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文档介绍
2020-2021高中必修一数学上期中第一次模拟试卷附答案
2020-2021 高中必修一数学上期中第一次模拟试卷附答案 一、选择题 1．设集合 1,2,4A ， 2 4 0B x x x m ．若 1A B ，则 B ( ) A． 1, 3 B． 1,0 C． 1,3 D． 1,5 2．若偶函数 f x 在区间 ( ]1， 上是增函数，则 ( ) A． 3 ( 1) (2)2f f f B． 3( 1) (2)2f f f C． 3(2) ( 1) 2 f f f D． 3(2) ( 1) 2 f f f 3．函数 lnf x x x 的图像大致是（ ） A． B． C． D． 4．函数 log ax xf x x （ 0 1a ）的图象大致形状是（ ） A． B． C． D． 5．如图，点 O 为坐标原点，点 (1,1)A ，若函数 xy a 及 log by x 的图象与线段 OA分 别交于点 M ， N ，且 M ， N 恰好是线段 OA的两个三等分点，则 a ， b 满足． A． 1a b B． 1b a C． 1b a D． 1a b 6．已知函数 2 5, 1, , 1, x ax x f x a x x 是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是（ ） A． 3 0a B． 0a C． 2a D． 3 2a≤ ≤ 7．设 ,0 1 2 1 , 1 x xf x x x , 若 1f a f a , 则 1f a （ ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．函数 ( )f x 在 ( , ) 单调递增，且为奇函数，若 (1) 1f ，则满足 1 ( 2) 1f x 的 x 的取值范围是（ ）． A． [ 2,2] B． [ 1,1] C． [0,4] D． [1,3] 9．已知全集 U＝R，集合 A＝{ x|x2－ x－6≤0} ，B＝{ x| 1 4 x x ＞ 0} ，那么集合 A∩ (?U B)＝ ( ) A．{ x|－ 2≤x＜4} B．{ x|x≤3 或 x≥4} C．{ x|－2≤x＜－ 1} D．{x|－1≤x≤3} 10．若 a＞b＞0，0＜c＜1，则 A．logac＜log bc B．logca＜logcb C．ac＜bc D．ca＞cb 11． 已知函数 ( )f x 2log ( 1) , ( 1,3) 4 , [3, ) 1 x x x x ，则函数 ( ) ( ) 1g x f f x 的零点个数为 （ ） A．1 B．3 C．4 D．6 12． 设 0.60.3a ， 0.30.6b ， 0.30.3c ，则 a，b，c 的大小关系为（ ） A． b a c B． a c b C． b c a D． c b a 二、填空题 13． 若函数 2 4, 4 3, x x f x x x x 恰有 2 个零点，则 的取值范围是 ______. 14． 已知 1 2 4 0x x a 对一切 ,1x 上恒成立，则实数 a 的取值范围是 ______． 15．若 4 2 x ，则函数 3tan 2 tany x x 的最大值为 ． 16． 已知集合 1,1,2,4 , 1,0,2 ,A B 则 A BI __________． 17． 已知 3 2 , , x x af x x x a ，若存在实数 b ，使函数 g x f x b 有两个零点，则 a 的取值范围是 ________． 18． 已知函数 在区间 ，上恒有 则实数 的取值范围是 _____. 19． 某班有 36 名同学参加数学、物理、化学竞赛小组，每名同学至多参加两个小组，已知 参加数学、物理、化学小组的人数分别为 26， 15，13，同时参加数学和物理小组的有 6 人，同时参加物理和化学小组的有 4 人，则同时参加数学和化学小组的有 __________人． 20． 函数 2 2 1, 0 ln 2 , 0 x xf x x x x x 的零点的个数是 ______． 三、解答题 21． 近年来， “共享单车 ”的出现为市民 “绿色出行 ”提供了极大的方便，某共享单车公司 “Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资 160 万元，根据行业规定，每个城市至少要投资 30 万元，由前期市场调研可知：甲城市收益 P 与投入 (a 单位：万元 ) 满足 4 2 6P a ， 乙城市收益 Q 与投入 (b 单位：万元 ) 满足 1 2 4 Q b ，设甲城市的投入为 (x 单位：万元 ) ，两个城市的总收益为 (f x 单位：万元 ) ． （1）写出两个城市的总收益 (f x 万元 ) 关于甲城市的投入 (x 万元 ) 的函数解析式，并 求出当甲城市投资 72 万元时公司的总收益； （2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？ 22． 已知定义域为 R的函数 1 2( ) 2 2 x x bf x 是奇函数． （1）求 b 的值； （2）判断函数 ( )f x 的单调性，并用定义证明； （3）当 1 ,3 2 x 时， 2 (2 1) 0f kx f x 恒成立，求实数 k 的取值范围． 23． 2018 年 1 月 8 日，中共中央 ?国务院隆重举行国家科学技术奖励大会，在科技界引发 热烈反响，自主创新正成为引领经济社会发展的强劲动力 .某科研单位在研发新产品的过程 中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值 y 与这种新材料的含量 x（单 位：克）的关系为：当 0 6x 时， y 是 x 的二次函数；当 6x 时， 1 3 x t y 测得数据 如下表（部分）： x（单位： 克） 0 1 2 9 ⋯ y 0 7 4 3 1 9 ⋯ （1）求 y 关于 x 的函数关系式 y f x ； （2）当该产品中的新材料含量 x 为何值时，产品的性能指标值最大 . 24． 已知函数 2 2( )f x x x . （1）求 (1)f ， (2)f 的值； （2）设 1a b ，试比较 ( )f a 、 ( )f b 的大小，并说明理由； （3）若不等式 2( 1) 2( 1) 1 f x x m x 对一切 [1,6]x 恒成立，求实数 m 的最大值 . 25． 已知集合 A={x|x ＜-1 ，或 x＞2}，B={x|2p- 1≤x≤p+3}． （1）若 p= 1 2 ，求 A∩B； （2）若 A∩B=B，求实数 p 的取值范围． 26． 已知函数 f(x)= loga(x+ 1)-loga(1 -x),a> 0 且 a≠1. (1)求 f(x)的定义域 ; (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明 ; (3)当 a>1 时 ,求使 f(x)> 0 的解集 . 【参考答案】 *** 试卷处理标记，请不要删除 一、选择题 1．C 解析： C 【解析】 ∵ 集合 1 2 4A ，， ， 2| 4 0B x x x m ， 1A B ∴ 1x 是方程 2 4 0x x m 的解，即 1 4 0m ∴ 3m ∴ 2 2| 4 0 | 4 3 0 13B x x x m x x x ， ，故选 C 2．D 解析： D 【解析】 【分析】 函数 f x 为偶函数，则 f x f x 则 2 2f f ，再结合 f x 在 ( ]1， 上 是增函数，即可进行判断 . 【详解】 函数 f x 为偶函数 , 则 2 2f f . 又函数 f x 在区间 ( ]1， 上是增函数 . 则 3 1 2 2f f f ，即 32 1 2 f f f 故选： D. 【点睛】 本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查化归与转化的思想，属于基础题 . 3．A 解析： A 【解析】 【分析】 从图象来看图象关于原点对称或 y 轴对称，所以分析奇偶性，然后再用特殊值确定 . 【详解】 因为函数 lnf x x x 是奇函数，排除 C，D 又因为 2x 时 ( ) 0f x ，排除 B 故选： A 【点睛】 本题主要考查了函数的图象的判断，还考查了数形结合的思想，属于基础题 . 4．C 解析： C 【解析】 【分析】 确定函数是奇函数，图象关于原点对称， x＞ 0 时， f（x）＝ logax（0＜a＜1）是单调减函 数，即可得出结论． 【详解】 由题意， f（﹣ x）＝﹣ f（x），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除 B、D； x＞0 时， f（ x）＝ log ax（0＜ a＜1）是单调减函数，排除 A． 故选 C． 【点睛】 本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键． 5．A 解析： A 【解析】 【分析】 由 ,M N 恰好是线段 OA的两个三等分点，求得 ,M N 的坐标，分别代入指数函数和对数函 数的解析式，求得 ,a b 的值，即可求解 . 【详解】 由题意知 (1,1)A ，且 ,M N 恰好是线段 OA的两个三等分点，所以 1 1, 3 3 M ， 2 2, 3 3 N ， 把 1 1,3 3M 代入函数 xy a ，即 1 31 3 a ，解得 1 27 a ， 把 2 2, 3 3 N 代入函数 logby x ，即 2 2log 3 3b ，即得 3 22 2 6 3 9 b ，所以 1a b . 故选 A. 【点睛】 本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答熟练应用指数函数和 对数函数的解析式求得 ,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题 . 6．D 解析： D 【解析】 【分析】 根据分段函数的单调性特点，两段函数在各自的定义域内均单调递增，同时要考虑端点处 的函数值 . 【详解】 要使函数在 R 上为增函数，须有 f x 在 ( ,1] 上递增，在 (1, ) 上递增， 所以 2 1, 2 0, 1 1 5 , 1 a a aa ，解得 3 2a≤ ≤ . 故选 D. 【点睛】 本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查数形结合思想、函数与方程思想 的灵活运用，求解时不漏掉端点处函数值的考虑 . 7．C 解析： C 【解析】 由 1x 时 2 1f x x 是增函数可知 , 若 1a , 则 1f a f a , 所以 0 1a , 由 ( ) ( +1)f a f a 得 2( 1 1)a a , 解得 1 4 a , 则 1 (4) 2(4 1) 6f f a , 故选 C. 【名师点睛】求分段函数的函数值 ,首先要确定自变量的范围 ,然后选定相应关系式，代入求 解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时 ,应根据每一段 解析式分别求解 ,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或 取值范围． 8．D 解析： D 【解析】 【分析】 【详解】 f x 是奇函数，故 1 1 1f f ；又 f x 是增函数， 1 2 1f x ，即 ( 1) 2 (1)f f x f 则有 1 2 1x ，解得 1 3x ，故选 D. 【点睛】 解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为 ( 1) 2f f x (1)f ，再利用单调性继续转化为 1 2 1x ，从而求得正解 . 9．D 解析： D 【解析】 依题意 A＝{ x|－2≤x≤3}，B＝{ x|x＜－ 1 或 x＞4} ，故 ?UB＝{ x|－ 1≤x≤4}，故 A∩(?U B)＝{x|－ 1≤x≤ 3}，故选 D. 10．B 解析： B 【解析】 试题分析：对于选项 A， a b 1gc 1gclog c ,log c lg a lg b ， 0 1cQ ， 1 0gc ，而 0a b ，所以 lg lga b ，但不能确定 lg lga b、 的正负，所以它们的大小不能确定 ;对于 选项 B， c lg lglog ,log lg lgc a ba b c c , lg lga b ，两边同乘以一个负数 1 lg c 改变不等号方 向，所以选项 B 正确 ;对于选项 C，利用 cy x 在第一象限内是增函数即可得到 c ca b ， 所以 C 错误 ;对于选项 D，利用 xy c 在 R上为减函数易得 a bc c ，所以 D 错误 .所以本题 选 B. 【考点】指数函数与对数函数的性质 【名师点睛】比较幂或对数值的大小 ,若幂的底数相同或对数的底数相同 ,通常利用指数函数 或对数函数的单调性进行比较；若底数不同 ,可考虑利用中间量进行比较 . 11．C 解析： C 【解析】 【分析】 令 ( ) ( ) 1 0g x f f x , 可得 ( ) 1f f x , 解方程 ( ) 1f x , 结合函数 ( )f x 的图象 , 可求 出答案 . 【详解】 令 ( ) ( ) 1 0g x f f x , 则 ( ) 1f f x , 令 ( ) 1f x , 若 2log ( 1) 1x , 解得 1x 或 1 2 x , 符合 ( 1,3)x ; 若 4 1 1x , 解得 5x , 符合 [3, )x . 作出函数 ( )f x 的图象 , 如下图 , 1,0x 时 , ( ) 0,f x ; 0,3x 时 , ( ) 0,2f x ; [3, )x 时 , ( ) 0,2f x . 结合图象 ,若 ( ) 1f x ,有 3 个解 ;若 1( ) 2 f x ,无解 ;若 ( ) 5f x ,有 1 个解 . 所以函数 ( ) ( ) 1g x f f x 的零点个数为 4 个. 故选 :C. 【点睛】 本题考查分段函数的性质 ,考查了函数的零点 ,考查了学生的推理能力 ,属于中档题 . 12．B 解析： B 【解析】 【分析】 根据指数函数的单调性得出 0.6 0.30.3 0.3 ，而根据幂函数的单调性得出 0.3 0.30.3 0.6 ，从 而得出 a，b，c 的大小关系． 【详解】 解： 0.3xyQ 在定义域上单调递减，且 0.3 60. ， 0.6 0.30.3 0.3 ， 又 0.3y x 在定义域上单调递增，且 0.3 60. ， 0.3 0.30.3 0.6 ， 0.6 0.3 0.30.3 0.3 0.6 ， a c b 故选： B． 【点睛】 考查指数函数和幂函数的单调性，以及增函数和减函数的定义． 二、填空题 13．【解析】【分析】根据题意在同一个坐标系中作出函数和的图象结合图象 分析可得答案【详解】根据题意在同一个坐标系中作出函数和的图象如图：若 函数恰有 2 个零点即函数图象与轴有且仅有 2 个交点则或即的取值范围是： 解析： (1 ， 3] (4, )U ． 【解析】 【分析】 根据题意，在同一个坐标系中作出函数 4y x 和 2 4 3y x x 的图象，结合图象分析 可得答案． 【详解】 根据题意，在同一个坐标系中作出函数 4y x 和 2 4 3y x x 的图象，如图： 若函数 ( )f x 恰有 2 个零点，即函数 ( )f x 图象与 x 轴有且仅有 2 个交点， 则 1 3, 或 4 ， 即 的取值范围是： (1， 3] (4, )U 故答案为： (1， 3] (4, )U ． 【点睛】 本题考查分段函数的图象和函数的零点，考查数形结合思想的运用，考查发现问题解决问 题的能力 . 14．【解析】【分析】根据题意分离出参数 a后转化为求函数的最值即可通过换 元后利用二次函数的性质可求得最大值【详解】可化为令由得则在上递减当时 取得最大值为所以故答案为【点睛】本题考查二次函数的性质函数恒成立 解析： 3 , 4 【解析】 【分析】 根据题意分离出参数 a 后转化为求函数的最值即可，通过换元后利用二次函数的性质可求 得最大值． 【详解】 1 2 4 0x x a 可化为 21 2 2 2 4 x x x xa ， 令 2 xt ，由 ,1x ，得 1 , 2 t ， 则 2a t t ， 2 21 3( ) 2 4 t t t 在 1 , 2 上递减，当 1 2 t 时 2t t 取得最大值为 3 4 ， 所以 3 4 a ． 故答案为 3 , 4 ． 【点睛】 本题考查二次函数的性质、函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问题的能 力．属中档题 . 15．-8 【解析】试题分析：设当且仅当时成立考点：函数单调性与最值 解析： -8 【解析】 试题分析： 2tan 1 tan 1, 4 2 x x xQ 设 2tant x 22 2 1 4 1 22 22 1 4 2 2 4 8 1 1 1 t tty t t t t 当且仅当 2t 时成立 考点：函数单调性与最值 16．【解析】【分析】直接利用集合交集的定义求解即可【详解】因为集合两 个集合的公共元素为所以故答案为【点睛】研究集合问题一定要抓住元素看元 素应满足的属性研究两集合的关系时关键是将两集合的关系转化为元素间的 解析： 1 2－， 【解析】 【分析】 直接利用集合交集的定义求解即可 . 【详解】 因为集合 1,1,2,4 , 1,0,2 ,A B 两个集合的公共元素为 1,2 所以 1,2A BI ．故答案为 1,2 . 【点睛】 研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性 .研究两集合的关系时，关键是将两 集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合 A 且属于集合 B 的元素的集合 . 17．【解析】【分析】由有两个零点可得有两个零点即与的图象有两个交点则 函数在定义域内不能是单调函数结合函数图象可求的范围【详解】有两个零点 有两个零点即与的图象有两个交点由可得或 ① 当时函数的图象如图所示此时 解析： ,0 1, 【解析】 【分析】 由 ( ) ( )g x f x b 有两个零点可得 ( )f x b 有两个零点，即 ( )y f x 与 y b的图象有 两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求 a 的范围 【详解】 ( ) ( )g x f x bQ 有两个零点， ( )f x b 有两个零点，即 ( )y f x 与 y b的图象有两个交点， 由 3 2x x 可得， 0x 或 1x ①当 1a 时，函数 ( )f x 的图象如图所示，此时存在 b ，满足题意，故 1a 满足题意 ②当 1a 时，由于函数 ( )f x 在定义域 R上单调递增，故不符合题意 ③当 0 1a 时，函数 ( )f x 单调递增，故不符合题意 ④ 0a 时， ( )f x 单调递增，故不符合题意 ⑤当 0a 时，函数 ( )y f x 的图象如图所示，此时存在 b 使得， ( )y f x 与 y b有两 个交点 综上可得， 0a 或 1a 故答案为： ,0 1, 【点睛】 本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想． 18．(131) 【解析】【分析】根据对数函数的图象和性质可得函数 f （x）＝ loga （2x﹣a）在区间 1223 上恒有 f （x）＞ 0 即 0查看更多