- 2021-06-15 发布 |
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文档介绍
2020届二轮复习计数模型学案（全国通用）
计数模型 常见的计数模型有数字组成模型、条件排列模型、分组分配模型及染色模型． 数字组成模型 与顺序相关的数字问题，通常是计算满足某些特征的数字的个数． 常见特征比如各个数位的数字不同、四位数、奇数、比某数大的数、某个数位满足某种条件的数等等，其中各个数位数字可以相同的问题通常借助乘法原理分步解决，各个数位数字不相同通常是与排列相关的问题． 条件排列模型 计算满足某些限制条件的排列的个数，常见的如相邻问题、不相邻问题、某位置不能排某人、某人只能或不能排在某些位置的问题等等． 分组分配模型 将某些相同或不同的元素分配给一些人，满足某些特定的条件的一类问题。相同元素的问题比如名额分配问题，不同元素的分组问题中，典型的有平均分组问题，通常分组问题是无序的，所以在遇到平均分组时需要考虑去除顺序；分配问题通常是与顺序相关的，所以可以考虑直接分配，或者先分组再分配． 染色模型 将某个几何图形（平面的或立体的）或平面区域染上某些特定的颜色，使得图形满足一定的条件（如相邻区域颜色不同等等）．这是排列组合中一种比较复杂的问题，需要结合不同的图形特点进行讨论，通常可以先处理信息较多的点或图形，逐个点按顺序考虑，在需要讨论的时候进行分类等等．也可以整体上讨论哪些内容会互相干扰，从整体上进行分类讨论． 计数杂题 不是以上类型的计数问题，类型不是很成体系，需要就题目本身的条件进行分析． 精选例题 计数模型 1. 将 4 本不同的书送给 3 名同学，每人至少 1 本，则不同的送法有 种．（用数字作答） 【答案】 36 2. 用 0，1，2，3，4，5 这 6 个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数有 个． 【答案】 52 3. 从 1，2，3，4，5 中选出 3 个数组成没有重复数字的三位数，则奇数位上的数是奇数的有 个（用数字作答）． 【答案】 18 4. 将 1，2，3，⋯，9 这 9 个数字填在如图所示的 9 个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当 3，4 固定在图中的位置时，填写空格的方法数有 种． 34 【答案】 6 【分析】 3 的左边只可以填 1 或 2，有两种选择；3 的右边可以填写 5 或 6 或 7．当这两个位置的数字确定以后，整个表格是确定的形式，因此填写表格的办法有 2×3=6 种． 5. 对甲、乙、丙、丁 4 人分配 4 项不同的工作 A，B，C，D，每人一项，其中甲不能承担 A 项工作，那么不同的工作分配方案有 种．（用数字作答） 【答案】 18 6. 有 5 个男生和 3 个女生，从中选出 5 人担任 5 门不同学科（含语文、物理、数学）的课代表，分别求符合下列条件的选法种数． (1)有女生但人数必须少于男生； 【解】 C31C54+C32C53A55=5400 种选法； (2)某女生甲一定要担任语文课代表； 【解】 C11A74=840 种选法； (3)某男生乙必须担任职务，但不担任数学课代表； 【解】 A41A74=3360 种选法； (4)某女生丙和男生丁不担任物理课代表． 【解】 C61A74=5040 种选法． 7. 从 7 名男生和 5 名女生中选取 5 人，分别求符合下列条件的选法有多少种？ (1)其中的 A，B 必须当选； 【解】 C22C103=120 种选法； (2)A，B 恰有一人当选； 【解】 C21C104=420 种选法； (3)选取 3 名男生和 2 名女生分别担任班长、体育委员等 5 种不同职务，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任． 【解】 C73C52C31C21A33=12600 种选法． 8. 12 名同学平均分成 3 组，参加制作航空模型的活动，3 名教师各参加一组进行指导，共有多少种分组方法？ 【解】 将 12 名学生平均分成 3 组的方法有 C124C84C44A33 种，3 名教师按每组 1 人分配到各组中去有 A33 种，故分组方法有 C124C84C44A33⋅A33=34650（种）． 9. 有 4 本不同的书，下列情况各有多少种不同的分法？ (1)分成 2 堆，一堆 1 本，一堆 3 本； 【解】 先从 4 本书中取 1 本，有 C41 种选法，这自然成了一堆，剩下的 3 本就是另一堆，共有 C41C33=4 种不同的分法． (2)分成 2 堆，每堆 2 本． 【解】 先从 4 本书中取 2 本，有 C42 种选法，这自然成为一堆，剩下的 2 本就是另一堆．注意到在上述过程中不仅分为两堆，而且两堆有了先后次序，故应除以 A22，所以不同分法种数为 C42C22A22=3． 10. 10 件不同厂生产的同类产品： (1)在商品评选会上，有 2 件商品不能参加评选，要选出 4 件商品，并排定选出的 4 件商品的名次，有多少种不同的选法？ 【解】 10 件商品，除去不能参加评选的 2 件商品，剩下 8 件，从中选出 4 件进行排列，有 A84=1680（或 C84⋅A44）（种）． (2)若要选 6 件商品放在不同的位置上陈列，且必须将获金质奖章的两件商品放上，有多少种不同的布置方法？ 【解】 分步完成．先将获金质奖章的两件商品布置在 6 个位置中的两个位置上，有 A62 种方法，再从剩下的 8 件商品中选出 4 件，布置在剩下的 4 个位置上，有 A84 种方法，共有 A62⋅A84=50400（或 C84⋅A66）（种）． 数字组成模型 1. 用数字 1，2，3，4，5，6 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数的个数是 ． 【答案】 360 【分析】 在其他各位确定后，个位与十位上的两个数字有两种排法，其中较小的数在个位的那个数满足条件，所以个位数字小于十位数字的六位数的个数是由 1，2，3，4，5，6 组成的没有重复数字的六位数的一半，即 12A66=360 个． 或先从 6 个数字中选 2 个排个位和十位，有 C62 种方法，再将其他 4 个数字分别在其他 4 位上排列，有 A44 种排法，所以共有 C62A44=360 种不同的排法． 2. 四位数的正整数中，各个数位上的数字是互不相同的正整数且数字之和为 12 的四位数共有 个． 【答案】 174 【分析】 分两类考虑： （1）数字中含有 0 的组合有 0,1,2,9 、 0,1,3,8 、 0,1,4,7 、 0,1,5,6 、 0,2,3,7 、 0,2,4,6 、 0,3,4,5 七个； （2）数字中不含 0 的组合有 1,2,3,6 、 1,2,4,5 两个． 故符合题意的四位数共有 C71C31A33+C21A44=174 个． 3. 由 0,1,2,3,4,5 六个数字可以组成 个数字不重复且 2,3 相邻的四位数(用数字填空)． 【答案】 60 4. 从 1,3,5,7 中任取 2 个数字，从 0,2,4,6,8 中任取 2 个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被 5 整除的四位数共有 个．（用数字作答） 【答案】 300 【分析】 分两种情况求解． 末位为 0 时，有 C41C42A33=144 个四位数； 末位为 5 时，有 C31C52A33-C41C31A22=156 个四位数． 5. 由 0,1,2,3 这四个数字，可组成无重复数字的三位偶数有 个． 【答案】 10 6. 用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的数： (1)能组成多少个五位数？ 【解】 因为万位上数字不能是 0，所以万位数字的选法有 5 种，其余四位上的排法有 A54=120 种，所以共可组成 600 个五位数． (2)能组成多少个正整数？ 【解】 组成的正整数，可以是一位、二位、三位、四位、五位、六位数，相应的排法种数依次为 A51，A51A51，A51A52，A51A53，A51A54，A51A55， 所以可组成 A51+A51A51+A51A52+A51A53+A51A54+A51A55=1630 个正整数． (3)能组成多少个六位奇数？ 【解】 首位与个位的位置是特殊位置，0,1,3,5 是特殊元素，先选个位数字，有 3 种不同的选法；再考虑首位，有 4 种不同的选法，其余四个位置的排法有 A44 种． 所以能组成 3×4×24=288 个六位奇数． (4)能组成多少个能被 25 整除的四位数？ 【解】 能被 25 整除的四位数的特征是最后两位数字是 25 或 50，这两种形式的四位数依次有 A31⋅A31 和 A42 个， 所以，能组成 9+12=21 个能被 25 整除的四位数． (5)能组成多少个比 201345 大的数？ 【解】 因为 201345 除首位数 2 以外，其余 5 个数字顺次递增排列，所以 201345 是首位数是 2 的没有重复数字的最小六位数，比它小的六位数是首位数为 1 的六位数，共有 A55=120 个，而由 0,1,2,3,4,5 组成的六位数有 A51A55=600 个． 所以大于 201345 的没有重复数字的六位数共有 600-120-1=479 个． (6)求所有组成三位数的总和． 【解】 由 0,1,2,3,4,5 组成无重复数字的三位数共有 A63-A52=100 个． 个位数字是 1 的三位数有 A41⋅A41=16 个，同理个位数字是 2、3、4、5 的三位数都各有 16 个，所以，个位数的和为 16×1+2+3+4+5=240；同样十位上是 1、2、3、4、5 的三位数也都各有个 16，这些数的和为 16×1+2+3+4+5×10=2400；百位上是 1、2、3、4、5 的三位数都各自有 20 个，这些数字的和为 20×1+2+3+4+5×100=30000． 所以，所有这 100 个三位数的和为 240+2400+30000=32640． 7. 把 1，2，3，4，5 这五个数字组成无重复数字的五位数，并将它们按由小到大的顺序排成一个数列． (1) 43251 是这个数列的第几项？ 【解】 先考虑大于 43251 的数有三类：以 5 打头的有 A44 个； 以 45 打头的有 A33 个； 以 435 打头的有 A22 个，则不大于 43251 的五位数有 A55-A44+A33+A22=88（个）． 故 43251 是此数列的第 88 项． (2)这个数列的第 96 项是多少？ 【解】 此数列共有 120 项，第 96 项以后还有 120-96=24（项），即比第 96 项所表示的五位数大的五位数有 24 个， 而以 5 打头的五位数恰好有 A44=24（个），所以小于以 5 打头的五位数中最大的一个就是该数列的第 96 项，即为 45321． (3)求这个数列的各项和． 【解】 因为 1，2，3，4，5 各在万位上时都有 A44 个五位数，所以万位上数字的和为 1+2+3+4+5×A44×10000； 同理，它们在千位、百位、十位、个位上时也都有 A44 个五位数，所以其和为 1+2+3+4+5×A44×1+10+100+1000． 综上，这个数列的各项和为 1+2+3+4+5×A44×1+10+100+1000+10000=3999960. 8. 三位数（100,101,⋯,999）共 900 个，在卡片上打印这些三位数．每张卡片打印 1 个三位数．有的卡片所印的，倒过来看仍为三位数，如：198 倒过来看是 861（1 倒过来看仍视为 1）；有的卡片则不然，如 531 倒过是 ，因此有些卡片可以一卡二用，问至多可少打印多少张卡片 ？ 【解】 把卡片倒过来仍为三位数，这些数的十位数字只可取 0,1,6,8,9，而百位数字与个位数字只可取 1,6,8,9，这种三位数共有 A51A41A41=5×42=80（个）． 但其中有卡片倒过来虽然仍为三位数，但与原数相同，如 619,808 等等，这种数的十位数字只能取 0,1,8，百位数字可取 1,6,8,9，这时个位数字就随之确定了，此时三位数共有 A31A41=12（个）． ∴ 可少打印的卡片数至多有 12×80-12=34（张）． 9. 用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的四位数． (1)可组成多少个不同的四位数？ 【解】 直接法：A51⋅A53=300； 间接法：A64-A53=300． (2)可组成多少个不同的四位偶数？ 【解】 由题意知四位数个位数上必须是偶数，同时暗含了首位不能是 0，因此该四位数的个位和首位是“特殊位置”，应优先处理；另一方面，0 既是偶数，又不能排在首位，属“特殊元素”应重点对待． 直接法： 0 在个位的四位偶数有 A53 个； 0 不在个位时，先从 2，4 中选一个放在个位，再从余下的四个数（不包括 0）中选一个放在首位，应有 A21⋅A41⋅A42 个． 综上所述，共有 A53+A21⋅A41⋅A42=156 个． 间接法： 从这六个数字中任取四个数字组成最后一位是偶数的排法，有 A31⋅A53，其中第一位是 0 的有 A21⋅A42 个，故适合题意的数有 A31⋅A53-A21⋅A42=156 个． (3)将（1）中的四位数按从小至大的顺序排成一数列，问第 85 个数是什么？ 【解】 1 在首位的数有 A53=60 个； 2 在首位 0 在第二位的数有 A42=12 个； 2 在首位 1 在第二位的数有 A42=12 个； 以上的四位数共有 84 个，故第 85 个数是 2301． 10. 用 0，1，2，3，4，5 这六个数字， (1)可以组成多少个数字不重复的三位数？ 【解】 分三步： ① 先选百位数字，由于 0 不能作百位数，因此有 5 种选法； ② 十位数字有 5 种选法； ③ 个位数字有 4 种选法． 由乘法原理知所求不同三位数共有 5×5×4=100 个． (2)可以组成多少个数字允许重复的三位数？ 【解】 分三步： ① 百位数字有 5 种选法； ② 十位数字有 6 种选法； ③ 个位数字有 6 种选法． 所求三位数共有 5×6×6=180 个． (3)可以组成多少个数字不允许重复的三位奇数？ 【解】 分三步： ① 先选个位数字，有 3 种选法； ② 再选百位数字，有 4 种选法； ③ 选十位数字也是 4 种选法． 所求三位奇数共有 3×4×4=48 个． (4)可以组成多少个数字不重复的小于 1000 的自然数？ 【解】 分三类： ①一位数，共有 6 个； ② 两位数，共有 5×5=25 个； ③ 三位数共有 5×5×4=100 个． 因此，比 1000 小的自然数共有 6+25+100=131 个． (5)可以组成多少个大于 3000，小于 5421 的数字不重复的四位数？ 【解】 分四类： ① 千位数字为 3，4 之一时，共有 2×5×4×3=120 个； ② 千位数字为 5，百位数字为 0，1，2，3 之一时，共有 4×4×3=48 个； ③ 千位数字是 5，百位数字是 4，十位数字为 0，1 之一时，共有 2×3=6 个； ④ 还有 5420 也是满足条件的 1 个． 故所求自然数共 120+48+6+1=175 个． 条件排列模型 1. 2010 年广州亚运会火炬传递在 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 六个城市之间进行，以 A 为起点，F 为终点，B 与 C 必须接连传递，E 必须在 D 的前面传递，且每个城市只经过一次，那么火炬传递的不同路线共有 种． 【答案】 6 2. 电视台连续播放 6 个广告，其中含 4 个不同的商业广告和 2 个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式(结果用数值表示)． 【答案】 48 3. 在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等 5 人报名参加了 A，B，C 三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需 1 名志愿者，且甲不能参加 A，B 项目，乙不能参加 B，C 项目，那么共有 种不同的志愿者分配方案．（用数字作答） 【答案】 21 4. 4 名男生和 5 名女生排成一排，若 4 名男生顺序一定且 5 名女生顺序也一定，则不同的排法种数为 ． 【答案】 126 【分析】 方法 1 先排男生，再排女生，有 C94C55=126 种方法． 方法 2 除序法：A99A55A44=126（种）． 5. 5 名乒乓球队员中，有 2 名老队员和 3 名新队员．现从中选出 3 名队员排成 1、2、3 号参加团体比赛，则入选的 3 名队员中至少有一名老队员，且 1、2 号中至少有 1 名新队员的排法有 种．（以数作答） 【答案】 48 【分析】 两老一新时，有 C31C21A22=12 种排法； 两新一老时，有 C21C32A33=36 种排法； 共有 12+36=48 种排法． 6. A，B，C，D 四名同学站成一排照相，求 A 不站两端有多少种不同站法． 【解】 先安排 A，有 A21 种站法，再安排 B，C，D，有 A33 种站法，共有 A21A33=2×3×2×1=12（种）站法． 7. 4 名男生和 5 名女生站成一排． (1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种？ 【解】 解法一（考虑元素）： 先排甲，有 6 种排法，再排其余，有 A88 种排法，共有站法 6A88=241920（种）． 解法二：（考虑位置）： 先排中间和两端的位置有 A83 种排法，再排其余位置有 A66 种排法，故共有站法 A83A66=241920（种）． 解法三：（排除法）：A99-3A88=241920（种）． (2)甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？ 【解】 （特殊优先）先排甲、乙有 A22 种，再排其余有 A77 种，所以共有 A22A77=10080（种）． 8. 有 6 名男医生，4 名女医生，从中选 3 名男医生，2 名女医生到 5 个不同地区巡回医疗，但规定男医生甲不能到地区 A，共有多少种不同的分派方案？ 【解】 男医生甲是特殊元素，地区 A 是特殊位置，因此分类解决． 方法 1：分两类： 第一类甲被选，共有 C52C42C41A44 种分派方法； 第二类甲不被选，共有 C53C42A55 种分派方法； 根据分类加法计数原理，共有 C52C42C41A44+C53C42A55=5760+7200=12960 种． 方法 2：分两类： 第一类：地区 A 分派女医生，共有 C41C31C41A63 种． 第二类：地区 A 分派男医生但医生甲不到地区 A，其有 C51C52C42A44 种． 根据分类加法计数原理，共有 C41C31C41A63+C51C52C42A44=12960 种． 9. 7 个人到 7 个地方去旅游，甲不去 A 地，乙不去 B 地，丙不去 C 地，丁不去 D 地，问：共有多少种旅游方案？ 【解】 此题可用排除法，7 个人分赴 7 个地方共有 A77 种可能． （i）若甲、乙、丙、丁 4 人同时都去各自不能去的地方旅游，而其余的人可以去余下的地方旅游的不同选法有 A33=6（种）． （ii）若甲、乙、丙、丁中有 3 人同时去各自不能去的地方旅游，有 C43 种，而 4 人中剩下 1 人旅游的地方是 C31 种，都选定后，再考虑无条件下 3 人的旅游方法是 A33 种，所以共有 C43C31A33=72（种）． （iii）若甲、乙、丙、丁 4 人中有 2 人同时去各自不能去的地方旅游，有 C42 种，余下的 5 个人分赴 5 个不同的地方的方案有 A55 种，但是其中又包括了有条件的四人中的两人（不妨设甲、乙两人）同时去各自不能去的地方共 A33 种，和这两人中有一人去了自己不能去的地方有 2A31A33 种，所以共有 C42A55-A33-2A31A33=468（种）． （iiii）若甲、乙、丙、丁 4 人中只有 1 人去了自己不能去的地方旅游，有 C41 种方案，而余下的六个人的旅游方案仍与（iii）想法一致，共有 C41A66-A33-C32A44-A33-C31A55-A33-2A31⋅A33=1704（种）． 所以满足以上情况的不同旅游方案共有 A77-6+72+468+1704=2790（种）． 10. 从 4 名男生、 3 名女生中选出三名代表，求： (1)不同的选法共有多少种？ 【解】 即从 7 名学生中选出三名代表,共有选法 C73=35 (种)． (2)至少有一名女生的不同选法共有多少种？ 【解】 至少有一名女生的不同的选法共有 C73C42+C32C41+C33=31 (种)． (3)代表中男、女生都要有的不同的选法共有多少种？ 【解】 男、女生都要有的不同的选法共有 C73-C43-C33=30 (种)． 分组分配模型 1. 把 4 名男乒乓球选手和 4 名女乒乓球选手同时平均分成两组进行混合双打表演赛，不同的比赛分配方法有 种(混合双打是 1 男 1 女对 1 男 1 女，用数字作答)． 【答案】 72 2. 口袋中有三个大小相同、颜色不同的小球各一个，每次从中取一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取了 5 次停止的种数为 ． 【答案】 42 【分析】 取 5 次，三种颜色不同的小球可以出现 3 次、 1 次、 1 次，或 2 次、 2 次、 1 次，所以恰好取了 5 次停止的种数是 C31C43A22+C31C42C22=24+18=42． 3. 7 名志愿者中安排 6 人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排 3 人，则不同的安排方案共有 种(用数字作答)． 【答案】 140 【分析】 C73C43=140 ． 4. 3 名医生和 6 名护士分配到 3 所学校为学生体检，每校分配 1 名医生和两名护士，不同的分配方法共有 种． 【答案】 540 【分析】 先分配 3 名医生，有 A33=6 种不同的分配方法；再分配 6 名护士，有 C62C42C22=90 种不同的分配方法，所以共有 6×90=540 种不同的分配方法． 5. 有 7 名选手准备参加 2016 年高中数学联赛，把他们分到 1-3 考场，若每个考场的选手人数不少于该考场的序号数，则不同的分配方案共有 种 【答案】 455 【分析】 1+2+3=6 余下一人分配有三种情况 1,0,00,1,00,0,1 对应考场人数为 2,2,31,3,31,2,4，用排列数直接求解即 C72C52C33+C71C63C33+C71C62C44=455． (1)3 人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数为几种？ 【答案】 24 种． 【解】 由题意知有 5 个座位都是空的，我们把 3 个人看成是坐在座位上的人，往 5 个空座的空档插，由于这 5 个空座位之间共有 4 个空，3 个人去插，共有 A43=24 种． (2)有 5 个人并排站成一排，如果甲必须在乙的右边，则不同的排法有多少种？ 【答案】 60 种． 【解】 因为总的排法数为 A55=120 种， 所以甲在乙的右边的排法数为 A552=60 种． (3)现有 10 个保送上大学的名额，分配给 7 所学校，每校至少有 1 个名额，问名额分配的方法共有多少种？ 【答案】 84 种． 【解】 每个学校至少一个名额，则分去 7 个，剩余 3 个名额分到 7 所学校的方法种数就是要求的分配方法种数． 分类：若 3 个名额分到一所学校有 7 种方法； 若分配到 2 所学校有 C71⋅C61=42 种； 若分配到 3 所学校有 C73=35 种． 所以共有 7+42+35=84 种方法． 7. 从 5 双不同尺码的鞋子中任取 4 只，其中恰有一双配对的取法有多少种？ 【解】 先取一双有 C51 种取法，再取不同双的两只鞋有 C42C21C21 种取法，故共有 C51C42C21C21=120 种取法． 8. 某国际旅行社共有 9 名专业导游，其中 5 人会英语，3 人会日语，1 人既会英语又会日语．若在同一天要接待 5 个不同的外国旅游团队，其中有 3 个队要安排会英语的导游，2 个队要安排会日语的导游，则不同的安排方法共有多少种？（用数字作答） 【解】 9 人中有 5 人会英语，3 人会日语，1 人既会英语又会日语． 第一类，既会英语又会日语的不安排做导游，则有 C53C32； 第二类，既会英语又会日语的安排做英语导游，则有 C52C32； 第三类，既会英语又会日语的安排做日语导游，则有 C53C31． 由分类加法计数原理，共有 C53C32+C52C32+C53C31=90（种）． 9. 6 本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法： (1)分给甲、乙、丙三人，每人两本； 【解】 根据分步计数原理得到：C62C42C22=90 种． (2)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本； 【解】 这是“不均匀分组”问题，一共有 C61C52C33=60 种方法． (3)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本． 【解】 在（2）的基础上再进行全排列，所以一共有 C61C52C33A33=360 种方法． 10. 将 4 个小球任意放入 3 个不同的盒子中， (1)若 4 个小球各不相同，共有多少种放法？ 【解】 每个小球有 3 个放法，共有 34=81 种放法； (2)若要求每个盒子都不空，且 4 个小球完全相同，共有多少种不同的放法？ 【解】 4=1+1+2 ，故只需选一个盒子放两个球即可，故有 C31=3 种放法； (3)若要求每个盒子都不空，且 4 个小球互不相同，共有多少种不同的放法？ 【解】 4 个小球不同时，选择一个盒子放两个球有 C31 种，选择两个小球放入该盒，有 C42 种选法，其他两个小球全排，故有 C31C42A22=36 种． 染色模型 1. 如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种．（以数字作答） 【答案】 72 【分析】 按照颜色的种数分类． 选用 3 种颜色时，必须是②④同色，③⑤同色，有 C43A33=24 种涂色方法； 4 种颜色全用时，②④同色或③⑤同色，有 2A44=48 种涂色方法． 所以不同的着色方法共有 48+24=72 种． 2. 如图，用 6 种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）． 【答案】 630 【分析】 可分为使用 4 种颜色、 3 种颜色、 2 种颜色，则所求的涂色方法为 A64+2A63+A62=630 种． 3. 用 6 种不同的颜色给图中的"笑脸"涂色，要求"眼睛"（即图中 A 、 B 所示区域）用相同颜色，则不同的涂法共有 种．（用数字作答） 【答案】 216 【分析】 眼睛、鼻子、嘴分别有 6 种涂法，故涂法共有 6×6×6=216 种． 4. 某人有 3 种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的 6 个点 A 、 B 、 C 、 A1 、 B1 、 C1 上各安装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则不同的安装方法共有 种（用数字作答）． 【答案】 12 【分析】 可看成对 6 个点进行 3 种颜色的涂色，同一线段两端不同色． 首先对 A 涂色，共有 3 种可能，然后 B 有 2 种，C 有 1 种． 然后 A1 有两种颜色可选择（B 或 C 的颜色），当 A1 的颜色确定时，B1,C1 的颜色也唯一确定． 因此由乘法原理，总共的方法数为 3×2×2=12 种． 5. 用红、黄、蓝三种颜色对如图所示的三个方格进行涂色．若要求每个小方格图一种颜色，且涂成红色的方格数为偶数，则不同的涂色方案种数是 ． 【答案】 14 6. 用 5 种不同颜色给图中的 4 个区域涂色，每个区域涂一种颜色． 1423 (1)共有多少种不同的涂色方法？ 【解】 由于 1 至 4 号区域各有 5 种不同的涂法，故按照分步乘法计数原理知，不同的涂色方法共有 54=625（种）． (2)若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？ 【解】 第一类：1 号区域与 3 号区域同色时，按区域顺序，按照分步乘法计数原理知有 5×4×1×4=80（种）涂法； 第二类：1 号区域与 3 号区域异色时，按区域顺序，按照分步乘法计数原理知有 5×4×3×3=180（种）涂法． 依据分类加法计数原理知不同的涂色方法有 80+180=260（种）． 7. 如图，要给①②③④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，求图 1、图 2 和图 3 的不同涂色方法各有多少种． 【解】 图 1 的不同涂色方法种数为 5×4×3×3=180 种； 图 2 的不同涂色方法种数为 5×4×3×4=240 种； 图 3 的不同涂色方法种数为 5×4×4×4=320 种（先涂③）． 8. 用红、黄、蓝、白、黑色涂在“田”字形 4 个小方格内，每格涂一种色，有公共边的两格不同色，颜色可重复使用，共有多少种不同涂色法？ 【解】 如图，对四个方格编号，以下可将涂色方法分三类： 1234 （1）四格均不涂同色有 A54 种； （2）有且仅有两格同色，它们一定是相对两格，从五种颜色中取一种涂相对格，其余两格须从其余四种色中取两种不同色填涂，有 2C51A42 种； （3）两组对角都涂同色有 A52 种． 综上，不同涂色方法有 A54+2C51A42+A52=260 种． 9. 用 6 种不同的颜色给下列三个图中的 4 个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且要求相邻的两个格子颜色不同，则 (1)图 1 和图 2 中不同的涂色方法分别有多少种？ 【解】 图一，先涂中间，再涂两边 6×5×5×4=600 种方法； 图二，用 2 色涂格子有 C62×2=30 种方法，用 3 色涂格子有 2A63=240 种方法，用 4 色有 A64=360，故总共有 630 种方法． (2)图 3 最多只能使用 3 种颜色，不同的涂色方法有多少种？ 【解】 图三，用 2 色涂格子有 C62×2=30 种方法，用 3 色涂格子有 3A33C63=360 种方法，故总共有 390 种方法． 10. 用 n 种不同颜色为下列两块广告牌（如图着色，要求在 ①②③④ 四个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一种颜色． (1)若 n=6，为甲着色时共有多少种不同的方法？ 【解】 分四步给甲着色： 为①着色有 6 种方法； 为②着色有 5 种方法； 为③着色有 4 种方法； 为④着色有 4 种方法． 故共有着色方法 6×5×4×4=480（种）． (2)若为乙着色时有 120 种不同的方法，求 n． 【解】 也分四步给乙着色：分别给①②③④着色，它们分别有 n，n-1，n-2，n-3 种方法，故 nn-1n-2n-3=120，即 n2-3n2+2n2-3n-120=0， ∴n2-3n-10=0， ∴n=5． 计数杂题 1. 将 7 个不同的小球全部放入编号为 2 和 3 的两个小盒子里，使得每个盒子里的球的个数不小于盒子的编号，则不同的放球方法共有 种． 【答案】 91 【分析】 编号为 2 的盒子可以放入球的个数为 2,3,4，于是不同的放球的方法数 C72+C73+C74=91． 2. 某人要用 100 元，购买单价分别为 12 元和 14 元的两种商品，根据需要至少买 12 元产品 3 件，至少买 14 元产品 2 件，则不同的选购方式共有 种． 【答案】 7 3. 某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教（每地 1 人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有 种． 【答案】 600 【分析】 分为两类情况解决： 甲不去，则丙一定不去，有 C64A44 种选法； 甲去，则乙一定不去，丙一定去，有 C52A44 种选法． 4. 集合 A=a1,a2,a3,a4，B=b1,b2,b3，则以 A 为定义域，B 为值域的函数共有 个． 【答案】 36 【分析】 集合 A 中必有两个元素对应集合 B 中的一个元素，有 C42C31 种方法；集合 A 中其余两个元素对应集合 B 中的其余两个元素，有 A22 种方法．因此，一共可建立 C42C31A22=36 个函数． 5. 在 50 件产品中有 4 件次品，从中任意抽出 5 件，至少有 3 件是次品的抽法共有 种（用数字作答）． 【答案】 4186 【分析】 分类讨论，C43C462+C44C461=4140+46=4186． 6. 亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有 5 名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由 1 号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方 2 号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？ 【解】 设亚洲队队员为 a1,a2,⋯,a5，欧洲队队员为 b1,b2,⋯,b5，下标表示事先排列的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序．比赛过程转化为这 10 个字母互相穿插的一个排列，最后是胜队中不被淘汰的队员和可能未参赛的队员，所以比赛过程可表示为 5 个相同的白球和 5 个相同黑球排列问题，比赛过程的总数为 C105=252 种． 7. 有 4 个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内： (1)共有多少种放法？ 【解】 一个球一个球地放到盒子里去，每个球都可有 4 种独立的放法，由分步乘法计数原理知，有 44=256（种）放法． (2)恰有一个盒子不放球，有多少种放法？ 【解】 为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去 1 个，有 C41 种方法，再将 4 个球分成 2，1，1 的三组，有 C42 种分法，然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个盒子，全排列即可． 由分步乘法计数原理知，有 C41⋅C42⋅C31⋅A22=144（种）放法． (3)恰有一个盒子放 2 个球，有多少种放法？ 【解】 “恰有一个盒子放 2 个球”，也就是说另外的三个盒子放 2 个球，每个盒子至多放 1 个球，即另外三个盒子中恰有一个空盒． 因此，“恰有一个盒子放 2 个球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事，有 144 种放法． 8. 从 1，2，3，⋯，9 这 9 个数字中任取两个不同的数字分别作为一个对数的真数和底数． (1)一共可以得到多少个不同的对数值？ 【解】 ① 1 不能作为底数，故从 2∼9 这 8 个数字中任选两个组成对数，共有 A82=56（个），在这 56 个对数值中，由于 log24=log39，log42=log93，log23=log49，log32=log94，所以应去掉 4 个． ② 1 作为真数时，不论底数为何值，其对数值恒等于 0． 综上可以得到不同的对数值为 56-4+1=53（个）． (2)其中比 1 大的对数值有几个？ 【解】 要求比 1 大的对数值，可分类讨论． 当底数取 2 时，真数从 3∼9 七个数字中任选一个，有 7 种； 当底数取 3 时，真数从 4∼9 六个数字中任选一个，有 6 种； 依此类推，当底数为 8 时，真数只能取 9，此时有 7+6+5+4+3+2+1=28（个）． 其中 log24=log39，log23=log49，所以比 1 大的对数值共有 28-2=26（个）． 9. 在 ∠BAC 的一边 AB 上取 5 个点，另一边 AC 上取 4 个点，再加上点 A 共有 10 个点．试求这 10 个点可构成多少个不同的三角形． 【解】 将点分为三类，第一类是 AC 边上不包括 A 的 4 个点；第二类是 AB 边上不包括 A 的 5 个点；第三类是点 A． （1）从第一类中取两个点，第二类中取一个点构成三角形共有 C42C51=30（个）． （2）从第二类中取两个点，第一类中取一个点构成三角形共有 C52C41=40（个）． （3）从第一类、第二类中各取一个点，与 A 构成三角形共有 C51C41=20（个）． 由加法原理，可以构成 30+40+20=90（个）． 10. 已知集合 A 和集合 B 各含有 12 个元素，A∩B 中含有 4 个元素，试求同时满足下列两个条件的集合的个数． ① C⫋A∪B，且 C 中含有 3 个元素； ② C∩A≠∅． 【解】 解法 1（直接法）： ∵cardA∪B=cardA+cardB-cardA∩B， ∴cardA∪B=12+12-4=20． 满足题设条件的集合 C 可划分为三类： 第一类：A 中取 1 个元素，A∩B 中取 2 个元素，有 C121C82 个； 第二类：A 中取 2 个元素，A∩B 中取 1 个元素，有 C122C81 个； 第三类：A 中取 3 个元素，A∩B 中取 0 个元素，有 C123C80 个． ∴ 满足题设要求的集合 C 有 C121C82+C122C81+C123C80=1084（个）． 解法2：（间接法） ∵A∪B 中共有 20 个元素，从 20 个元素中取 3 个元素的方法数为 C203，所取元素属于 B 而不属于 A 的取法有 C83 种， ∴ 符合题意的集合 C 有 C203-C83=1084（个）． 课后练习 1. 给 n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当 n⩽4 时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如图所示： 由此推断，当 n=6 时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种（结果用数值表示）． 2. 一个五棱柱的任何两个侧面都不平行，且底面任意一条对角线与另一底面的边也不平行，则以棱柱的顶点为顶点的四面体的个数是 ． 3. 将数字 1,2,3,4 填入标号为 1,2,3,4 的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有 种． 4. 社区主任要为小红等 4 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照，要求排成一排，小红必须与 2 位老人都相邻，且两位老人不排在两端，则不同的排法种数是 ．（用数字作答） 5. 如图所示，画中的一朵花，有五片花瓣．现有四种不同颜色的画笔可供选择，规定每片花瓣都要涂色，且只涂一种颜色．若涂完的花中颜色相同的花瓣恰有三片，则不同涂法种数为 （用数字作答）． 6. 从 1，3，5 中选 2 个不同的数字，从 2，4，6 中选 2 个不同的数字组成四位数，共能组成 个四位数． 7. 由数字 0，1，2，3，4 组成无重复数字的五位数，其中奇数有 个． 8. 设 x，y 都是小于 10 的非负整数，则不同复数 x+yi 的个数是 ． 9. 由 1，4，5，x 可组成没有重复数字的四位数，若所有这些四位数的各位数字之和为 288，则 x = ． 10. 从 1，3，5 中选出两个数字，与数字 2，4 组成没有重复数字的四位数，其中偶数有 个． 11. 在报名的 3 名男教师和 6 名女教师中，选取 5 人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）． 12. 从 6 种不同的儿童玩具中选出 4 种放入 4 个不同的盒子中，每个盒子中放一种玩具，如果甲、乙两种玩具不能放入第 1 个盒子里，那么不同的放法共有 种． 13. 甲、乙两名大学生从 4 个公司中各选 2 个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有 1 个相同的选法种数是 ．（用数字作答） 14. 甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为 ． 15. 从 5 名运动员中选出 4 人参加接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有 种不同的参赛方法． 16. 两个三口之家（父母及 1 个小孩）共同游山需乘坐两辆不同的缆车，每辆缆车最多只能乘坐 4 人，但两个孩子不能单独乘坐同一辆缆车，则不同的乘坐方法共有 种．（用数字作答） 17. 从 5 名男医生、 4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队，要求男、女医生都有，则不同的组队方案共有 种． 18. 将 3 个不同的小球放入编号为 1，2，3，4，5，6 的盒子内，6 号盒中至少有一个球的放法有 种． 19. 安排 6 志愿者去做 3 项不同的工作，每项工作需要 2 人，由于工作需要，A，B 二人必须做同一项工作，C，D 二人不能做同一项工作，那么不同的安排方案有 种． 20. 将 10 个三好学生的名额全部分配给高二年级编号为 1，2，3 的三个班级，则每个班级分到的名额数不小于班级编号的分法有 种．（用数字作答） 21. 用 4 种不同的颜色给图中 A，B，C，D 四个区域涂色，要求相邻的区域涂色不同，则不同的涂色方法共有 种． 22. 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为 1,2⋯⋯9 的 9 个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为" 1 、 5 、 9 "的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有 种． 123456789 23. 某人有 4 种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的 6 个点 A 、 B 、 C 、 A1 、 B1 、 C1 上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 种．（用数字作答） 24. 将 3 种作物种植在如图的 5 块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有 种．（以数字作答） 25. 对一个各边长不相等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边染相同的颜色，则不同的染色方法共有 种． 26. A 、 B 之间有 6 条网线路并联，它们通过的最大信息量分别为 1，1，2，2，3，4，现从中任取三条网线，且使这三条网线通过的最大信息量的和不小于 6 的取法共有 种． 27. 已知甲、乙两组各有 8 人，现从每组抽取 4 人进行计算机知识竞赛，比赛人员的组成共有 种可能（用数字作答）． 28. 从 1 到 10 这十个数中，任意选取 4 个数，其中第二大的数是 7 的情况共有 种． 29. 从 1,2,3,8,9,10 这 6 个数中，取出两个，使其和为偶数，则共可得到 个这样的不同偶数． 30. 如右图，从一个 3×4 的方格中的顶点 A 到顶点 B 的最短路线有 条． 31. 有 6 本不同的书按下列方式分配，问共有多少种不同的分配方法？ (1)分成三份，每份分别为 1 本，2 本和 3 本； (2)分给甲、乙、丙三人，其中一人 1 本，一人 2 本，一人 3 本； (3)平均分成三份，每份 2 本； (4)平均分给甲、乙、丙三人，每人 2 本； (5)分给甲、乙、丙三人，其中一人 1 本，一人 1 本，一人 4 本． 32. 用 0,1,2,⋯,9 这十个数字组成无重复数字的四位数，若千位数字与个位数字之差的绝对值是 2，则这样的四位数共有多少个？ 33. 有 10 只不同的试验产品，其中有 4 只次品，6 只正品，现每次取 1 只测试，直到 4 只次品全测出为止，求最后 1 只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有多少种？ 34. 数学奥赛小组共 13 名学生，其中高三学生 8 人，高二学生 5 人．从 13 人中选 3 人参加数学奥赛，在选出的 3 人中至少有 1 名高二学生，一共有多少种选法？ 35. 写出从 0，1，2，3，4 五个数字中任取两个数字组成的所有两位数？ 36. 给出五个数字 1,2,3,4,5； (1)用这五个数字能组成多少个无重复数字的四位偶数？ (2)用这些数字作为点的坐标，能得到多少个不同的点（数字可以重复用）？ 37. 用 0，1，2，3，4，5 这六个数字可以组成多少个无重复数字的： (1)六位奇数； (2)个位数字不是 5 的六位数； (3)不大于 4310 的四位偶数． 38. 用 1，2，3，4，5，6 这六个数字可组成多少个无重复数字且不能被 5 整除的五位数？ 39. 在所有的三位数中，百位数字，十位数字和个位数字依次减小的有多少个？仅是个位数字比百位数字小的又有多少个？ 40. 用 0，1，2，3，4，5 六个数字，排成不含重复数字的四位数（答案只需写出计算公式）． (1)可排成多少个不同的数？ (2)可排成多少个不同的奇数？ (3)可排成多少个不同的偶数？ (4)可排成多少个不同的可以被 3 整除的数？ 41. 一场比赛有五位男生和三位女生，要求排出一个出场的次序表． (1)前四名出场中要有女生，有多少种排法？ (2)三位女生要相邻，有多少种排法？ 42. 将 a，b，c，d，e 五人排成一列纵队，求：（答案只需写出计算公式） (1) a 与 b 相邻，有几种排法？ (2) a 与 b 不相邻，有几种排法？ (3) a 在 b 前面，有几种排法？ (4) a 与 b 相邻，a 在 b 前面，有几种排法？ (5) c 在 a 与 b 之间，有几种排法？ (6) a 不在头，b 不在尾，有几种排法？ 43. 对某种产品的 6 件不同正品和 4 件不同次品一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第 5 次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种？ 44. 有 3 名男生，4 名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法种数． (1)选其中的 5 人排成一排； (2)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人； (3)全体排成一排，甲不站在排头也不站在排尾； (4)全体排成一排，女生必须站在一起． 45. 若分成两排照，前排 3 人，后排 4 人，有多少种不同的排法？ 46. 将 10 名学生按下列方法分组，有多少种不同的分法？ (1)分成三组，每组分别是 2 人，3 人，5 人； (2)分成两组，每组 5 人； (3)分成三组，每组分别是 3 人，3 人，4 人． 47. 有编号为 1，2，3，4 的 4 张不同的卡片，按照下列要求处理，各有几种方法： (1)甲得 2 张，乙得 2 张； (2)平均分成 2 堆，每堆 2 张． 48. 有四个不同的球，四个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内． (1)共有多少种放法？ (2)恰有一个盒子不放球，共有多少种放法？ (3)恰有一个盒子放两个球，共有几种放法？ (4)恰有两个盒子不放球，共有几种放法？ 49. 6 本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？ (1)一堆一本，一堆两本，一堆三本； (2)甲得一本，乙得两本，丙得三本； (3)一人得一本，一人得二本，一人得三本； (4)平均分给甲、乙、丙三人； (5)平均分成三堆． 50. 现安排一份 5 天的工作值班表，每天有一个人值班，共有 5 个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，问此值班表共有多少种不同的排法？ (1)已知 a 、 b 、 c 、 d 四个元素，写出每次取出 2 个元素的所有组合； (2)已知 A 、 B 、 C 、 D 、 E 五个元素，写出每次取出 3 个元素的所有组合． 52. 从 5 位男教师和 4 位女教师中选出 3 位教师，派到 3 个班担任班主任（每班 1 位班主任），要求这 3 位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有多少种？ 53. 在 ∠AOB 的 OA 边上取 4 个点，在 OB 边上取 5 个点（均除 O 点外），连同 O 点共 10 个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作出三角形的个数为多少？ 54. 口袋中有 4 个不同的红球和 6 个不同的白球，每次取出 4 个球，取 1 个红球记 2 分，取一个白球记 1 分，则使总分不大于 5 分的取球方法种数有多少？ 55. 分母是 385 的最简真分数一共有多少个？并求它们的和． 计数模型-出门考 姓名 成绩 1. 在某种信息传输过程中，用 4 个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息．若所用数字只有 0 和 1，则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 ． 2. 将 5 位志愿者分成 3 组，其中两组各 2 人，另一组 1 人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）． 3. 有三个车队分别有 2 辆，3 辆，4 辆车，现分别从其中两个车队各抽调两辆车执行任务，则不同的抽调方案共有 种． 4. 已知平面上有 20 个不同的点，除去七个点在一条直线上以外，没有三个点共线，过这 20 个点中的每两个点可以连 条直线． 5. 安排 3 名支教老师去 6 所学校任教，每校至多 2 人，则不同的分配方案共有 种．（用数字作答） 6. 用数字 1，2，3，4，5 可组成比 20000 大且百位数字不是 3 的没有重复数字的五位数 个． 7. 从 0,1,2,3,4,5 中任取 3 个数字，组成没有重复数字的三位数，其中是偶数的三位数共有 个．（用数字作答） 8. 如果把个位数是 1 ，且恰有 3 个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由 1,2,3,4 四个数字组成的重复数字的四位数中，“好数”共有 个． 9. 用数字 0 、 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个（用数字作答）． 10. 从 1，3，5，7，9 中任取 3 个数字，从 2，4，6，8 中任取 2 个，一共可以组成 个没有重复数字的五位数．（用数字作答） 11. 某公园现有A、B、C三只小船，A船可乘 3 人，B船可乘 2 人，C船可乘 1 人，今有三个成人和 2 个儿童分乘这些船只（每船必须坐人），为安全起见，儿童必须由大人陪同方可乘船，他们分乘这些船只的方法有 种． 12. 中央电视台1套连续播放 5 个广告，其中 3 个不同的商业广告和 2 个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是公益宣传广告，且 2 个公益宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有 种 ．(用数字作答) 13. 在一块并排 10 垄的田地中，选择 2 垄分别种植 A 、 B 两种作物，每种作物种一垄，为有利于作物生长，要求 A，B 两种作物的间隔不小于 6 垄，则不同的种植方法有 种． 14. 现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色各 4 张从中任取 3 张，要求这 3 张不是同一种颜色，且红色卡片至多一张，不同取法的种数为 ． 15. A，B，C，D，E，F六位同学和一位数学老师站成一排合影留念，数学老师穿白色文化衫，A，B和C，D分别穿白色和黑色文化衫，E和F分别穿红色和橙色文化衫．若老师站中间，穿着相同颜色文化衫的都不相邻，则不同的站法种数为 ． 16. 将 5 名实习老师分配到 4 个班级任课，每班至少 1 人，则不同的分配方案有 种．（用数字作答） 17. 从 10 名男同学，6 名女同学中选 3 名参加体能测试，则选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有 种．（用数字作答） 18. 将 7 个相同的球放入 4 个不同的盒子中，则每个盒子都有球的放法共有 种． 19. 有甲、乙、丙三项任务，甲需 2 人承担，乙、丙各需 1 人承担，从 10 人中选派 4 人承担这三项任务，不同的选法共有 种． 20. 将 3 位医生和 6 位护士分成三组，每组 1 位医生 2 位护士，分赴世博会的三个不同场馆服务．不同的分配方案有 种（用数字作答）． 21. 用 4 种不同的颜色，给图中的 4 个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同颜色，共有 种不同的涂色方法! 1234 22. 如图，一环形花坛分成 A,B,C,D 四块，现有 5 种不同的花供选种，要求在每块里种 1 种花，且相邻的 2 块种不同的花，则不同的种法总数为 ． 23. 用红、黄、蓝三种颜色对如图所示的三个方格进行涂色．若要求每个小方格涂一种颜色，且涂成红色的方格数为偶数，则不同的涂色方案种数是 ．（用数字作答） 24. 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有 5 种颜色可使用，那么不同的染色方法的总数是 ． 25. 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为 6 个部分（如图）．现要栽种 4 种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 种．（以数字作答） 26. 8 名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各 4 人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第 3 、 4 名，大师赛共有 场比赛． 27. 设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿 x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳 1 个单位，若经过 5 次跳动质点落在点 3,0 处（允许重复过此点），则质点不同的运动方法共有 种（用数字作答）；若经过 20 次跳动质点落在点 16,0 处（允许重复过此点），则质点不同的运动方法共有 种（用数字作答）． 28. 从集合 0,1,2,3,5,7,11 中任取 3 个元素分别作为直线方程 Ax+By+C=0 中的 A 、 B 、 C，所得经过坐标原点的直线有 条（结果用数值表示）． 29. 从 1，2，3，4，7，9 这 6 个数中任取两个数分别作为对数的底数和真数，则可以得到 个不同的对数值． 30. 有两排座位，前排 11 个座位，后排 12 个座位，现安排 2 人就坐，规定前排中间三个座位不能坐，并且这 2 人不左右相邻，那么不同坐法的种数为 ． 31. 用 0,1,2,3,4,5 这六个数字： (1)可组成多少个无重复数字的自然数？ (2)可组成多少个无重复数字的四位偶数？ (3)组成无重复数字的四位数中比 4023 大的数有多少？ 32. 由正方体的 8 个顶点可确定多少个不同的平面？ 33. 三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字与个位上的数字都小，则称这个数为凹数，如 524，734 等都是凹数，那么各数位上无重复数字的三位凹数共有多少个？ 34. 用 0，1，2，3 四个数字组成没有重复数字的自然数，把这些自然数从小到大排成一个数列，1230 是这个数列的第几项． 35. 从 5 名男生和 4 名女生中选出 5 名选手进行答辩． (1)男生甲当选而女生乙没有当选的选法有多少种？ (2)至少有 1 个女生当选的选法有多少种？ (3)最多有 2 个女生当选的选法有多少种？ (4)若选出 5 名选手为 3 男生 2 女生，则不同的答辩顺序有多少种？ 36. 用多种办法解决下列问题： 给定数字 0 、 1 、 2 、 3 、 4 、 5，每个数字最多用一次，可能组成多少个四位数？ 37. 从 1 到 9 的九个数字中取三个偶数和四个奇数，试问：能组成多少个没有重复数字的七位数？ 38. 用 0,1,2,3,⋯,9 十个数字可组成多少个不同的： (1)三位数； (2)无重复数字的三位数； (3)小于 500 且没有重复数字的自然数． 39. 由 0 、 1 、 2 、 3 、 4 、 5 这 6 个数字组成的没有重复数字的六位数中，小于 50 万又不是 5 的倍数的数有多少个？ 40. 解答下面两个问题： (1)甲，乙，丙，丁和戊 5 名学生进行劳动技术比赛，决出第 1 名到第 5 名的名次，甲，乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说："很遗憾，你和乙都没有得到冠军．"对乙说："你当然不会是最差的．"从上面回答分析，5 人的名次排列有多少种不同情况？ (2)用数字 0,1,2,3,4,5 组成的无重复数字的四位数中，能被 2 整除但不能被 3 整除的有多少个？（本大题写出解题过程，结果用数字作答） 41. 7 位同学站队： (1)站成一排，共有多少种不同的排法？ (2)站成两排（前 3 后 4），共有多少种不同的排法？ (3)站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ (4)站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？ 42. 6 个队员排成一排， (1)共有多少种不同的排法？ (2)若甲必须站在排头，有多少种不同的排法？ (3)若甲不能站排头，也不能站排尾，问有多少种不同的排法？ 43. 有四个停车位，停放四辆不同的车，有几种不同的停法？若其中的一辆车必须停放在两边的停车位上，共有多少种不同的停法？ 44. 5 个人站成一排，求在下列情况下的不同排法种数． (1)甲不在排头，乙不在排尾； (2)甲乙两人中间至少有一人； (3)甲、乙两人必须排在一起，丙、丁两人不能排在一起； 45. 某人有 3 张卡片，分别是红色、黄色、蓝色，若该人将卡片随便排列成一列，求 (1)有多少种不同的排法？ (2)红色排在第一个的排法有多少种？红色排在第一个的概率是多少？ (3)红色卡片排在第二个的概率是多少？ 46. 口袋中有 10 个编号不同的球，其中 6 个白球，4 个红球，规定取到一个白球得 1 分，取到一个红球得 2 分，现从袋中任取 4 个球，要使总分不少于 5 分，这样的取法有多少种？ 47. 四棱锥的 8 条棱分别代表 8 种不同的化工产品，有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为 ①②③④ 的 4 个仓库存放这 8 种化工产品，那么安全存放的不同方法有多少种？ 48. 课外活动小组共 13 人，其中男生 8 人，女生 5 人，并且男、女各指定一名队长，现从中选 5 人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)只有一名女生； (2)两队长当选； (3)至少有一名队长当选； (4)至多有两名女生当选． 49. 有六本不同的书按下面方式分配，问共有多少种不同的分配方法？ (1)分成 1 本、 2 本、 3 本三组； (2)分给甲、乙、丙三人，其中三人得到的书数目各不相同； (3)平均分成 3 组； (4)平均分给甲、乙、丙三人． 50. 现有 3 辆公交车、 3 位司机和 3 位售票员，每辆车上需配 1 位司机和 1 位售票员，问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种？ 51. 从 5 位男生，4 位女生中选出 5 名代表，则 (1)男生甲当选且女生 A 不能当选，有几种选法？ (2)至少有一个女生当选，有几种选法？ (3)最多有 2 个女生当选，有几种选法？ (4)若选出 5 名代表为 3 男 2 女，并进行大会发言，有多少种不同的发言顺序？ 52. 某种产品有 6 件不同的正品，4 件不同的次品．现对这些产品一一进行测试，直到区分出所有次品为止．若所有次品恰好在第 5 次被全部测出，则所有可能的不同测试方法共有多少种？ 53. 从 1 到 20 这 20 个正整数中，每次取出 3 个，问：它们可以组成多少组不同的等差数列？ 54. 某次足球赛分两个阶段进行，第一阶段分成 n 个小组，由每组的 6 个队进行单循环赛，以决出每小组的前三名，并让各小组前三名进入第二阶段决赛，在决赛中除第一阶段已经相互比赛过的队外，各队还需互赛一次，若不考虑任何形式下产生的附加赛的可能，全部比赛进行了 114 场，问共有多少个队参加了这次球赛？ 55. 从 -3,-2,-1,0,1,2,3,4 中任选三个不同元素作为二次函数 y=ax2+bx+c 的系数，问能组成多少条图象为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线？查看更多