天津市南开区2020届高三上学期期末考试数学试题

天津市南开区2020届高三上学期期末考试数学试题

天津市南开区2019~2020学年度高三年级上学期期末考试 数学试卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．设全集U＝{1，2，3，4}，集合S＝{1，2}，T＝{2，3}，则（∁US）∩T等于（　　）‎ A．{2} B．{3} C．{4} D．{2，3，4}‎ ‎2．命题“∃x0∈（0，+∞），ln x0＝x0﹣‎1”‎的否定是（　　）‎ A．∀x∈（0，+∞），ln x≠x﹣1 ‎ B．∀x∉（0，+∞），ln x＝x﹣1 ‎ C．∃x0∈（0，+∞），ln x0≠x0﹣1 ‎ D．∃x0∉（0，+∞），ln x0＝x0﹣1‎ ‎3．下列函数中是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增的是（　　）‎ A．y＝x3 B．y＝﹣lgx‎2 ‎C．y＝2x D．y ‎4．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞‎0”‎是“S3+S5＞2S‎4”‎的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎5．设a＝1﹣20.2，b＝1og3，c＝lg4，则a，b，c的大小关系是（　　）‎ A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a ‎6．过点A（﹣1，0），斜率为k的直线，被圆（x﹣1）2+y2＝4截得的弦长为2，则k的值为（　　）‎ A．± B． C．± D．‎ ‎7．函数y＝sincos（0≤x≤9）的最大值与最小值之和为（　　）‎ A．﹣1 B．﹣‎1 ‎C．0 D．2‎ ‎8．已知点A（2，0），抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|＝（　　）‎ A．2： B．1：‎2 ‎C．1： D．1：3‎ ‎9．四边形ABCD中，BC＝1，AC＝2，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，则的取值范围是（　　）‎ A．[﹣1，3] B．（﹣3，﹣1） C．[﹣3，1] D．‎ 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。‎ ‎10．复数的共轭复数是　 　．‎ ‎11．曲线y在点（1，1）处的切线方程为　 　．‎ ‎12．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，各顶点都在同一球面上，若该棱锥的体积为4，AB＝2，则此球的表面积等于　 　．‎ ‎13．设双曲线C经过点（2，2），且与x2＝1具有相同渐近线，则C的方程为　 　；渐近线方程为　 　．‎ ‎14．已知正数x，y满足3，则当x　 　时，x+y的最小值是　 　．‎ ‎15．对于实数a和b，定义运算“*”：a*b，设f（x）＝（2x﹣1）*（x﹣1），若函数g（x）＝f（x）﹣mx2（m∈R）恰有三个零点x1，x2，x3，则m的取值范围是　 　；x1x2x3的取值范围是　 　．‎ 三、解答题：本大题共5题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA，△ABC的面积为2．‎ ‎（Ⅰ）求a及sinC的值；‎ ‎（Ⅱ）求cos（‎2A）的值．‎ ‎17．如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B‎1C1的底面是直角三角形，∠ACB＝90°，AA1＝AB＝2BC＝2，3．‎ ‎（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1BD；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣A1的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）求点B1到平面A1BD的距离．‎ ‎18．（15分）已知椭圆C的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上，若右焦点到直线x﹣y+20的距离为3．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设椭圆C与直线y＝kx+m相交于不同的两点M，N，线段MN的中点为E．‎ ‎（i）当k＞0，m≠0时，射线OE交直线x＝﹣3于点D（﹣3，n）（O为坐标原点），求k2+n2的最小值；‎ ‎（i）当k≠0，且|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．‎ ‎19．已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，且a1＝3，b2＝a2，b5＝a3+3，b8＝a4．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；‎ ‎（Ⅱ）令cn＝log2，证明：1（n∈N*，n≥2）；‎ ‎（Ⅲ）求（n∈N*）．‎ ‎20．已知函数f（x）＝lnx﹣ax（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）≤x2对x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）当a＝1时，设g（x）＝xe﹣f（x）﹣x﹣1（e为自然对数的底）．若正实数λ1，λ2满足λ1+λ2＝1，x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），证明：g（λ1x1+λ2x2）＜λ‎1g（x1）+λ‎2g（x2）．‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．B ‎2．A ‎3．A ‎4．C ‎5．A ‎6．A ‎7．D ‎8．C ‎9．C 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。‎ ‎10．﹣i．‎ ‎11． x+y﹣2＝0‎ ‎12． 24π．‎ ‎13． ，y＝±2x．‎ ‎14．，9．‎ ‎15． （0，）和（）．‎ 三、解答题：本大题共5题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎16．（Ⅰ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA，∴sinA，‎ ‎∵△ABC的面积为bc•sinA•bc＝2，∴bc＝6，∴b＝3，c＝2，‎ ‎∴a3．‎ 再根据正弦定理可得 ，即，∴sinC．‎ ‎（Ⅱ）∴sin‎2A＝2sinAcosA，cos‎2A＝2cos‎2A﹣1，‎ 故 cos（‎2A）＝cos2Acossin2Asin••．‎ ‎17．依题意，以C为原点，CB为x轴，CC1为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，，‎ ‎∵3，‎ ‎∴，‎ ‎（Ⅰ）证明：，‎ 设平面A1BD的一个法向量为，则，令，则，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴AB1⊥平面A1BD；‎ ‎（Ⅱ），‎ 设平面ABD的一个法向量为，则，令，则，‎ 又平面A1BD的一个法向量为，‎ ‎∴，即二面角A﹣BD﹣A1的余弦值为；‎ ‎（Ⅲ）设点B1到平面A1BD的距离为d，则易知，而，‎ ‎∴点B1到平面A1BD的距离为．‎ ‎18．解（Ⅰ），设椭圆的右焦点（c，0），c＞0，由题意得：b＝1，3，a2＝b2+c2，解得：a2＝3，b2＝1，‎ 所以椭圆的方程：；‎ ‎（Ⅱ）i）设M（x，y），N（x'，y'），将直线与椭圆联立整理得：（1+3k2）x2+6kmx+‎3m2‎﹣3＝0，△＝36k‎2m2‎﹣4（1+3k2）（‎3m2‎﹣3）＞0，即m2＜1+3k2，‎ 且x+x'，∴y+y'＝k（x+x'）+‎2m，所以MN的中点E（，），所以射线OE：yx，与直线x＝﹣3的交点（﹣3，），所以n，所以n2+k2＝k22，当且仅当k2＝1，k＞0，‎ 所以k＝1时n2+k2有最小值2．‎ ii）当k≠0，且|AM|＝|AN|时，则AE⊥MN，所以kAE，即，∴‎2m＝1+3k2，∴‎2m＞m2，解得0＜m＜2，‎ 所以m取值范围（0，2）．‎ ‎19．（Ⅰ）设数列{an}是公比为q的等比数列，数列{bn}是公差为d的等差数列，‎ 由a1＝3，b2＝a2，b5＝a3+3，b8＝a4，可得b1+d＝3q，b1+4d＝3q2+3，b1+7d＝3q3，‎ 解得q＝2，d＝3，b1＝3，‎ 则an＝3•2n﹣1，bn＝3+3（n﹣1）＝3n；‎ ‎（Ⅱ）证明：cn＝log2log22n﹣1＝n﹣1，‎ ‎111；‎ ‎（Ⅲ）由，‎ 可设Tn，‎ Tn，‎ 相减可得Tn ‎＝2•，‎ 化简可得．‎ ‎20．（Ⅰ）函数的定义域为{x|x＞0}，，‎ ‎①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；‎ ‎②当a＞0时，令f′（x）＞0解得，令f′（x）＜0解得，故此时函数f（x）在上单调递增，在上单调递减；‎ ‎（Ⅱ）f（x）≤x2对x∈（0，+∞）恒成立，即为对任意的x∈（0，+∞），都有，‎ 设，则，令G（x）＝1﹣lnx﹣x2（x＞0），则，‎ ‎∴G（x）在（0，+∞）上单调递减，且G（1）＝0，‎ ‎∴当x∈（0，1）时，G（x）＞0，F′（x）＞0，F（x）单调递增；‎ 当x∈（1，+∞），G（x）＜0，F′（x）＜0，F（x）单调递减，‎ ‎∴F（x）max＝F（1）＝﹣1，‎ ‎∴实数a的取值范围为[﹣1，+∞）．‎ ‎（Ⅲ）证明：当a＝1时，g（x）＝xe﹣（lnx﹣x）﹣x﹣1＝xex﹣lnx﹣x﹣1＝ex﹣x﹣1，g′（x）＝ex﹣1＞0（x＞0），不妨设0＜x1＜x2，‎ 下先证：存在ξ∈（x1，x2），使得g（x2）﹣g（x1）＝g′（ξ）（x2﹣x1），‎ 构造函数，显然H（x1）＝H（x2），且，‎ 则由导数的几何意义可知，存在ξ∈（x1，x2），使得，即存在ξ∈（x1，x2），使得g（x2）﹣g（x1）＝g′（ξ）（x2﹣x1），‎ 又g′（x）＝ex﹣1为增函数，‎ ‎∴g（x2）﹣g（x1）＝g′（ξ）（x2﹣x1）＞g′（x1）（x2﹣x1），即g（x2）＞g（x1）+g′（x1）（x2﹣x1），‎ 设x3＝λ1x1+λ2x2（λ1+λ2＝0），则x1﹣x3＝（1﹣λ1）x1﹣λ2x2，x2﹣x3＝（1﹣λ2）x2﹣λ1x1，‎ ‎∴g（x1）＞g（x3）+g′（x3）（x1﹣x3）＝g（x3）+g′（x3）[（1﹣λ1）x1﹣λ2x2]①，‎ g（x2）＞g（x3）+g′（x3）（x2﹣x3）＝g（x3）+g′（x3）[（1﹣λ2）x2﹣λ1x1]②，‎ 由①×λ1+②×λ2得，λ‎1g（x1）+λ‎2g（x2）＞g（x3）＝g（λ1x1+λ2x2），‎ 即g（λ1x1+λ2x2）＜λ‎1g（x1）+λ‎2g（x2）．‎