2018届二轮复习第71讲　概　率课件（全国通用）

2018届二轮复习第71讲　概　率课件（全国通用）

第 1 讲　概　率 专题七　概率与统计 栏目索引 高考 真题体验 1 热点 分类突破 2 高考 押题精练 3 1.(2016· 课标全国乙 ) 为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 ( 　　 ) 解析 √ 高考真题 体验 1 2 3 4 解析　 将 4 种颜色的花任选两种种在一个花坛中 ， 余下 2 种种在另一个花坛，有 (( 红黄 ) 、 ( 白紫 )) ， (( 白紫 ) 、 ( 红黄 )) ， (( 红白 ) 、 ( 黄紫 )) ， (( 黄紫 ) 、 ( 红白 )) ， (( 红紫 ) 、 ( 黄白 )) ， (( 黄白 ) 、 ( 红紫 )) 共 6 种种法 ， 其中 红色和紫色不在一个花坛的种数有 (( 红黄 ) 、 ( 白紫 )) ， (( 白紫 ) 、 ( 红黄 )) ， (( 红白 ) 、 ( 黄紫 )) ， (( 黄紫 ) ， ( 红白 )) ，共 4 种 ， 1 2 3 4 2.(2016· 课标全国乙 ) 某公司的班车在 7 ： 30,8 ： 00,8 ： 30 发车，小明在 7 ： 50 至 8 ： 30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 ( 　　 ) 解析 1 2 3 4 √ 解析　 如图所示，画出时间轴： 1 2 3 4 小明到达的时间会随机的落在图中线段 AB 中，而当他的到达时间落在线段 AC 或 DB 时，才能保证他等车的时间不超过 10 分钟， 3.(2016· 北京 ) 袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半 . 甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒 . 重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则 ( 　　 ) A. 乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B. 乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C. 乙盒中红球不多于丙盒中红球 D. 乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 1 2 3 4 解析 √ 1 2 3 4 解析　 取两个球往盒子中放有 4 种情况： ① 红＋红，则乙盒中红球数加 1 ； ② 黑＋黑，则丙盒中黑球数加 1 ； ③ 红＋黑 ( 红球放入甲盒中 ) ，则乙盒中黑球数加 1 ； ④ 黑＋红 ( 黑球放入甲盒中 ) ，则丙盒中红球数加 1. 因为红球和黑球个数一样，所以 ① 和 ② 的情况一样多 . ③ 和 ④ 的情况完全随机， ③ 和 ④ 对 B 选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响 . ① 和 ② 出现的次数是一样的，所以对 B 选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样 . 综上，选 B. 4.(2016· 山东 ) 在 [ － 1,1 ] 上随机地取一个数 k ，则事件 “ 直线 y ＝ kx 与 圆 ( x － 5) 2 ＋ y 2 ＝ 9 相交 ” 发生的概率为 ________. 解析答案 1 2 3 4 解析　 由已知得，圆心 (5,0) 到直线 y ＝ kx 的距离小于半径， 1. 以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用 ； 2 . 将古典概型与概率的性质相结合，考查知识的综合应用能力 . 考情考向分 析 返回 热点一　古典概型 1. 古典概型的概率 热点分类突破 2. 古典概型的两个特点：所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等 . 例 1 　 (2016· 山东 ) 某儿童乐园在 “ 六一 ” 儿童节推出了一项趣味活动 . 参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数 . 设两次记录的数分别为 x ， y . 奖励规则如下： ① 若 xy ≤ 3 ，则奖励玩具一个； ② 若 xy ≥ 8 ，则奖励水杯一个； ③ 其余情况奖励饮料一瓶 . 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮 准备 参加 此项活动 . (1) 求小亮获得玩具的概率； 解析答案 解　 用数对 ( x ， y ) 表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间 Ω 与点集 S ＝ {( x ， y )| x ∈ N ， y ∈ N, 1 ≤ x ≤ 4,1 ≤ y ≤ 4} 一一对应 . 因为 S 中元素的个数是 4 × 4 ＝ 16. 所以基本事件总数 n ＝ 16. (1) 记 “ xy ≤ 3 ” 为事件 A ， 则事件 A 包含的基本事件数共 5 个， 即 (1,1) ， (1,2) ， (1,3) ， (2,1) ， (3,1) ， (2) 请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由 . 思维升华 解析答案 解　 记 “ xy ≥ 8 ” 为事件 B ， “ 3 ＜ xy ＜ 8 ” 为事件 C . 则事件 B 包含的基本事件数共 6 个 . 即 (2,4) ， (3,3) ， (3,4) ， (4,2) ， (4,3) ， (4,4). 事件 C 包含的基本事件数共 5 个， 即 (1,4) ， (2,2) ， (2,3) ， (3,2) ， (4,1). 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率 . 求古典概型概率的步骤： (1) 反复阅读题目，收集题目中的各种信息，理解题意； (2) 判断试验是否为古典概型，并用字母表示所求事件； (3) 利用列举法求出总的基本事件的个数 n 及事件 A 中包含的基本事件的个数 m ； (4) 计算事件 A 的概率 P ( A ) ＝ . 思维 升华 跟踪演练 1 　 (1) 将一颗骰子掷两次，则第二次出现的点数是第一次出现的点数的 3 倍的概率为 ( 　　 ) 解析 √ 解析　 由题意得，一颗骰子掷两次，共有 36 种结果 . 满足条件的结果有 (1,3) ， (2,6) ，共 2 种， 解析　 f ′ ( x ) ＝ ax 2 － bx ＋ 1( a ， b ∈ N * ，且 1 ≤ a ≤ 6,1 ≤ b ≤ 6) ， 其 对称轴方程为 x ＝ ＝ 1 ， 即 b ＝ 2 a ，抛掷两颗骰子得到的点数一共有 {( a ， b )| a ， b ∈ N * , 1 ≤ a ≤ 6 , 1 ≤ b ≤ 6} 共 36 种等可能出现的情况 ， 其中 满足 b ＝ 2 a 的有 (1,2) ， (2,4) ， (3,6) 共 3 种情况，所以其概率为 P ＝ ＝ ， 故选 C. 解析 √ 热点二　几何概型 1. 几何概型的概率公式： 2. 几何概型应满足两个条件：基本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性 . 解析　 Δ ＝ 4 a 2 － 4 × 4 ≥ 0 ， a ≤ － 2 或 a ≥ 2 ，区间 [ － 3,5] 的长度为 8 ， 满足 a ≤ － 2 或 a ≥ 2 的是 [ － 3 ，－ 2 ] ∪ [ 2,5 ] ，总长度为 4 ， 因此 所求概率为 P ＝ ＝ . 故选 B . 解析 √ 思维升华 解析 √ 思维升华 如图，可知，当点 ( a ， b ) 落于图中阴影区域内时满足题意， 当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域 . 思维 升华 跟踪演练 2 　 (1) 在区间 [ － 1 ， 1] 上随机取一个数 k ，使直线 y ＝ k ( x ＋ 2) 与圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 1 相交的概率为 ( 　　 ) 解析 √ (2) 在矩形 ABCD 中， AB ＝ 2 ， BC ＝ 1 ， O 为 AB 边的中点，若在该矩形内随机取一点，则取到的点与 O 点的距离大于 1 的概率为 _________. 解析答案 解析　 由题设所求质点应在矩形 ABCD 内且在以 O 为圆心 ， 1 为半径的半圆外 . 由于矩形的面积为 2 ， 以 O 为圆心 ， 1 为半径的半圆的面积 为 ， 热点三　互斥事件与对立事件 1. 事件 A ， B 互斥，那么事件 A ＋ B 发生 ( 即 A ， B 中有一个发生 ) 的概率，等于事件 A ， B 分别发生的概率的和，即 P ( A ＋ B ) ＝ P ( A ) ＋ P ( B ). 例 3 　 某商场在元旦举行购物抽奖促销活动，规定顾客从装有编号为 0,1,2,3,4 的五个相同小球的抽奖箱中一次任意摸出两个小球，若取出的两个小球的编号之和等于 7 则中一等奖，等于 6 或 5 则中二等奖，等于 4 则中三等奖，其余结果为不中奖 . (1) 求中二等奖的概率； 解析答案 解　 记 “ 中二等奖 ” 为事件 A . 从五个小球中一次任意摸出两个小球，不同的结果有 {0,1} ， {0,2} ， {0,3} ， {0,4} ， {1,2} ， {1,3} ， {1,4} ， {2,3} ， {2,4} ， {3,4} ，共 10 个基本事件 . 记两个小球的编号之和为 x ，由题意可知，事件 A 包括两个互斥事件： x ＝ 5 ， x ＝ 6. 事件 x ＝ 5 的取法有 2 种，即 {1,4} ， {2,3} ， 思维升华 (2) 求不中奖的概率 . 事件 x ＝ 7 的取法有 1 种，即 {3,4} ， 事件 x ＝ 4 的取法有 {0,4} ， {1,3} ，共 2 种， 解析答案 事件的互斥和对立是既有联系又有区别的两个概念，要充分利用对立事件是必然有一个发生的互斥事件 . 在判断这些问题时，先要判断两个事件是不是互斥事件 ( 即是否不可能同时发生 ) ，然后判断这两个事件是不是对立事件 ( 即是否必然有一个发生 ). 在解答与两个事件有关的问题时一定要仔细斟酌，全面考虑，防止出现错误 . 思维 升华 解析 跟踪演练 3 　 (1) 从装有 3 个红球、 2 个白球的袋中任取 3 个球，若事件 A ＝ “ 所取的 3 个球中至少有 1 个白球 ” ，则事件 A 的对立事件是 ( 　　 ) A.1 个白球 2 个红 球 B.2 个白球 1 个红球 C.3 个都是红 球 D . 至少有一个红球 解析　 事件 A ＝ “ 所取的 3 个球中至少有 1 个白球 ” 说明有白球 ， 白球 的个数可能是 1 或 2 ，和事件 “ 1 个白球 2 个红球 ” ， “ 2 个白球 1 个红球 ” ， “ 至少有一个红球 ” 都能同时发生 ， 既 不互斥，也不对立 . 故选 C. √ 返回 (2) 俗话说： “ 三个臭皮匠顶个诸葛亮 ”. 但由于臭皮匠太 “ 臭 ” ，三个往往还顶不了一个诸葛亮 . 已知诸葛亮单独解出某道奥数题的概率为 0.8 ，每个臭皮匠单独解出该道奥数题的概率是 0.3. 则至少要 ________ 个臭皮匠能顶一个诸葛亮 . 解析　 若有 3 个臭皮匠，解出该道奥数题的概率为 1 － (1 － 0.3) 3 ＝ 0.657 ＜ 0.8 ， 若有 4 个臭皮匠，解出该道奥数题的概率为 1 － (1 － 0.3) 4 ＝ 0.759 9 ＜ 0.8 ， 若有 5 个臭皮匠，解出该道奥数题的概率为 1 － (1 － 0.3) 5 ＝ 0.831 93 ＞ 0.8 ， 故至少要 5 个臭皮匠能顶一个诸葛亮 . 5 解析答案 1 2 3 1. 将一骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为 m 和 n ，则函数 y ＝ mx 3 － nx ＋ 1 在 [1 ，＋ ∞ ) 上为增函数的概率是 ( 　　 ) 押题依据　 古典概型是高考考查概率问题的核心，考查频率很高；古典概型和函数、方程、不等式、向量等知识的交汇是高考命题的热点 . 解析 押题依据 高考押题精练 √ 4 解析　 将一骰子抛掷两次，所得向上的点数 ( m ， n ) 的所有事件为 (1,1) ， (1,2) ， … ， (6,6) ，共 36 个 . 由 题可知，函数 y ＝ mx 3 － nx ＋ 1 在 [1 ，＋ ∞ ) 上单调递增 ， 所以 y ′ ＝ 2 mx 2 － n ≥ 0 在 [1 ，＋ ∞ ) 上恒成立，所以 2 m ≥ n ， 则 不满足条件的 ( m ， n ) 有 (1,3) ， (1,4) ， (1,5) ， (1,6) ， (2,5) ， (2,6) ，共 6 种情况 ， 所以 满足条件的共有 30 种情况，则函数 y ＝ mx 3 － nx ＋ 1 在 [1 ，＋ ∞ ) 上单调递增的概率 为 ＝ . 1 2 3 4 2. 已知集合 M ＝ { x | － 1< x <4 ， x ∈ R } ， N ＝ { x | x 2 － 3 x ＋ 2 ≤ 0} ，在集合 M 中任取一个元素 x ，则 “ x ∈ ( M ∩ N ) ” 的概率是 ( 　　 ) 1 2 3 解析 押题依据　 与长度 ( 角度、弧度、周长等 ) 有关的几何概型问题也是高考命题的热点，在高考中多以选择题或填空题的形式出现，题目难度不大 . 押题依据 √ 解析　 因为 M ＝ { x | － 1< x <4 ， x ∈ R } ＝ ( － 1,4) ， N ＝ { x | x 2 － 3 x ＋ 2 ≤ 0} ＝ [ 1,2 ] ，所以 M ∩ N ＝ [1,2] ， 4 1 2 3 押题依据　 与面积有关的几何概型问题是高考考查的重点，常以圆、三角形、四边形等几何图形为载体，在高考中多以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏下 . 3. 在一种游戏规则中规定，要将一枚质地均匀的铜板扔到一个边长为 8 的小方块上 ( 铜板的直径是 4) ，若铜板完整地扔到小方块上即可晋级 . 现有一人把铜板扔在小方块上，晋级的概率 P 为 ( 　　 ) 解析 押题依据 √ 4 1 2 3 解析　 由题意分析，知铜板要完整地落在小方块上，则铜板圆心到小方块各边的最短距离不小于铜板半径， 4 1 2 3 解析答案 押题依据　 事件之间关系的正确判断是解题的基础，将复杂事件拆分成 n 个互斥事件的和可以更方便求解事件的概率，体现了化归思想 . 押题依据 4. 抛掷一枚均匀的正方体骰子 ( 各面分别标有数字 1,2,3,4,5,6) ，事件 A 表示 “ 朝上一面的数是奇数 ” ，事件 B 表示 “ 朝上一面的数不超过 2 ” ， 则 P ( A ＋ B ) ＝ ________. 返回 4 解析　 将事件 A ＋ B 分为：事件 C ： “ 朝上一面的数为 1,2 ” 与事件 D ： “ 朝上一面的数为 3,5 ” ，则 C ， D 互斥，