山东省济南市章丘市第四中学2019-2020学年高二下学期第五次质量检测数学试题

山东省济南市章丘市第四中学2019-2020学年高二下学期第五次质量检测数学试题

章丘四中·第五次网上教学质量评估 数 学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．‎ ‎2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．‎ ‎3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．‎ ‎4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．‎ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知复数，则在复平面内对应点所在象限为（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．2020年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在湖北爆发，一方有难八方支援，全国各大医院抽调精兵强将参加武汉疫情狙击战，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，他们分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机，编号分为1，2，3，4，5，6号，同时到达武汉天河飞机场，每五分钟降落一架，其中1号与6号相邻降落的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，N为BC中点，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎4．设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．的展开式的各项系数和为243，则该展开式中的系数是（ ）‎ A．5 B． C． D．100‎ ‎6．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．在四面体ABCD中，，，，，，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知定义在R上的函数的导函数为，且对任意都有，，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．‎ ‎9．给出下列命题，其中正确的命题有（ ）‎ A．设具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则越接近于0，x，y之间的线性相关程度越高 B．随机变量，若，则 C．公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种 D．回归方程为中，变量y与x具有正的线性相关关系，变量x增加1个单位时，y平均增加0.85个单位 ‎10．如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ）‎ A．直线BC与平面所成的角等于 B．点C到面的距离为 C．两条异面直线和所成的角为 D．三棱柱外接球表面积为 ‎11．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（ ）人．‎ 附表：‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ 附：‎ A．25 B．45 C．60 D．75‎ ‎12．对于函数，下列说法正确的是（ ）‎ A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点 C．‎ D．若在上恒成立，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．若函数，则的值为__________．‎ ‎14．在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布，已知成绩在80到90分之间的学生有120名，若该校计划奖励竞赛成绩在90分以上（含90分）的学生，估计获奖的学生有_______人（填一个整数）（参考数据：若，则，，．）‎ ‎15．为了宣传校园文化，让更多的学生感受到校园之美，某校学生会组织了6个小队在校园最具有代表性的3个地点进行视频拍摄，若每个地点至少有1支小队拍摄，则不同的分配方法有_______种．（用数字作答）‎ ‎16．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，，是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，，则球O的体积为_______‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 正四棱柱，中，，E为中点，F为AD中点．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若直线AC与平面所成的角为，求的长．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本y（元）与生产该产品的数量x（千件）有关，经统计得到如下数据：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ y ‎112‎ ‎61‎ ‎44.5‎ ‎35‎ ‎30.5‎ ‎28‎ ‎25‎ ‎24‎ 根据以上数据，绘制了散点图．‎ 参考数据：（其中）‎ ‎183.4‎ ‎0.34‎ ‎0.115‎ ‎1.53‎ ‎360‎ ‎22385.8‎ 参考公式：对于一组数据，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：．‎ ‎（1）观察散点图判断，与哪一个适宜作为非原料成本y与生产该产品的数量x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）‎ ‎（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y与x的回归方程．‎ ‎（3）试预测生产该产品10000件时每件产品的非原料成本 ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）若函数在处的切线与直线垂直，求函数的单调区间及函数在上的最大值和最小值；‎ ‎（2）若时，函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围．‎ ‎20．（本题满分12分）‎ 在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，，，，，E为PD的中点，点F在PC上，且．‎ ‎（1）求证：平面平面PAD；‎ ‎（2）求二面角F-AE-P的余弦值．‎ ‎21．（本题满分12分）‎ 中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研．人社部从网上年龄在15-65岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：‎ 年龄 支持“延迟退休”的人数 ‎15‎ ‎5‎ ‎15‎ ‎28‎ ‎17‎ ‎（1）由以上统计数据填2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0．05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；‎ ‎45岁以下 ‎45岁以上 总计 支持 不支持 总计 参考数据：‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎，其中．‎ ‎（2）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动、现从这8人中随机抽2人．记抽到45岁以上的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．‎ ‎22．（本题满分12分）‎ 已知 ‎（1）讨论f（x）的单调性：‎ ‎（2）若f（x）存在两个极值点，，证明：．‎ 数学标准答案 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B D C A C B D B BD ABD BC ACD 二、填空题：‎ ‎13．24 14．20 15．540 16．‎ 三、解答题：‎ ‎17．解析（1）法1：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系 设，‎ 则，，，，‎ ‎，，‎ 故，，，‎ 设平面的法向量 ‎，不妨取，‎ 得平面的一个法向量 ‎，‎ 又平面，所以平面．‎ 法2：连接交于O，则O为中点．连接EO，OF．‎ 因为正四棱柱，‎ 所以，且 又因为E为中点，‎ ‎∴，且．‎ 中，O，F为中点，‎ ‎∴，且 ‎∴，且．‎ ‎∴，∴‎ 又平面，平面，‎ 所以平面．‎ ‎（2），则．‎ 直线AC与平面AED，所成的角为，‎ 即 解得，即的长为．‎ ‎18．（1）适宜．‎ ‎（2），则 ‎．‎ ‎（3）当（千件）时，‎ 所以预测生产该产品10000件时每件产品的非原料成本为21元．‎ ‎19．（1）与直线垂直的直线斜率为2，‎ 令，∴‎ 令，∴，‎ 所以的单减区间为，增区间为 因为在上减，在上增，‎ 所以函数在上的最大值为，‎ 最小值为 ‎（2）若时，‎ 若函数在区间上是减函数，‎ 则在区间上恒成立 即，恒成立．‎ 设 ‎∴在区间上恒成立．‎ 所以在上单调递增，‎ 所以．‎ ‎20．（1）证明因为平面ABCD，平面ABCD，‎ 所以．‎ 又因为，，平面PAD，‎ 所以平面PAD．‎ 又平面PCD，所以平面平面PAD．‎ ‎（2）过点A作AD的垂线交BC于点M．‎ 因为平面ABCD，平面ABCD，‎ 所以，．‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，，．‎ 因为E为PD的中点，所以．‎ 所以，，‎ 所以，‎ 所以．‎ 设平面AEF的法向量为，则 令，则，．‎ 于是．‎ 又因为平面PAD的一个法向量为，‎ 所以．‎ 由题知，二面角为锐角，所以其余弦值为．‎ ‎21．（1）由频率分布直方图知45岁以下与45岁以上各50人，故填充列联表如下：‎ ‎45岁以下 ‎45岁以上 总计 支持 ‎35‎ ‎45‎ ‎80‎ 不支持 ‎15‎ ‎5‎ ‎20‎ 总计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 因为的观测值 ‎，‎ 所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异．‎ ‎（2）从不支持“延迟退休”的人中抽取8人，则45岁以下的应抽6人，45岁以上的应抽2人．所以X 的可能取值为0，1，2．‎ ‎，，；‎ 故随机变量X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 所以．‎ ‎22．（1）的定义域为，‎ 对于一元二次方程，‎ ‎①若，即时，‎ 则恒成立，所以在单调递减．‎ ‎②若，即或时，‎ 令得，或 ‎（i）当时，当时，；‎ 当时，‎ 所以在单调递减，‎ 在单调递增．‎ ‎（ⅱ）当时，的两根均小于0，‎ 在单调递减． ‎ 综上：当时，在单调递减．‎ 当时，在单调递减，‎ 在单调递增．‎ ‎（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当．‎ 由于的两个极值点，满足，‎ 所以，不妨设，则．‎ 由于 所以等价于．‎ 设函数，‎ 由（1）知，在单调递减，‎ 又，从而当时，．‎ 所以，即．‎