浙江省名校协作体2020届高三上学期第一次联考数学试题

浙江省名校协作体2020届高三上学期第一次联考数学试题

浙江名校协作体2020届高三上学期开学联考 数学 参考公式：‎ 柱体的体积公式：，其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高；‎ 锥体的体积公式：，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高；‎ 台体的体积公式：，其中，分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高；‎ 球的表面积公式：，球的体积公式：，其中R表示球的半径；‎ 如果事件A，B互斥，那么；‎ 如果事件A，B相互独立，那么；‎ 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合，，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得的补集，然后求补集与的交集.‎ ‎【详解】依题意可知，所以，故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.‎ ‎2.设i为虚数单位，表示复数z的共轭复数，若，则（ ）‎ A. B. 2 C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得，然后利用复数减法、除法、乘法的运算，化简所求表达式.‎ ‎【详解】依题意，故，故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查共轭复数的概念，考查复数乘法、除法、减法运算，属于基础题.‎ ‎3.若函数的图象总在x轴上方，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次函数图像总在x轴上方，利用特殊点的函数值，求出正确选项.‎ ‎【详解】由于二次函数图像总在x轴上方，故，化简得，故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查二次函数的图像与性质，属于基础题.‎ ‎4.已知，满足约束条件若恒成立，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 作出满足约束条件的可行域如图所示：‎ 平移直线到点时，有最小值为 ‎∵恒成立 ‎∴，即 故选D 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎5.已知函数，则下列结论正确的是 A. 是偶函数，递增区间是 B. 是偶函数，递减区间是 C. 是奇函数，递减区间是 D. 是奇函数，递增区间是 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝，画出函数f(x)的图像，如图，观察图像可知，函数f(x)的图像关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．‎ ‎6.已知平面与平面交于直线l，且直线，直线，且直线a，b，l不重合，则下列命题错误的是（ ）‎ A. 若，，且与不垂直，则 B. 若，，则 C. 若，，且与不平行，则 D. 若，，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据面面垂直、线面垂直有关定理，对四个选项逐一分析，由此得出命题错误的选项.‎ ‎【详解】根据面面垂直的性质定理可知，A,B两个选项命题正确.对于C选项，根据线面垂直的判定定理可知平面，由于，所以，故C选项命题正确.对于D选项，命题不满足面面垂直的判定定理，可以不垂直，故D选项错误.综上所述，本小题选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查线面垂直、面面垂直有关定理的运用，考查逻辑推理能力，属于基础题.‎ ‎7.已知等比数列中，若，则（ ）‎ A. 4 B. 5 C. 16 D. 25‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知化简，由此求得表达式的值.‎ ‎【详解】依题意得，即，而 ‎.‎ ‎【点睛】本小题主要考查等比数列通项基本量计算，属于基础题.‎ ‎8.已知a，b为实数，则“不等式对任意成立”是“且”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将两者相互推导，根据相互推导的结果判断充分、必要性，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】当时，，令得即，令，，即，也即，故且.当“且”时，不妨设，此时对任意不恒成立.综上所述，“不等式对任意成立”“且”充分不必要条件，故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查绝对值不等式，属于中档题.‎ ‎9.已知正数a，b满足，则的最小值为（ ）‎ A. 12 B. 8 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据解出，代入，然后利用基本不等式求得最小值.‎ ‎【详解】由，得，依题意，这个方程有解，且 ‎，故解得，所以.此时.故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查一元二次方程的根，考查基本不等式求最小值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎10.已知椭圆内有一定点，过点P的两条直线，分别与椭圆交于A、C和B、D两点，且满足，，若变化时，直线CD的斜率总为，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出四点的坐标，将两点坐标代入椭圆方程并化简，同理将两点坐标代入椭圆方程并化简，根据化简上述两个式子，由此求得的值，进而求得椭圆离心率.‎ ‎【详解】设因为，且，所以，同理.将两点坐标代入椭圆方程并化简得，即，同理，由于，，所以，即，即 ‎，两式相加得，即，所以，所以，故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查定比分点坐标公式，考查点在曲线上的运用，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，考查椭圆离心率的求法，难度较大，属于难题.‎ 二、填空题。‎ ‎11.计算：______，______‎ ‎【答案】 (1). 2 (2). 2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数运算公式、对数运算公式对所求表达式进行化简.‎ ‎【详解】（1）原式；‎ ‎（2）原式.‎ ‎【点睛】本小题主要考查指数运算公式，考查对数运算公式，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎12.设函数，则______，若，则实数x的取值范围是______‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特殊角的三角函数值计算出，利用二倍角公式，结合一元二次不等式的解法，求得的取值范围.‎ ‎【详解】依题意.，令，则函数变为，画出函数图像如下图所示，由图可知的解集为，即，解得.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查特殊角的三角函数值，考查二倍角公式，考查二次函数图像与性质，考查一元二次不等式的解法，考查三角不等式的解法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中的最长的棱长等于______；该几何体的体积为______．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据三视图判断出组合体的结构特征，并由此计算出最长的棱长，并求得几何体的体积.‎ ‎【详解】由三视图可知，该几何体是由半个圆锥和一个四棱锥组合而成.其中半圆锥的母线长为，四棱锥的底面为正方形，且边长为，四条侧棱，其中两条长度为，另外两条长度为.所以几何体最长的棱长为.体积为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查圆锥，棱锥体积计算，属于基础题.‎ ‎14.已知点P在椭圆上，点Q，R分别在圆和圆上运动，若过点P存在直线l同时与两圆相切，这样的点P的个数为______；当点P在椭圆上运动，则的最大值为______‎ ‎【答案】 (1). 6 (2). 6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出图像，根据圆和圆公切线的情况，确定点的个数.将的最大值，转化为来求解.‎ ‎【详解】椭圆，圆的圆心为，为椭圆的左焦点，半径为，圆的圆心为，为椭圆的右焦点，半径为.画出椭圆和圆的图像如下图所示，由图可知，两个圆外切，公切线为，这三条切线与椭圆相交于个点，当位于这个点时，过点P存在直线l同时与两圆相切. 的最大值为，根据椭圆的定义可知.‎ ‎【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和几何性质，考查两个圆外切的公切线，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎15.已知数列为等差数列，公差为，且满足，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的通项公式化简已知条件，化简后求得的值.‎ ‎【详解】由于等差数列公差为，故由得 ‎，依题意，故上式可化为，即.‎ ‎【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎16.已知的面积等于1，若，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设三条高分别为，根据面积计算出三条高，并将三条高的乘积的最大值问题，转化为最大来求解.‎ ‎【详解】依题意可知，三条高分别为，根据三角形面积公式有，故，，而，即，所以.故当取得最大值时，三条高乘积取得最大值.作平行于且与距离为的平行直线，作的垂直平分线，交直线于.过上一点作圆，使圆经过三个点，由于由于圆外角小于圆周角，故此时取得最大值，也即取得最大值.在三角形中，，由余弦定理得，.‎ 即三角形的三条高的乘积取最大值时.‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式，考查余弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.‎ ‎17.已知非零的平面向量满足，又平面向量满足，若，则的取值范围是______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 设出三个向量的坐标，根据题目所给条件列方程或不等式，由此求得的取值范围.‎ ‎【详解】由于，以为基底建立平面直角坐标系，设，，‎ ‎.由，及得①，②，③.由①+②得，即.将①②代入③得，化简得，故.所以则的取值范围是.‎ ‎【点睛】本小题主要考查坐标法求向量模的取值范围，考查平面向量模的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.‎ 三、解答题.‎ ‎18.在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）求的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）用正弦定理化简已知条件转化为边的形式，再由余弦定理求得的值，进而求得的大小.（2）利用降次公式、三角形内角和定理和辅助角公式，化简所求表达式，利用三角函数值域的求法，求得表达式的取值范围.‎ ‎【详解】（1）由得到 即 所以，从而 ‎（2）‎ 因为 所以 所以 ‎【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查降次公式、三角形内角和定理和辅助角公式，考查三角函数值域的求法，属于中档题.‎ ‎19.如图，四面体ABCD中，，，二面角的大小为，，．‎ ‎（1）若，M是BC的中点，N在线段DC上，，求证：平面AMN；‎ ‎（2）当BP与平面ACD所成角最大时，求的值．‎ ‎【答案】(1)见证明；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取的中点，连接，利用中位线的性质以及面面平行的判定定理证得平面平面，由此证得平面.（2）作出直线与平面 所成的角，根据所成角的最大值，求得的值.‎ ‎【详解】（1）取DN的中点E，连接PE、BE．‎ ‎，，PE、BE是平面AMN外两条相交直线，‎ 所以平面平面AMN，‎ 所以平面AMN.‎ ‎（2）作与G，在平面DAC内作交AD于H，二面角的平面角为,因为，所以H为AD的中点，得是正三角形．‎ 易得平面平面DAC，作，则为GH的中点，,‎ 连接PI，根据面面垂直的性质定理，有平面.则是BP与平面ACD所成角．在中，，为定值，故当时，即最短时，取得最大值，取得最大，在中,,，故，,故．‎ ‎【点睛】本小题主要考查面面平行的判定定理、面面平行的性质，考查线面角的作法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎20.已知等差数列与数列满足，，且的前n项和，．‎ ‎（1）求，的通项公式；‎ ‎（2）设的前n项和为，若，求n的最小值．‎ ‎【答案】(1) ；； (2)10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用已知条件求得的值，结合的值求得数列的通项公式.利用求得数列的通项公式.（2）利用裂项求和法求得的表达式，解不等式求得的最小值.‎ ‎【详解】解：（1），所以，又，‎ 所以 时，，此时，‎ 又，所以．‎ ‎（2），‎ 所以，‎ 得，n最小值为10．‎ ‎【点睛】本小题主要考查等差数列通项的基本量计算，考查已知求，考查裂项求和法，考查指数不等式的解法，属于中档题.‎ ‎21.如图，过点作两条直线和l分别交抛物线于A，B和C，D（其中A，C位于x轴上方，l的斜率大于0），直线AC，BD交于点Q．‎ ‎（1）求证：点Q在定直线上；‎ ‎（2）若，求的最小值．‎ ‎【答案】(1)见证明；(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设出两点的坐标和直线的方程，将直线的方程代入抛物线方程，写出根于系数关系.洗出直线的方程，化简后求得点在直线上.（2）先求得，，根据以及，求得的表达式，利用换元法和基本不等式求得的最小值.‎ ‎【详解】（1）设，，‎ 代入得，所以．‎ ‎，，‎ 消y得，故点Q在上．‎ ‎（2），，‎ 因为，所以，‎ 令，‎ 则，当时取到．‎ ‎【点睛】本小题主要考查抛物线中点在定直线上的问题，考查直线和直线交点的求法，考查利用换元法和基本不等式求最值，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎22.已知，．‎ ‎（1）若在恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若，，求证：．‎ ‎【答案】(1) ； (2)见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化简不等式，分离常数，构造函数，利用导数求得的最大值，由此求得的取值范围.（2）将所要证明的不等式转化为，根据（1）的结论得到，由此证得，根据基本不等式得到的取值范围，由此对放大后，利用配方法，结合二次函数的性质证得.‎ ‎【详解】解：（1）在恒成立，当在恒成立．‎ 令，则，‎ 令，则在恒成立，‎ 所以在内，所以在内，‎ 所以在内递增，所以在内，所以．‎ ‎（2）即证 由（1）知，即，‎ 所以，，所以，‎ ‎，所以．‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查分离常数法和构造函数法，考查化归与转化的数学思想方法，考查放缩法以及利用配方法结合二次函数性质求最值，综合性很强，属于难题.‎ ‎ ‎