2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第七章　第2讲　一元二次不等式的解法

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2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第七章　第2讲　一元二次不等式的解法

第 2 讲　一元二次不等式的解法 一、知识梳理 1．一元二次不等式的解集 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx ＋c(a>0)的 图象 一元二次方 程 ax2＋bx ＋c＝0(a>0) 的根 有两个相异实根 x1， x2(x10(a>0) 的解集 {x|x>x2 或 x0) 的解集 {x|x10 或(x－a)(x－b)<0 型不等式解法 解集 不等式 ab (x－a) (x－b)>0 {x|xb} {x|x≠a} {x|x>a 或 x0 对任意实数 x 恒成立⇔{a > 0， b2－4ac < 0. (2)一元二次不等式 ax2＋bx＋c<0 对任意实数 x 恒成立⇔{a < 0， b2－4ac < 0. 2．四类分式不等式 (1)f（x） g（x）>0⇔f(x)g(x)>0. (2)f（x） g（x）<0⇔f(x)g(x)<0. (3)f（x） g（x）≥0⇔{f（x）g（x） ≥ 0， g（x） ≠ 0. (4)f（x） g（x）≤0⇔{f（x）g（x） ≤ 0， g（x） ≠ 0. 二、教材衍化 1．已知全集 U＝R，集合 A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝{x|4－x x＋1 ≤ 0}，那么集合 A∩(∁UB)＝ ________． 解析：因为 A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1 或 x≥4}，故∁ UB＝{x|－1≤x<4}，所以 A∩(∁UB)＝{x|－1≤x≤3}． 答案：[－1，3] 2． y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是________． 解析：由题意，得 3x2－2x－2>0，令 3x2－2x－2＝0，得 x1＝1－ 7 3 ，x2＝1＋ 7 3 ，所以 3x2 －2x－2>0 的解集为(－∞， 1－ 7 3 )∪(1＋ 7 3 ，＋∞). 答案：(－∞， 1－ 7 3 )∪(1＋ 7 3 ，＋∞) 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若不等式 ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为(x1，x2)，则必有 a>0.(　　) (2)若不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程 ax2＋bx＋c＝0 的两 个根是 x1 和 x2.(　　) (3)若方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为 R.(　　) (4)不等式 ax2＋bx＋c≤0 在 R 上恒成立的条件是 a<0 且 Δ＝b2－4ac≤0.(　　) (5)若二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象开口向下，则不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集一定不是 空集．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ 二、易错纠偏 常见误区|Ｋ (1)解不等式时，变形必须等价； (2)忽视二次项系数的符号； (3)对系数的讨论，忽视二次项系数为 0 的情况； (4)解分式不等式时，忽视分母的符号． 1．不等式 2x(x－7)>3(x－7)的解集为________． 解析：2x(x－7)>3(x－7)⇔2x(x－7)－3(x－7)>0⇔(x－7)(2x－3)>0，解得 x< 3 2或 x>7，所 以，原不等式的解集为{x|x < 3 2或x > 7}. 答案：{x|x < 3 2或x > 7} 2．不等式－x2－3x＋4>0 的解集为________．(用区间表示) 解析：由－x2－3x＋4>0 可知，(x＋4)(x－1)<0. 得－40⇒x>1 或 x<－1. 答案：{x|x>1 或 x<－1} [学生用书 P112] 　　　　　　一元二次不等式的解法(多维探究) 角度一　不含参数的一元二次不等式 求不等式－x2＋8x－3>0 的解集． 【解】　因为 Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x2＋8x－3＝0 有两个不相等 的实根 x1＝4－ 13，x2＝4＋ 13.又二次函数 y＝－x2＋8x－3 的图象开口向下，所以原不等 式的解集为{x|4－ 131. 若 a<0，原不等式等价于(x－1 a )(x－1)>0， 解得 x<1 a或 x>1. 若 a>0，原不等式等价于(x－1 a )(x－1)<0. ①当 a＝1 时，1 a＝1，(x－1 a )(x－1)<0 无解； ②当 a>1 时，1 a<1，解(x－1 a )(x－1)<0， 得1 a1，解(x－1 a )(x－1)<0， 得 1 1}； 当 a＝0 时，解集为{x|x>1}； 当 01 时，解集为{x|1 a < x < 1}. 角度三　已知一元二次不等式的解集求参数 已知不等式 ax2－bx－1>0 的解集是{x|－1 2 < x < －1 3}，则不等式 x2－bx－a≥0 的解集是________． 【解析】　由题意，知－ 1 2，－ 1 3是方程 ax2 －bx －1 ＝0 的两个根，且 a<0 ，所以 {－1 2＋(－1 3 )＝b a， －1 2 × (－1 3 )＝－1 a ， 解得{a＝－6， b＝5. 即不等式 x2－bx－a≥0 为 x2－5x＋6≥0， 解得 x≥3 或 x≤2. 【答案】　{x|x≥3 或 x≤2} 一元二次不等式的解法 (1)对于常系数一元二次不等式，可以用分解因式法或判别式法求解，题目简单，情况 单一． (2)含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论． ①若二次项系数为常数，需先将二次项系数化为正数，再考虑分解因式，对参数进行分 类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论； ②若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否能为零，以确定不等式是一次不等 式还是二次不等式，再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； ③对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集． (3)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰对应相应的一元二次方 程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系． [提醒]　当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于 0 的情况．　 1．不等式 0 0， x2－x－2 ≤ 4，即{x2－x－2 > 0， x2－x－6 ≤ 0， 即{（x－2）（x＋1） > 0， （x－3）（x＋2） ≤ 0，解得{x > 2或x < －1， －2 ≤ x ≤ 3. 借助于数轴，如图所示， 所以原不等式的解集为{x|－2≤x<－1 或 25 或 x≤4 3. 所以原不等式的解集为{x|x ≤ 4 3或x > 5}. 答案：(－∞， 4 3]∪(5，＋∞) 3．求不等式 12x2－ax>a2(a∈R)的解集． 解：因为 12x2－ax>a2， 所以 12x2－ax－a2>0， 即(4x＋a)(3x－a)>0， 令(4x＋a)(3x－a)＝0， 得 x1＝－a 4，x2＝a 3. 当 a>0 时，－a 4 a 3}； 当 a＝0 时，原不等式变形为 x2>0，解集为{x|x∈R 且 x≠0}； 当 a<0 时，－a 4>a 3， 解集为{x|x < a 3或x > －a 4}. 综上所述，当 a>0 时，不等式的解集为 {x|x < －a 4或x > a 3}； 当 a＝0 时，不等式的解集为{x|x∈R 且 x≠0}； 当 a<0 时，不等式的解集为{x|x < a 3或x > －a 4}. 　　　　　　一元二次不等式恒成立问题(多维探究) 角度一　在 R 上的恒成立问题 若不等式 2kx2＋kx－3 8<0 对一切实数 x 都成立，则 k 的取值范围为(　　) A．(－3，0) B．[－3，0) C．[－3，0] D．(－3，0] 【解析】　当 k＝0 时，显然成立；当 k≠0 时，即一元二次不等式 2kx2＋kx－3 8<0 对一 切实数 x 都成立，则{k < 0， k2－4 × 2k × (－3 8 ) < 0，解得－30 时，g(x)在[1，3]上是增函数， 所以 g(x)max＝g(3)＝7m－6<0， 所以 m<6 7， 所以 00， 又因为 m(x2－x＋1)－6<0， 所以 m< 6 x2－x＋1. 因为函数 y＝ 6 x2－x＋1 ＝ 6 (x－1 2 )2 ＋3 4 在[1，3]上的最小值为6 7， 所以只需 m<6 7即可． 所以，m 的取值范围是{m|m < 6 7}. 角度三　给定参数范围的恒成立问题 对任意 m∈[－1，1]，函数 f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m 的值恒大于零，求 x 的取 值范围． 【解】　由 f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4， 令 g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4. 由题意知在 m∈[－1，1]上，g(m)的值恒大于零， 所以{g（－1）＝（x－2） × （－1）＋x2－4x＋4 > 0， g（1）＝（x－2）＋x2－4x＋4 > 0. 解得 x<1 或 x>3. 故当 x 的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的 m∈[－1，1]，函数 f(x)的值恒 大于零． 形如 f(x)≥0(f(x)≤0)恒成立问题的求解策略 (1)对 x∈R 的不等式确定参数的范围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解． (2)对 x∈[a，b]的不等式确定参数的范围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值 大于等于或小于等于 0，从而求出参数的范围；②数形结合，利用二次函数在端点 a，b 处 的取值特点确定不等式参数的取值范围． (3)已知参数 m∈[a，b]的不等式确定 x 的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范 围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数． [提醒]　解决恒成立问题一定要搞清楚谁是主元，谁是参数．　 　函数 f(x)＝x2＋ax＋3. (1)当 x∈R 时，f(x)≥a 恒成立，求实数 a 的取值范围； (2)当 x∈[－2，2]时，f(x)≥a 恒成立，求实数 a 的取值范围； (3)当 a∈[4，6]时，f(x)≥0 恒成立，求实数 x 的取值范围． 解：(1)因为当 x∈R 时，x2＋ax＋3－a≥0 恒成立， 需 Δ＝a2－4(3－a)≤0，即 a2＋4a－12≤0， 所以实数 a 的取值范围是[－6，2]． (2)当 x∈[－2，2]时，设 g(x)＝x 2＋ax＋3－a≥0 恒成立，分如下三种情况讨论(如图所 示)： i 如图①，当 g(x)的图象恒在 x 轴或 x 轴上方且满足条件时，有 Δ＝a2－4(3－a)≤0，即 －6≤a≤2. ii 如图②，g(x)的图象与 x 轴有交点， 但当 x∈[－2，＋∞)时，g(x)≥0， 即{Δ ≥ 0， x＝－a 2 ≤ －2， g（－2） ≥ 0， 即{a2－4（3－a） ≥ 0， －a 2 ≤ －2， 4－2a＋3－a ≥ 0， 可得{a ≥ 2或a ≤ －6， a ≥ 4， a ≤ 7 3， 解得 a∈∅. iii 如图③，g(x)的图象与 x 轴有交点， 但当 x∈(－∞，2]时，g(x)≥0. 即{Δ ≥ 0， x＝－a 2 ≥ 2， g（2） ≥ 0， 即{a2－4（3－a） ≥ 0， －a 2 ≥ 2， 7＋a ≥ 0， 可得{a ≥ 2或a ≤ －6， a ≤ －4， a ≥ －7. 所以－7≤a≤－6， 综上，实数 a 的取值范围是[－7，2]． (3)令 h(a)＝xa＋x2＋3， 当 a∈[4，6]时，h(a)≥0 恒成立． 只需{h（4） ≥ 0， h（6） ≥ 0，即{x2＋4x＋3 ≥ 0， x2＋6x＋3 ≥ 0， 解得 x≤－3－ 6或 x≥－3＋ 6. 所以实数 x 的取值范围是 (－∞，－3－ 6]∪[－3＋ 6，＋∞)． [基础题组练] 1． 不等式(x－2)(2x－3)<0 的解集是(　　) A.(－∞， 3 2)∪(2，＋∞) B．R C.(3 2，2 ) D．∅ 解析：选 C.因为不等式(x－2)(2x－3)<0， 解得3 20 的解集是(1，＋∞)，则关于 x 的 不等式(ax＋b)(x－2)<0 的解集是(　　) A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－1，2) C．(1，2) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析：选 C.因为关于 x 的不等式 ax＋b>0 的解集是(1，＋∞)，所以 a>0，且－ b a＝1， 所以关于 x 的不等式(ax＋b)(x－2)<0 可化为(x＋b a )(x－2)<0，即(x－1)(x－2)<0，所以不等式 的解集为{x|11 时， 不等式的解集为[1，a]，此时只要 a≤3 即可，即 1 0或{x－2 > 0， f（x） < 0，即 {x < 2， －2x2＋4 > 0或{x > 2， －2x2＋4 < 0，解得－ 22. 故原不等式的解集为(－ 2， 2)∪(2，＋∞)．故选 A. 6．不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是________． 解析：不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即 x(x－2)<0 的解集，解得 00，|a|≤1 恒成立的 x 的取值范围． 解：将原不等式整理为形式上是关于 a 的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9>0. 令 f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9， 因为 f(a)>0 在|a|≤1 时恒成立，所以 (1)若 x＝3，则 f(a)＝0，不符合题意，应舍去． (2)若 x≠3，则由一次函数的单调性， 可得{f（－1） > 0， f（1） > 0， 即{x2－7x＋12 > 0， x2－5x＋6 > 0， 解得 x<2 或 x>4. 则实数 x 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)． 10．已知函数 f(x)＝ ax2＋2ax＋1的定义域为 R. (1)求 a 的取值范围； (2)若函数 f(x)的最小值为 2 2 ，解关于 x 的不等式 x2－x－a2－a<0. 解：(1)因为函数 f(x)＝ ax2＋2ax＋1的定义域为 R，所以 ax2＋2ax＋1≥0 恒成立， 当 a＝0 时，1≥0 恒成立． 当 a≠0 时，则有{a > 0， Δ＝（2a）2－4a ≤ 0， 解得 00，所以当 x＝－1 时，f(x)min＝ 1－a， 由题意得， 1－a＝ 2 2 ，所以 a＝1 2， 所以不等式 x2－x－a2－a<0 可化为 x2－x－3 4<0. 解得－1 21 时，不等式的解集为{x|10. (1)求 f(x)在[0，1]内的值域； (2)若 ax2＋bx＋c≤0 的解集为 R，求实数 c 的取值范围． 解：(1)因为当 x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0， 当 x∈(－3，2)时，f(x)>0. 所以－3，2 是方程 ax2＋(b－8)x－a－ab＝0 的两个根， 所以{－3＋2＝8－b a ， －3 × 2＝－a－ab a ， 所以 a＝－3，b＝5. 所以 f(x)＝－3x2－3x＋18 ＝－3(x＋1 2 )2 ＋75 4 . 因为函数图象关于 x＝－1 2对称且抛物线开口向下， 所以 f(x)在[0，1]上为减函数， 所以 f(x)max＝f(0)＝18， f(x)min＝f(1)＝12，故 f(x)在[0，1]内的值域为[12，18]． (2)由(1)知不等式 ax2＋bx＋c≤0 可化为－3x2＋5x＋c≤0，要使－3x2＋5x＋c≤0 的解集 为 R，只需 Δ＝b2－4ac≤0， 即 25＋12c≤0，所以 c≤－25 12， 所以实数 c 的取值范围为(－∞，－25 12]. 6．设二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c，函数 F(x)＝f(x)－x 的两个零点为 m，n(m0 的解集； (2)若 a>0，且 00， 即 a(x＋1)(x－2)>0. 当 a>0 时，不等式 F(x)>0 的解集为 {x|x<－1 或 x>2}； 当 a<0 时，不等式 F(x)>0 的解集为{x|－10，且 00. 所以 f(x)－m<0，即 f(x)
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