高中数学必修2教案：第三章 3_2_3直线的一般式方程

高中数学必修2教案：第三章 3_2_3直线的一般式方程

‎3.2.3　直线的一般式方程 ‎[学习目标]　1.掌握直线的一般式方程.2.了解关于x、y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)都表示直线，且直线方程都可以化为Ax＋By＋C＝0的形式.3.会进行直线方程不同形式的转化．‎ ‎[知识链接]‎ ‎1．过点A(x0，y0)分别垂直于x轴、y轴的直线方程为：x＝x0，y＝y0.‎ ‎2．直线的点斜式方程：y－y0＝k(x－x0)．‎ 直线的两点式方程：＝(x1≠x2，y1≠y2)．‎ ‎[预习导引]‎ ‎1．在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．方程Ax＋By＋C＝0(其中A、B不同时为0)叫做直线方程的一般式．‎ ‎2．对于直线Ax＋By＋C＝0，当B≠0时，其斜率为－，在y轴上的截距为－；当B＝0时，在x轴上的截距为－；当AB≠0时，在两轴上的截距分别为－，－.‎ ‎3．直线一般式方程的结构特征 ‎(1)方程是关于x，y的二元一次方程．‎ ‎(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列．‎ ‎(3)x的系数一般不为分数和负数．‎ ‎(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程.‎ 要点一　直线的一般式与其他形式的转化 例1　(1)下列直线中，斜率为－，且不经过第一象限的是(　　)‎ A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0‎ C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0‎ ‎(2)直线x－5y＋9＝0在x轴上的截距等于(　　)‎ A. B．－5 C. D．－3 答案　(1)B　(2)D 解析　(1)将一般式化为斜截式，斜率为－的有：B、C两项．‎ 又y＝－x＋14过点(0,14)即直线过第一象限，‎ 所以只有B项正确．‎ ‎(2)令y＝0则x＝－3.‎ 规律方法　(1)一般式化为斜截式的步骤：‎ ‎①移项得By＝－Ax－C；‎ ‎②当B≠0时，得斜截式：y＝－x－.‎ ‎(2)一般式化为截距式的步骤：‎ 方法一：‎ ‎①把常数项移到方程右边，得Ax＋By＝－C；‎ ‎②当C≠0时，方程两边同除以－C，得＋＝1；‎ ‎③化为截距式：＋＝1.‎ 方法二：‎ ‎①令x＝0求直线在y轴上的截距b；‎ ‎②令y＝0求直线在x轴上的截距a；‎ ‎③代入截距式方程＋＝1.‎ 由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式．‎ 跟踪演练1　已知直线l经过点A(－5,6)和点B(－4,8)，求直线l的一般式方程和截距式方程，并画出图形．‎ 解　因为直线l经过点A(－5,6)，B(－4,8)，‎ 所以由两点式，得＝，‎ 整理得2x－y＋16＝0，化为截距式得＋＝1，‎ 所以直线l的一般式方程为2x－y＋16＝0，截距式方程为＋＝1.‎ 图形如图所示：‎ 要点二　直线方程的应用 例2　已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：‎ ‎(1)过点(－1,3)，且与l平行；‎ ‎(2)过点(－1,3)，且与l垂直．‎ 解　方法一　l的方程可化为y＝－x＋3，‎ ‎∴l的斜率为－.‎ ‎(1)∵l′与l平行，∴l′的斜率为－.‎ 又∵l′过点(－1,3)，‎ 由点斜式知方程为y－3＝－(x＋1)，‎ 即3x＋4y－9＝0.‎ ‎(2)∵l′与l垂直，∴l′的斜率为，又l′过点(－1,3)，‎ 由点斜式可得方程为y－3＝(x＋1)，‎ 即4x－3y＋13＝0.‎ 方法二　(1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0.将点(－1,3)代入上式得m＝－9.‎ ‎∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.‎ ‎(2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0.‎ 将(－1,3)代入上式得n＝13.‎ ‎∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.‎ 规律方法　一般地，直线Ax＋By＋C＝0中系数A、B确定直线的斜率，因此，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.这是经常采用的解题技巧．‎ 跟踪演练2　已知A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0.‎ 求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；‎ ‎(2)过点A和直线l垂直的直线方程．‎ 解　(1)将与直线l平行的方程设为3x＋4y＋C1＝0，‎ 又过点A(2,2)，‎ 所以3×2＋4×2＋C1＝0，所以C1＝－14.‎ 所求直线方程为3x＋4y－14＝0.‎ ‎(2)将与l垂直的直线方程设为4x－3y＋C2＝0，‎ 又过点A(2,2)，‎ 所以4×2－3×2＋C2＝0，所以C2＝－2，‎ 所以直线方程为4x－3y－2＝0.‎ 要点三　由含参一般式方程求参数的值或取值范围 例3　(1)若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一条直线，则实数m满足________．‎ ‎(2)当实数m为何值时，直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1.‎ ‎①倾斜角为45°；②在x轴上的截距为1.‎ ‎(1)答案　m≠－3‎ 解析　若方程不能表示直线，则m2＋5m＋6＝0且m2＋3m＝0.‎ 解方程组得m＝－3，‎ 所以m≠－3时，方程表示一条直线．‎ ‎(2)解　①因为已知直线的倾斜角为45°，‎ 所以此直线的斜率是1，‎ 所以－＝1，‎ 所以 解得所以m＝－1.‎ ‎②因为已知直线在x轴上的截距为1，‎ 令y＝0得x＝，‎ 所以＝1，‎ 所以 解得 所以m＝－或m＝2.‎ 规律方法　已知含参的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤 跟踪演练3　已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．‎ ‎(1)证明：直线l过定点；‎ ‎(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围．‎ ‎(1)证明　直线l的方程是k(x＋2)＋(1－y)＝0，‎ 令解得 ‎∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．‎ ‎(2)解　由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解之得k>0；‎ 当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k≥0.‎ 故k的取值范围为{k|k≥0}.‎ ‎1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为(　　)‎ A．A≠0 B．B≠0‎ C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0‎ 答案　D 解析　方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A、B不能同时为0，即A2＋B2≠0.‎ ‎2．已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c通过(　　)‎ A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 答案　C 解析　由ax＋by＝c，得y＝－x＋，‎ ‎∵ab<0，∴直线的斜率k＝－>0，‎ 直线在y轴上的截距<0.‎ 由此可知直线通过第一、三、四象限．‎ ‎3．在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是(　　)‎ A．30° B．60°‎ C．150° D．120°‎ 答案　C 解析　直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°，故选C.‎ ‎4．已知直线(a－2)x＋ay－1＝0与直线2x＋3y＋5＝0平行，则a的值为(　　)‎ A．－6 B．6 C．－ D. 答案　B 解析　由(a－2)×3－a×2＝0得a＝6，且当a＝6时两直线平行，故选B.‎ ‎1.根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法 ‎(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k1＝k2且b1≠b2；若都不存在，则还要判定不重合．‎ ‎(2)可直接采用如下方法：‎ 一般地，设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0，或A1C2－A2C1≠0.‎ 这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性．‎ ‎2．根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法 ‎(1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k1k2＝－1.‎ ‎(2)一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.‎ 第二种方法可避免讨论，减小失误．‎ 一、基础达标 ‎1．直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为(　　)‎ A．－2 B．2‎ C．－3 D．3‎ 答案　D 解析　由已知得m2－4≠0，且＝1，‎ 解得：m＝3或m＝2(舍去)．‎ ‎2．直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若直线l过原点和二、四象限，则(　　)‎ A．C＝0，B>0 B．A>0，B>0，C＝0‎ C．AB<0，C＝0 D．AB>0，C＝0‎ 答案　D 解析　通过直线的斜率和截距进行判断．‎ ‎3．已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线x－y－＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为(　　)‎ A.，1 B.，－1‎ C．－，1 D．－，－1‎ 答案　D 解析　原方程化为＋＝1，∴＝－1，∴b＝－1.又∵ax＋by－1＝0的斜率k＝－＝a，且x－y－＝0的倾斜角为60°，∴k＝tan 120°，∴a＝－，故选D.‎ ‎4．直线ax＋3my＋2a＝0(m≠0)过点(1，－1)，则直线的斜率k等于(　　)‎ A．－3 B．3‎ C. D．－ 答案　D 解析　由点(1，－1)在直线上可得a－3m＋2a＝0(m≠0)，解得m＝a，故直线方程为ax＋3ay＋2a＝0(a≠0)，即x＋3y＋2＝0，其斜率k＝－.‎ ‎5．已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为________．‎ 答案　－ 解析　把(3,0)代入已知方程得：(a＋2)×3－2a＝0，∴a＝－6.∴直线方程为－4x＋45y＋12＝0，令x＝0，得y＝－.‎ ‎6．直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是________________．‎ 答案　(－∞，－)∪(0，＋∞)‎ 解析　当a＝－1时，直线l的倾斜角为90°，符合要求；‎ 当a≠－1时，直线l的斜率为－，只要－>1或者－<0即可，‎ 解得－10.‎ 综上可知，实数a的取值范围是 ‎(－∞，－)∪(0，＋∞)．‎ ‎7．已知直线l1：ax＋(1－a)y＝3与l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＝2互相垂直，求a的值．‎ 解　方法一　当a＝1时，l1为x＝3，l2为y＝，‎ 故l1⊥l2.‎ 当a＝－时，l1的方程为－x＋y＝3，l2的方程为－x＝2，显然l1，l2不垂直．当a≠1且a≠－时，由k1·k2＝－1，得·＝－1，解得a＝－3.综上所述，当a＝1或a＝－3时，l1⊥l2.‎ 方法二　因为l1⊥l2，‎ 所以a(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，即a2＋2a－3＝0.‎ 解得a＝1或a＝－3.‎ 故当a＝1或a＝－3时，l1⊥l2.‎ 二、能力提升 ‎8．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是(　　)‎ 答案　C 解析　将l1与l2的方程化为斜截式得：‎ y＝ax＋b，y＝bx＋a，‎ 根据斜率和截距的符号可得选C.‎ ‎9．若直线l1：x＋ay－2＝0与直线l2：2ax＋(a－1)y＋3＝0互相垂直，则a的值为________．‎ 答案　0或－1‎ 解析　a＝0时，l1：x＝2，l2：y＝3，显然l1⊥l2；‎ a＝1时，l1：x＋y－2＝0，l2：x＝－，‎ 显然l1和l2不垂直；‎ a≠0，且a≠1时，则k1＝－，k2＝.‎ 由l1⊥l2得－·＝－1，解得a＝－1.‎ 故a的值为0或－1.‎ ‎10．已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为________________．‎ 答案　2x＋3y＋4＝0‎ 解析　由条件知易知两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)都在直线2x＋3y＋4＝0上，即2x＋3y＋4＝0为所求．‎ ‎11．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：‎ ‎(1)斜率为，且经过点A(5,3)；‎ ‎(2)过点B(－3,0)，且垂直于x轴；‎ ‎(3)斜率为4，在y轴上的截距为－2；‎ ‎(4)在y轴上的截距为3，且平行于x轴；‎ ‎(5)经过C(－1,5)，D(2，－1)两点；‎ ‎(6)在x轴，y轴上截距分别是－3，－1.‎ 解　(1)由点斜式方程得y－3＝(x－5)，‎ 即x－y＋3－5＝0.‎ ‎(2)x＝－3，即x＋3＝0.‎ ‎(3)y＝4x－2，即4x－y－2＝0.‎ ‎(4)y＝3，即y－3＝0.‎ ‎(5)由两点式方程得＝，‎ 即2x＋y－3＝0.‎ ‎(6)由截距式方程得＋＝1，即x＋3y＋3＝0.‎ 三、探究与创新 ‎12．求满足下列条件的直线方程：‎ ‎(1)过点A(1，－4)，与直线2x＋3y＋5＝0平行；‎ ‎(2)过点A(1，－4)，与直线2x－3y＋5＝0垂直．‎ 解　(1)设所求直线方程为2x＋3y＋C1＝0，则由题意得2×1＋3×(－4)＋C1＝0，解得C1＝10，‎ 所以所求直线方程为2x＋3y＋10＝0.‎ ‎(2)设所求直线方程为3x＋2y＋C2＝0，则 由题意得3×1＋2×(－4)＋C2＝0，解得C2＝5，‎ 所以所求直线方程为3x＋2y＋5＝0.‎ ‎13．(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值．‎ ‎(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？‎ 解　方法一　(1)由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，‎ l2：mx＋3y－2＝0知：‎ ‎①当m＝0时，显然l1与l2不平行．‎ ‎②当m≠0时，l1∥l2，需＝≠.‎ 解得m＝2或m＝－3，∴m的值为2或－3.‎ ‎(2)由题意知，直线l1⊥l2.‎ ‎①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直．‎ ‎②若2a＋3＝0，即a＝－时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直．‎ ‎③若1－a≠0，且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－，k2＝－.‎ 当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，‎ 即(－)·(－)＝－1，‎ ‎∴a＝－1.‎ 综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.‎ 方法二　(1)令2×3＝m(m＋1)，‎ 解得m＝－3或m＝2.‎ 当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，‎ 显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.‎ 同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，‎ 显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.‎ ‎∴m的值为2或－3.‎ ‎(2)由题意知直线l1⊥l2，‎ ‎∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，‎ 解得a＝±1，‎ 将a＝±1代入方程，均满足题意．‎ 故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.3.3　直线的交点坐标与距离公式