宁夏六盘山高级中学2020届高三上学期期末考试数学（文）（B卷）试题

宁夏六盘山高级中学2020届高三上学期期末考试数学（文）（B卷）试题

宁夏六盘山高级中学 ‎2019-2020学年第一学期高三期末测试卷（B）‎ 学科：文科数学； 考试时间：120分钟； ‎ 注意事项：‎ ‎1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接求交集得到答案.‎ ‎【详解】集合，，则.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于简单题.‎ ‎2.已知复数z满足，则z的共轭复数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到，再计算共轭复数得到答案.‎ ‎【详解】，‎ 故，故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.‎ ‎3.抛物线的焦点到准线的距离是（ ）‎ A. 4 B. ‎2 ‎C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到，故，得到答案.‎ ‎【详解】，即，故，焦点到准线的距离是.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的准线，焦点，意在考查学生对于抛物线基础知识的理解.‎ ‎4.已知数列是等差数列，且，则（ ）‎ A. 10 B. ‎9 ‎C. 8 D. 7‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列性质得到，，计算得到答案.‎ ‎【详解】，故，.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的计算，意在考查学生对于等差数列性质的灵活运用.‎ ‎5.已知,且，则（ ）‎ A. 4 B. ‎3 ‎C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量共线的坐标形式可求，求出的坐标后可求.‎ ‎【详解】因为，故，所以，‎ 故，故.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】如果，那么：（1）若，则；（2）若，则.‎ ‎6.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ）‎ 注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.‎ A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上 B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多 D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图得到，互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定不80后多，即可求解.‎ ‎【详解】在A中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%，所以是正确的；‎ 在B中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90‎ 后从事互联网行业岗位分布条形图得到：，互联网行业从业技术岗位的人数超过总人数的，所以是正确的；‎ 在C中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分别条形图得到：，互联网行业从事运营岗位的人数90后比80后多，所以是正确的；‎ 在D中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分别条形图得到：互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定不80后多，所以是错误的.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了命题的真假判定，以及统计图表中饼状图和条形图的性质等基础知识的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎7.若函数，设，，，则，，的大小关系　　‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，结合二次函数的性质可得在上为增函数，结合对数的运算性质可得，进而可得，结合函数的单调性分析可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，函数，是二次函数，‎ 其对称轴为y轴，且在上为增函数，‎ ‎，，，‎ 则有，‎ 则；‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性以及单调性的判定以及应用，涉及对数的运算，属于基础题．‎ ‎8.朱世杰是我国元代伟大的数学家，其传世名著《四元玉鉴》中用诗歌的形式记载了下面这样一个问题：我有一壶酒，携着游春走.遇务①添一倍，逢店饮斛九②.店务经四处，没了这壶酒.借问此壶中，当原多少酒？①“务”：旧指收税的关卡所在地；②“斛九”：1.9斛.下图是解决该问题的算法程序框图，若输入的值为0，则输出的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以根据题意以及程序框图明确输入的数据为“，”和运算的算式为“、”，然后进行运算并结合条件“”得出结果．‎ ‎【详解】输入，‎ 第一次运算：，；‎ 第二次运算：，；‎ 第三次运算：，；‎ 第四次运算：，，输出结果，‎ 由上述可知，输出结果为，故选C．‎ ‎【点睛】本题考查程序框图，主要考查通过程序框图运算得出结果，考查对程序框图的循环结构的理解，考查推理能力与运算能力，是中档题．‎ ‎9.如果一个三位数的十位上的数字比个位和百位上的数字都大，则称这个三位数为“凸数”（如132），现从集合中任取3个互不相同的数字，组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 讨论十位上的数为，十位上的数为，共个，再计算概率得到答案.‎ ‎【详解】当十位上的数为时，共有个；当十位上的数为时，共有个，共个.‎ 故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了概率的计算，分类讨论是解题的关键.‎ ‎10.在平面直角坐标系中，双曲线：的一条渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得双曲线的渐近线方程，以及圆的圆心和圆的半径，运用直线和圆相切的条件：，计算可得，结合离心率公式可得所求值.‎ ‎【详解】双曲线：的一条渐近线为：，‎ 即为，‎ 圆的圆心为，半径为，‎ 由直线和圆相切可得：，‎ 即，可得，‎ 则，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有圆的标准方程，双曲线的渐近线，直线与圆相切的条件，点到直线的距离公式，属于简单题目.‎ ‎11.已知圆锥的顶点为，底面圆周上的两点、满足为等边三角形，且面积为，又知SA与圆锥底面所成的角为45°，则圆锥的表面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求的边长，即圆锥的母线长，再根据SA与圆锥底面所成的角求底面半径，最后根据圆锥侧面积以及底面积公式求结果.‎ ‎【详解】设圆锥的母线长为由题意得因为SA与圆锥底面所成的角为45°，所以圆锥的底面半径为因此圆锥的表面积为，选C.‎ ‎【点睛】本题考查圆锥的母线长以及圆锥侧面积，考查基本分析求解能力.属基本题.‎ ‎12.定义在上的函数导函数为，若对任意实数，有，且 为奇函数，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造新函数，利用导数求得函数在上单调递减，再根据为奇函数，求得，得出不等式等价与，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，构造新函数，则， ‎ 因为，所以，所以函数在上单调递减，‎ 又因为为奇函数，所以，‎ 所以，则，‎ 所以不等式等价与，即，‎ 所以不等式的解集为，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的单调性、奇偶性的应用，以及利用导数研究函数的单调性及其应用，其中解答中构造新函数，合理利用函数的单调性和奇偶性是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.若实数、满足约束条件，则的最大值是______.‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出可行域，向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.‎ ‎【详解】画出可行域如下图所示，向上平移基准直线到可行域边界处，由此求得目标函数的最大值为.‎ 故答案 ‎【点睛】本小题主要考查线性规划求最值，考查数形结合的思想方法，属于基础题.‎ ‎14.若曲线在点处的切线垂直于直线，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导得到，，根据垂直关系得到答案.‎ ‎【详解】，，故.‎ 切线垂直于直线，故，故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了切线问题，直线垂直求参数，意在考查学生的综合应用能力.‎ ‎15.已知数列为各项均为正数的等比数列，是它的前n项和，若.且，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到，，故，，在计算得到答案.‎ ‎【详解】，故，，故，故，故，.‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列基本量计算，求和，意在考查学生对于等比数列公式的灵活运用.‎ ‎16.在四面体 中，且，当四面体的体积最大时，其外接球的表面积为______‎ ‎【答案】34π ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用勾股定理得出△ABC是直角三角形，且AC为斜边，可知CD⊥平面ABC时四面体ABCD 的体积取最大值，再求出外接球的半径R，利用球的表面积公式得答案．‎ ‎【详解】∵，由勾股定理可得，‎ ‎∴△ABC是以AC为斜边的直角三角形，‎ 当CD⊥平面ABC时，四面体ABCD的体积取最大值，‎ 此时，其外接球的直径为，‎ ‎∴外接球的半径为，‎ 因此，四面体ABCD外接球的表面积为．‎ 故答案为34π．‎ ‎【点睛】本题考查多面体外接球表面积的计算，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答.‎ 必做题：共60分.‎ ‎17.如图，在四边形中，，，.‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）若的面积为6，求的值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用余弦定理可得的长；（2）利用面积得出，结合正弦定理可得.‎ ‎【详解】解：（1）由题可知.‎ 在中，，‎ 所以.‎ ‎（2），则 又，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，已知角较多时一般选用正弦定理，已知边较多时一般选用余弦定理.‎ ‎18.世界互联网大会是由中国倡导并每年在浙江省嘉兴市桐乡乌镇举办的世界性互联网盛会，大会旨在搭建中国与世界互联互通的国际平台和国际互联网共享共治的中国平台，让各国在争议中求共识､在共识中谋合作､在合作中创共赢.‎2019年10月20日至22日，第六届世界互联网大会如期举行，为了大会顺利召开，组委会特招募了1 000名志愿者.某部门为了了解志愿者的基本情况，调查了其中100名志愿者的年龄，得到了他们年龄的中位数为34岁，年龄在岁内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图:‎ ‎（1）求，的值并估算出志愿者的平均年龄（同一组的数据用该组区间的中点值代表）；‎ ‎（2）这次大会志愿者主要通过现场报名和登录大会官网报名，即现场和网络两种方式报名调查.这100位志愿者的报名方式部分数据如下表所示，完善下面的表格，通过计算说明能 否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“选择哪种报名方式与性别有关系”?‎ 男性 女性 总计 现场报名 ‎50‎ 网络报名 ‎31‎ 总计 ‎50‎ 参考公式及数据:，其中.‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1），，（岁）（2）列联表见解析，不能 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出的频率，由频率和为1，得到的一个关系式，再由中位数为34，又可得另一个关系式，即可求出，进而求出平均数；‎ ‎（2）根据数据关系补全列联表，求出的观测值，结合提供数据，即可得出结论.‎ ‎【详解】（1）因为志愿者年龄在内的人数为，‎ 所以志愿者年龄在内的频率为:；‎ 由频率分布直方图得:，‎ 即，①由中位数为,‎ 可得，即，②‎ 由①②解得，.‎ 志愿者的平均年龄为 ‎（岁）. ‎ ‎（2）根据题意得到列联表:‎ 男性 女性 总计 现场报名 网络报名 总计 所以的观测值， 所以不能在犯错误的概率不超过的前提下，认为选择哪种报名方式与性别有关系.‎ ‎【点睛】本题考查补全频率直方图，以及中位数、平均数求法，考查独立性检验，意在考查计算求解能力，属于基础题.‎ ‎19.在平行四边形中，，，过点作的垂线，交的延长线于点，.连结，交于点，如图1，将沿折起，使得点到达点的位置，如图2.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若为的中点，为的中点，且平面平面，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）证明．，．推出，，得到平面BFP，然后证明平面平面BCP．（2）解法一：证明平面ABCD．取BF的中点为O，连结GO，得到平面ABCD．然后求解棱锥的高．解法二：证明 平面ABCD．三棱锥的高等于．说明的面积是四边形ABCD的面积的，通过，求解三棱锥的体积．‎ ‎【详解】（1）证明：如题图1，在中，，，所以．‎ 在中，，所以．‎ 所以．‎ 如题图2，．又因，所以，，，‎ 所以平面BFP，又因为平面BCP，所以平面平面BCP．‎ ‎（2）解法一：因为平面平面ABCD，‎ 平面平面，平面ADP，，所以平面ABCD．‎ 取BF的中点为O，连结GO，则，所以平面ABCD．‎ 即GO为三棱锥的高．‎ 且．‎ 因为，三棱锥的体积为．‎ 解法二：因为平面平面ABCD，平面平面，平面ADP，‎ 所以平面ABCD．‎ 因为G为PB的中点．‎ 所以三棱锥的高等于．‎ 因为H为CD的中点，所以的面积是四边形ABCD的面积的，‎ 从而三棱锥的体积是四棱锥的体积的．‎ 面，‎ 所以三棱锥的体积为．‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．‎ ‎20.在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦距为4，且过点．‎ ‎（1）求椭圆的方程 ‎（2）设椭圆的上顶点为，右焦点为，直线与椭圆交于、两点，问是否存在直线，使得为的垂心，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）存在直线满足题设条件,详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知列出关于，，的方程组，解得，，，写出结果即可；‎ ‎（2）由已知可得，，．所以，因为，所以可设直线的方程为，代入椭圆方程整理，得．设，，，，由根与系数的关系写出两根之和和两根之积的表达式，再由垂心的性质列出方程求解即可．‎ ‎【详解】（1）由已知可得，‎ 解得，，，所以椭圆的方程为．‎ ‎（2）由已知可得，，∴.∵，‎ ‎∴可设直线的方程为，代入椭圆方程整理，‎ 得.设，‎ 则，∵.‎ 即 ‎∵‎ 即，∵‎ ‎∴或.‎ 由，得 又时，直线过点，不合要求，∴，‎ 故存在直线满足题设条件.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系应用，以及垂心的定义应用．意在考查学生的数学运算能力．‎ ‎21.已知函数 ‎（1）求函数的极值.‎ ‎（2）当时，证明 ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得函数的导数，利用导数求得函数的单调区间，即可求得函数的极值 ‎（2）把不等式转化为，令，利用导数转化为，令，利用导数求得函数的单调性，得到，即可证明．‎ ‎【详解】（1）依题意，函数，‎ 则，‎ 故当时，，当时，，当时，，‎ 故当时，有极小值，当时，有极大值0.‎ ‎（2）要证，即证，‎ 令，故，可知 故当时，，即，‎ ‎，‎ ‎，则，‎ 当时，；当时，，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以，即，所以，‎ 故当时，．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎ 选做题:共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的参数方程为 （为参数），直线与曲线分别交于两点．‎ ‎（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；‎ ‎（2）若点的极坐标为，，求的值．‎ ‎【答案】(1) 曲线的直角坐标方程为即，直线的普通方程为；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用代入法消去参数方程中的参数，可得直线的普通方程，极坐标方程两边同乘以利用 即可得曲线的直角坐标方程；（2）直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果.‎ ‎【详解】（1）由，得，‎ 所以曲线的直角坐标方程为，‎ 即， 直线的普通方程为. ‎ ‎(2)将直线的参数方程代入并化简、整理，‎ 得. 因为直线与曲线交于，两点．‎ 所以，解得.‎ 由根与系数的关系，得，. ‎ 因为点的直角坐标为，在直线上.所以， ‎ 解得，此时满足.且，故.．‎ ‎【点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．‎ ‎23.已知a，b，c为正数，函数f(x)＝|x＋1|＋|x－5|.‎ ‎(1)求不等式f(x)≤10的解集；‎ ‎(2)若f(x)的最小值为m，且a＋b＋c＝m，求证：a2＋b2＋c2≥12.‎ ‎【答案】(1) {x|－3≤x≤7} (2) 证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分段讨论的范围，去掉绝对值符号得出不等式的解；‎ ‎（2）求出的值，根据基本不等式得出结论．‎ ‎【详解】解：（1），‎ 等价于或或，‎ 解得或或，‎ 所以不等式的解集为．‎ ‎（2）因为，‎ 当且仅当即时取等号．‎ 所以，即．‎ ‎，，，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎．当且仅当时等号成立．‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，不等式的证明与基本不等式的应用，属于中档题．‎ ‎ ‎