx = + + ( )0, ∞+ ( ) 2 2 2 2 1 2 2 12 x xf x x x x + −′ = − + = ( ) 0f x′ > 22 2 1 0x x+ − > 1 3 2x − +> 令 ，即 ，解得 . 因此，函数 的增区间为 ，减区间 ； （Ⅱ）由已知得： 在 有两个不相等的实数根. 令 ， ，由 得 . 当 时， ，此时，函数 为减函数； 当 时， ，此时，函数 为增函数. 所以，函数 在 处取得极小值 ， 又 ， 且 ， 当 时，直线 与函数 在区间 上的图象 有两个交点， ， 因此，实数 的取值范围是 . 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数的零点个数 问题，在求解含单参数的函数零点个数问题时，可充分利用参变量分离法转化为参数直线与 定函数的交点个数问题，利用数形结合思想求解，考查化归与转化思想，属于中等题. 四、选做题（本大题共 1 小题，共 10 分，请考生在 22、23 题中任选- -题作答。 如果多做， 则按所做的第一题计分） 22.以平面直角坐标系的坐标原点 为极点，以 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直 线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的极坐标方程为 . ( ) 0f x′ < 22 2 1 0x x+ − < 1 30 2x − +< < ( )y f x= 1 3 ,2  − + +∞    1 30, 2  − +    12ln x mx + = − 1 ,ee      ( ) 12lnh x x x = + ( ) 2 2 2 1 2 1xh x x x x −= − = ( ) 0h x = 1 2x = 1 1, 2x e  ∈   ( ) 0h x′ ≤ ( )y h x= 1 ,2x e ∈   ( ) 0h x′ ≥ ( )y h x= ( )y h x= 1 2x = 1 2ln 2 22h  = − +   1 2h ee   = − +   ( ) 12h e e = + ( )1h h ee   <   2ln 2 2 2m e− + < − ≤ − + y m= − ( ) 12lnh x x x = + 1 ,ee      2 2ln 2 2e m∴ − ≤ < − m [ )2 ,2ln 2 2e− − O x l 12 2 31 2 x t y t  = −  = − + t C 4cosρ θ= （Ⅰ）求曲线 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线 与曲线 相交于 、 两点，求 . 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） . 【解析】 【分析】 （Ⅰ）在曲线 的极坐标方程两边同时乘以 ，再由 可将曲线 的极坐标方程 化为直角坐标方程； （Ⅱ）设 、 在直线 上对应的参数分别为 、 ，将直线 的参数方程与曲线 的直角坐 标方程联立，列出 和 ，由 可计算出 的值. 【详解】（Ⅰ）在曲线 的极坐标方程两边同时乘以 得 ， 曲线 的直角坐标方程为 ； （Ⅱ）设 、 在直线 上对应的参数分别为 、 ， 将直线 的参数方程代入 ，整理得 ， 则 ， ， ， . 【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的互化，同时也考查直线截圆所得弦长的计算，可 将直线的参数方程与圆的普通方程联立，利用 的几何意义结合韦达定理求解，也可以计算出 圆心到直线的距离，利用勾股定理计算出弦长，考查运算求解能力，属于中等题. 23.已知函数 . （Ⅰ）若 ，解不等式 ； （Ⅱ）若 ，使得 成立，求实数 的取值范围. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） . C l C A B AB 2 2 4 0x y x+ − = 15 C ρ 2 2 2 cos x y x ρ ρ θ  = +  = C A B l 1t 2t l C 1 2t t+ 1 2t t ( )2 1 2 1 2 1 24AB t t t t t t= − = + − AB C ρ 2 4 cosρ ρ θ= ∴ C 2 2 4 0x y x+ − = A B l 1t 2t l 2 2 4 0x y x+ − = 2 3 3 0t t− − = 3 4 3 15 0∆ = + × = > ∴ 1 2 3t t+ = 1 2 3t t = − ∴ ( )2 1 2 1 2 1 24 15AB t t t t t t= − = + − = t ( ) 1f x x x a= − + − 1a = − ( ) 3f x ≥ x R∃ ∈ ( ) 2f x < a 3 3, ,2 2    −∞ − +∞      ( )1,3− 【解析】 【分析】 （Ⅰ）将 代入函数 的解析式，然后分 、 和 三种情况分 别解不等式 ，可得出该不等式的解集； （Ⅱ）由题意得出 ，然后利用绝对值三角不等式求出函数 的最小值， 解出不等式 ，可得出实数 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）若 ， ，即 ， 当 时， ，即有 ； 当 时， ，不成立； 当 时， ，解得 . 综上，不等式 的解集为 ； （2） ，使得 成立，即有 ， 由绝对值三角不等式可得 ， 则 ，即 ，解得 . 因此，实数 的取值范围为 . 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，同时也考查了绝对值不等式成立中的参数取值范围 的求解，要结合已知条件转化为函数的最值来求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等 题. 1a = − ( )y f x= 1x ≤ − 1 1x− < < 1x ≥ ( ) 3f x ≥ ( )min 2f x < ( )y f x= ( )min 2f x < a 1a = − ( ) 3f x ≥ 1 1 3x x− + + ≥ 1x ≤ − 1 1 3x x− − − ≥ 3 2x ≤ − 1 1x− < < 1 1 2 3x x− + + = ≥ 1x ≥ 1 1 2 3x x x− + + = ≥ 3 2x ≥ ( ) 3f x ≥ 3 3, ,2 2    −∞ − +∞      x R∃ ∈ ( ) 2f x < ( )min 2f x < ( ) 1f x x x a= − + − ≥ 1 1x x a a− − + = − 1 2a − < 2 1 2a− < − < 1 3a− < < a ( )1,3−