【数学】2020届一轮复习江苏版1-1集合学案
第1讲 集合的概念与运算
考试要求 1.集合的含义，元素与集合的属于关系(A级要求)；2.集合之间包含与相等的含义，集合的子集(B级要求)；3.并集、交集、补集的含义，用韦恩(Venn)图表述集合关系(B级要求)；4.求两个简单集合的并集与交集及求给定子集的补集(B级要求).
知 识 梳 理
1.集合的概念
(1)一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合，集合中的每一个对象称为该集合的元素.
(2)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
(3)集合的表示方法：列举法、描述法、Venn图法等.
(4)集合按含有元素的个数可分为有限集、无限集、空集.
(5)特别地，自然数集记作N，正整数集记作N*或N＋，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R，复数集记作C.
2.两类关系
(1)元素与集合的关系，用∈或∉表示.
(2)集合与集合的关系，用⊆、或＝表示.
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A的补集为∁UA
图形表示
集合表示
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x∉A}
4.集合关系与运算的常用结论
(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.
(2)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.
(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.
(4) ∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)任何集合都有两个子集.( )
(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C.( )
(3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.( )
(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )
解析 (1)错误.空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的.
(2)错误.集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是抛物线y＝x2上的点集.因此A，B，C不相等.
(3)错误.当x＝1，不满足互异性.
(4)错误.当A＝∅时，B，C可为任意集合.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2.(2018·江苏卷)已知集合A＝{0，1，2，8}，B＝{－1，1，6，8}，那么A∩B＝________.
解析 由集合的交运算可得A∩B＝{1，8}.
答案 {1，8}
3.(2017·江苏卷)已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}，若A∩B＝{1}，则实数a的值为________.
解析 由A∩B＝{1}知1∈B，又a2＋3≥3，则a＝1.
答案 1
4.(2019·苏、锡、常、镇四市调研)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，M＝{x|x2－6x＋5≤0，x∈Z}，则∁UM＝________.
解析 M＝{x|x2－6x＋5≤0，x∈Z}＝{x|1≤x≤5，x∈Z}＝{1，2，3，4，5}，所以∁UM＝{6，7}.
答案 {6，7}
5.设A＝{x|2
2}，N＝{x|1≤x≤3}.如图所示，则阴影部分所表示的集合为________.
(3)已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－13}＝{x|－2≤x<1}.
(3)由x2－x－12≤0，得(x＋3)(x－4)≤0，即－3≤x≤4，
所以A＝{x|－3≤x≤4}.又A∩B＝B，所以B⊆A.
①当B＝∅时，有m＋1≤2m－1，解得m≥2.
②当B≠∅时，有解得－1≤m<2.
综上，m的取值范围为[－1，＋∞).
答案 (1)2 (2){x|－2≤x<1} (3)[－1，＋∞)
规律方法 (1)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图或数轴使抽象问题直观化.
(2)一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍.
【训练3】 (1)(2019·江苏前黄中学月考)设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，则(∁UA)∩B＝________.
(2)已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x>5}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为________.
(3)(2019·南通一模)设集合A＝{－1，0，1}，B＝，A∩B＝{0}，则实数a的值为________.
解析 (1)U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，画出Venn图，如图所示，阴影部分就是所要求的集合，即(∁UA)∩B＝{7，9}.
(2)要使A∩B＝∅，则或2a>a＋3，
∴a≤2或a>3.
(3)0∈，由a＋≠0，则a－1＝0，则实数a的值为1.
答案 (1){7，9} (2){a|a≤2或a>3} (3)1
一、必做题
1.(2018·天津卷改编)设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{－1，0，2，3}，C＝{x∈R|－1≤x＜2}，则(A∪B)∩C＝________.
解析 由题意得A∪B＝{－1，0，1，2，3，4}，又C＝{x∈R|－1≤x＜2}，
∴(A∪B)∩C＝{－1，0，1}.
答案 {－1，0，1}
2.设集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－10}，B＝{x|－10}，则A∩B＝________.
解析 由题意得B＝{x|x<－1或x>1}，则A∩B＝{2}.
答案 {2}
5.(2019·南通中学考前冲刺卷)已知集合A＝{0，4}，B＝{3，2m}，若A∪B＝{0，3，4}，则实数m的值为________.
解析 因为2m>0，则由并集定义可得2m＝4，解得m＝2.
答案 2
6.设全集U＝{x|x≥2，x∈N}，集合A＝{x|x2≥5，x∈N}，则∁UA＝________.
解析 由题知集合A＝{x|x≥，x∈N}，故由补集定义可得∁UA＝{2}.
答案 {2}
7.(2018·全国Ⅱ卷改编)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为________.
解析 法一 由x2＋y2≤3知，－≤x≤，－≤y≤.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}，所以A中元素的个数为CC＝9.
法二 根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数.
答案 9
8.已知集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B⊆A，则a＝________.
解析 由a2－a＋1＝3，得a＝－1或a＝2，经检验符合.由a2－a＋1＝a，得a＝1，由于集合中不能有相同元素，所以舍去.故a＝－1或2.
答案 －1或2
9.(2019·苏州调研)集合U＝R，A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分所表示的集合是________.
解析 易知A＝(－1，2)，B＝(－∞，1)，∴∁UB＝[1，＋∞)，A∩(∁UB)＝[1，2).因此阴影部分表示的集合为A∩(∁UB)＝{x|1≤x<2}.
答案 {x|1≤x<2}
10.设集合A＝，B＝{x|y＝ln(x2－3x)}，则A∩B中元素的个数是________.
解析 由≤2x≤16，x∈N，
∴x＝0，1，2，3，4，即A＝{0，1，2，3，4}.
又x2－3x>0，知B＝{x|x>3或x<0}，
∴A∩B＝{4}，即A∩B中只有一个元素.
答案 1
11.已知集合A＝，B＝{x|[x－(a＋1)][x－(a＋4)]<0}.分别根据下列条件，求实数a的取值范围：
(1)A∩B＝A；
(2)A∩B≠∅.
解 由1－≥0，得≤0，
解得－1
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