2018-2019学年福建省宁德市部分一级达标中学高二下学期期中联考数学（文)试题 解析版

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绝密★启用前 福建省宁德市部分一级达标中学2018-2019学年高二下学期期中联考数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．在极坐标系中，点与的位置关系是（ ）‎ A．关于极轴所在直线对称 B．关于极点对称 C．重合 D．关于直线对称 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合坐标系确定两点位置关系.‎ ‎【详解】‎ 在极坐标系中，点与 如图，‎ 则点与的位置关系是关于极轴所在直线对称．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查极坐标中点的位置关系，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎2．欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉发明的，是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之一．根据欧拉公式可知，复数虚部为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意代入化简即得复数，再根据虚部概念得结果 ‎【详解】‎ 根据欧拉公式，可得，‎ ‎∴的虚部为．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数运算以及概念，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎3．用反证法证明命题“设，，为实数，满足，则，，至少有一个数不小于1”时，要做的假设是（　　）‎ A．，，都小于2 B．，，都小于1‎ C．，，至少有一个小于2 D．，，至少有一个小于1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 假设就是求结论的否定.‎ ‎【详解】‎ ‎，，至少有一个数不小于1的对立面就是，，三个都小于1．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查反证法以及命题的否定，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎4．函数的导数是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数运算法则求解即可.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，，‎ 其导数，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎5．已知，，，…，依此规律，若，则的值分别是（）‎ A．79 B．81 C．100 D．98‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据规律确定，再计算即得结果.‎ ‎【详解】‎ 由，，，…，‎ 依此规律，，则，可得，，‎ 故，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查归纳类比，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎6．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角面积为（　　）‎ A．6 B． C．3 D．12‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求导数得切线斜率，再根据点斜式得切线方程，最后求切线与坐标轴交点，计算面积.‎ ‎【详解】‎ 的导数为，，‎ 可得在点处的切线斜率为：-3，即有切线的方程为.‎ 分别令，可得切线在，轴上的截距为6，2．‎ 即有围成的三角形的面积为：．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数几何意义以及直线点斜式方程，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎7．函数的单调递减区间是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求导数，再解不等式得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，令，解得：，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数求单调区间，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎8．2018年4月，中国诗词大会第三季总决赛如期举行，依据规则，本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军，某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：爸爸：冠军是甲或丙；妈妈：冠军一定不是乙和丙；孩子：冠军是丁或戊．比赛结束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么冠军是（　　）‎ A．甲 B．丁或戊 C．乙 D．丙 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据猜测分类讨论确定冠军取法.‎ ‎【详解】‎ 假设爸爸的猜测是对的，即冠军是甲或丙，则妈妈的猜测是错的，即乙或丙是冠军，孩子的猜测是错的，即冠军不是丁与戊，所以冠军是丙；‎ 假设妈妈的猜测是对的，即冠军一定不是乙和丙；孩子的猜测是错的，即冠军不是丁与戊，则冠军必为甲，即爸爸的猜测是对的，不合题意；‎ 假设孩子的猜测是对的，则妈妈的猜测也对，不合题意．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用合情推理，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎9．函数的大致图象是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎，则函数在 上单调递增，在和上单调递减，‎ 且 ‎ 故选C ‎10．用长为的钢条围成一个长方体形状的框架（即12条棱长总和为），要求长方体的长与宽之比为，则该长方体最大体积是（）‎ A．24 B．15 C．12 D．6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设该长方体的宽是米，根据题意得长与宽，根据体积公式列函数关系式，最后根据导数求最值.‎ ‎【详解】‎ 设该长方体的宽是米，由题意知，其长是米，高是米，（）‎ 则该长方体的体积，‎ ‎，由，得到，‎ 且当时，；‎ 当时，，‎ 即体积函数在处取得极大值，也是函数在定义域上的最大值．所以该长方体体积最大值是15．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数求函数最值，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎11．若，则（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件构造函数，再利用导数研究单调性，进而判断大小.‎ ‎【详解】‎ ‎①令，则，∴在上单调递增，‎ ‎∴当时，，即，故A正确．B错误.‎ ‎②令，则，令，则，‎ 当时，；当时，，∴在上单调递增，‎ 在上单调递减，易知C，D不正确，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数单调性，考查基本分析判断能力，属中档题.‎ ‎12．对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分离变量，再利用导数研究新函数单调性与最值，即得结果.‎ ‎【详解】‎ 由恒成立可得恒成立，‎ 令，则，‎ 显然在上单调递增，又，‎ ‎∴当时，，当时，，‎ ‎∴当时，取得最小值.∴.‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．若复数对应的点在直线上，则实数的值是______．‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数几何意义得点坐标，代入直线方程解得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎∵复数对应的点在直线上，‎ ‎∴，解得．‎ 故答案为：-1．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎14．在极坐标系中，已知两点，，则，两点间的距离为______．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化直角坐标，再根据两点间距离求解.‎ ‎【详解】‎ 由两点，，得，两点的直角坐标分别为，，‎ 由两点间的距离公式得：‎ ‎.‎ 故答案为：5．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查极坐标化直角坐标以及两点间的距离公式，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎15．设等边的边长为，是内的任意一点，且到三边、、的距离分别为、、，则有为定值；由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四面体的棱长为3，是正四面体内的任意一点，且到四个面、、、的距离分别为、、、，则有为定值______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据类比思想以及正四面体体积公式，结合分割法求结果.‎ ‎【详解】‎ 设底面三角形的中心为，则，故棱锥的高.‎ ‎∴正四面体的体积.‎ 又，‎ ‎∴.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查类比思想、正四面体体积公式以及分割法求体积，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎16．已知函数，其中是自然对数的底数．若，则实数的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先研究函数奇偶性与单调性，再根据函数性质化简不等式，最后解一元二次不等式得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为函数，‎ 则，∴函数在上为奇函数．‎ 因为.‎ ‎∴函数在上单调递增．‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，交点.则实数的取值范围是．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数奇偶性与单调性以及利用导数解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．在极坐标系下，已知圆：和直线：.‎ ‎（Ⅰ）求圆的直角坐标方程和直线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求圆上的点到直线的最短距离．‎ ‎【答案】（Ⅰ）:，:；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据进行直角坐标与极坐标互化，（Ⅱ）根据圆心到直线距离减去半径得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）圆：，即，‎ 圆的直角坐标方程为：，即；‎ 直线：，则直线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅱ）由圆的直角坐标方程为可知圆心坐标为，半径为，因为圆心到直线的距离为，因此圆上的点到直线的最短距离为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直角坐标与极坐标互化以及直线与圆位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎18．（Ⅰ）已知，复数是纯虚数，求的值；‎ ‎（Ⅱ）已知复数满足方程，求及的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据纯虚数概念列方程，解得结果，（Ⅱ）解复数方程的，再根据共轭复数概念以及模的定义的结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）∵为纯虚数，‎ ‎∴，∴；‎ ‎（Ⅱ），∴，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查纯虚数、共轭复数以及复数运算，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎19．设函数，.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间和极值；‎ ‎（Ⅱ）若关于的方程有3个不同实根，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性可求得函数的极值；（2）根据单调性与极值画出函数的大致图象，则关于的方程有三个不同的实根等价于直线与的图象有三个交点，结合图象从而可求出的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），令，得，‎ 或时，；当时，，‎ 的单调递增区间和，单调递减区间，‎ 当时，有极大值；‎ 当时，有极小值.‎ ‎（2）由（1）可知的图象的大致形状及走向如图所示，‎ 当时，直线与的图象有三个不同交点，‎ 即当时方程有三解.‎ ‎【点睛】‎ 单本题主要考查利用导数研究函数的调性与极值，以及函数的零点与函数图象交点的关系，属于中档题. 函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.‎ ‎20．已知函数，‎ ‎（Ⅰ）分别求，，的值；‎ ‎（Ⅱ）由上题归纳出一个一般性结论，并给出证明．‎ ‎【答案】详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：通过计算发现每两个数的和都是，故猜想，通过计算证明上式是成立的.‎ 试题解析：‎ ‎；同理 由此猜想 证明：‎ ‎ ‎ 故猜想成立.‎ ‎21．已知函数，，.‎ ‎（Ⅰ）若，求函数的极值；‎ ‎（Ⅱ）若函数在上单调递减，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）极大值，无极小值；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先求导数，再求导函数零点，根据导函数符号变化规律确定极值，（Ⅱ）根据题意得对恒成立，再利用变量分离法转化为对应函数最值，最后根据函数最值得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）根据题意可知的定义域为，‎ ‎，‎ 故当时，，故单调递增；‎ 当时，，故单调递减，‎ 所以当时，取得极大值，无极小值．‎ ‎（Ⅱ）由得，‎ 若函数在上单调递减，‎ 此问题可转化为对恒成立；‎ ‎，只需，‎ 当时，，则，，‎ 故，即的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数极值以及利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎22．设函数.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若，为整数，且当时，，求的最大值．‎ ‎【答案】（1）若，在（-∞，+∞）上单调递增；若，在单调递减，在上单调递增；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.‎ 若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．‎ 若a>0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；‎ 当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.‎ 所以，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．‎ ‎(2)由于a＝1时，(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(ex－1)＋x＋1.‎ 故当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0等价于 k<＋x(x>0) ①‎ 令g(x)＝＋x，则g′(x)＝＋1＝.‎ 由(1)知，函数h(x)＝ex－x－2在(0，＋∞)上单调递增，‎ 又h(1)＝e－3<0，h(2)＝e2－4>0.‎ 所以h(x)在(0，＋∞)上存在唯一零点．‎ 故g′(x)在(0，＋∞)上存在唯一零点．‎ 设此零点为α，则α∈(1,2)．‎ 当x∈(0，α)时，g′(x)<0；当x∈(α，＋∞)时，g′(x)>0，‎ 所以g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g(α)．‎ 又由g′(α)＝0，得eα＝α＋2, 所以g(α)＝α＋1∈(2,3)．‎ 由于①式等价于k

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