2019届二轮复习(文)选修4-5第1节绝对值不等式课件(30张)(全国通用)

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2019届二轮复习(文)选修4-5第1节绝对值不等式课件(30张)(全国通用)

第 1 节 绝对值不等式 最新考纲  1. 理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件: | a + b | ≤ | a | + | b |( a , b ∈ R ) ; | a - b | ≤ | a - c | + | c - b |( a , b ∈ R ) ; 2. 会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式: | ax + b | ≤ c ; | ax + b | ≥ c ; | x - c | + | x - b | ≥ a . 1. 绝对值不等式的解法 (1) 含绝对值的不等式 | x |< a 与 | x |> a 的解集 知 识 梳 理 ( - a , a ) 不等式 a >0 a = 0 a <0 | x |< a __________ ∅ ∅ | x |> a ( - ∞ ,- a ) ∪ ( a ,+ ∞) ( - ∞ , 0) ∪ (0 ,+ ∞) R (2)| ax + b | ≤ c ( c >0) 和 | ax + b | ≥ c ( c >0) 型不等式的解法 ① | ax + b | ≤ c ⇔ ; ② | ax + b | ≥ c ⇔ ; (3)| x - a | + | x - b | ≥ c ( c > 0) 和 | x - a | + | x - b | ≤ c ( c > 0) 型不等式的解法 ① 利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; ② 利用 “ 零点分段法 ” 求解,体现了分类讨论的思想; ③ 通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想 . - c ≤ ax + b ≤ c ax + b ≥ c 或 ax + b ≤ - c 2. 含有绝对值的不等式的性质 (1) 如果 a , b 是实数,则 | a + b | ≤ ,当且仅当 时 ,等号成立 . (2) 如果 a , b , c 是实数, 那么 ,当且仅当 时 ,等号成立 . | a | + | b | ab ≥ 0 | a - c | ≤ | a - b | + | b - c | ( a - b )( b - c ) ≥ 0 1. 思考辨析 ( 在括号内打 “√” 或 “×”) (1) 若 | x | > c 的解集为 R ,则 c ≤ 0.(    ) (2) 不等式 | x - 1| + | x + 2| < 2 的解集为 ∅ .(    ) (3) 对 | a + b | ≥ | a | - | b | 当且仅当 a > b > 0 时等号成立 .(    ) (4) 对 | a | - | b | ≤ | a - b | 当且仅当 | a | ≥ | b | 时等号成立 .(    ) (5) 对 | a - b | ≤ | a | + | b | 当且仅当 ab ≤ 0 时等号成立 .(    ) 答案  (1)×   (2)√   (3)×   (4)×   (5)√ 诊 断 自 测 2. 不等式 | x - 1| - | x - 5|<2 的解集是 (    ) A .( - ∞ , 4) B .( - ∞ , 1) C .(1 , 4) D .(1 , 5) 解析   ① 当 x ≤ 1 时,原不等式可化为 1 - x - (5 - x )<2 , ∴ - 4<2 ,不等式恒成立, ∴ x ≤ 1. ② 当 1< x <5 时,原不等式可化为 x - 1 - (5 - x )<2 , ∴ x <4 , ∴ 1< x <4 , ③ 当 x ≥ 5 时,原不等式可化为 x - 1 - ( x - 5)<2 ,该不等式不成立 . 综 上,原不等式的解集为 ( - ∞ , 4). 答案   A 3. ( 选修 4 - 5P19 习题 T9 改编 ) 若关于 x 的不等式 | a | ≥ | x + 1| + | x - 2| 存在实数解,则实数 a 的取值范围是 ________. 解析  由于 | x + 1| + | x - 2| ≥ |( x + 1) - ( x - 2)| = 3 , ∴ | x + 1| + | x - 2| 的最小值为 3. 要 使原不等式有解,只需 | a | ≥ 3 ,则 a ≥ 3 或 a ≤ - 3. 答案   ( - ∞ ,- 3] ∪ [3 ,+ ∞) 4. 若不等式 | kx - 4| ≤ 2 的解集为 { x |1 ≤ x ≤ 3} ,则实数 k = ________. 解析   ∵ | kx - 4| ≤ 2 , ∴ - 2 ≤ kx - 4 ≤ 2 , ∴ 2 ≤ kx ≤ 6. ∵ 不等式的解集为 { x |1 ≤ x ≤ 3} , ∴ k = 2. 答案   2 故原不等式得证 . 考点一 绝对值不等式的解法 【例 1 - 1 】 (2016· 全国 Ⅰ 卷 ) 已知函数 f ( x ) = | x + 1| - |2 x - 3|. ( 1) 在图中画出 y = f ( x ) 的图象; ( 2) 求不等式 | f ( x )|>1 的解集 . 故 y = f ( x ) 的图象如图所示 . (2) 由 f ( x ) 的解析式及图象知, 当 f ( x ) = 1 时,可得 x = 1 或 x = 3 ; 【例 1 - 2 】 (2017· 全国 Ⅰ 卷 ) 已知函数 f ( x ) =- x 2 + ax + 4 , g ( x ) = | x + 1| + | x - 1|. ( 1) 当 a = 1 时,求不等式 f ( x ) ≥ g ( x ) 的解集; ( 2) 若不等式 f ( x ) ≥ g ( x ) 的解集包含 [ - 1 , 1] ,求 a 的取值范围 . 解   (1) 当 a = 1 时, f ( x ) =- x 2 + x + 4 , f ( x ) ≥ g ( x ) ⇔ x 2 - x + | x + 1| + | x - 1| - 4 ≤ 0. ① 当 x >1 时, f ( x ) ≥ g ( x ) ⇔ x 2 + x - 4 ≤ 0 , ② 当- 1 ≤ x ≤ 1 时, f ( x ) ≥ g ( x ) ⇔ ( x - 2)( x + 1) ≤ 0 ,则 - 1 ≤ x ≤ 1. ③ 当 x < - 1 时, f ( x ) ≥ g ( x ) ⇔ x 2 - 3 x - 4 ≤ 0 ,解得- 1 ≤ x ≤ 4 , 又 x < - 1 , ∴ 不等式此时的解集为空集 . (2) 依题意得:- x 2 + ax + 4 ≥ 2 在 [ - 1 , 1] 上恒成立 . 则 x 2 - ax - 2 ≤ 0 在 [ - 1 , 1] 上恒成立 . 故 a 的取值范围是 [ - 1 , 1]. 规律方法  1. 本题利用分段函数的图形的几何直观性,求解不等式,体现了数形结合的思想 . 2. 解绝对值不等式的关键是去绝对值符号,常用的零点分段法的一般步骤:求零点;划分区间,去绝对值符号;分段解不等式;求各段的并集 . 此外,还常用绝对值的几何意义,结合数轴直观求解 . 【训练 1 】 已知函数 f ( x ) = | x - 2|. ( 1) 求不等式 f ( x ) + x 2 - 4>0 的解集; ( 2) 设 g ( x ) =- | x + 7| + 3 m ,若关于 x 的不等式 f ( x )< g ( x ) 的解集非空,求实数 m 的取值范围 . 解   (1) 不等式 f ( x ) + x 2 - 4>0 ,即 | x - 2|>4 - x 2 . 当 x >2 时,不等式可化为 x 2 + x - 6>0 ,解得 x >2 ; 当 x <2 时,不等式可化为 x 2 - x - 2>0 ,解得 x < - 1. 所以 原不等式的解集为 { x | x >2 或 x < - 1}. ( 2) 依题意, | x - 2|<3 m - | x + 7| 解集非空 , ∴ 3 m >| x - 2| + | x + 7| 在 x ∈ R 上有解, 又 | x - 2| + | x + 7| ≥ |( x - 2) - ( x + 7)| = 9 ,所以 3 m >9 ,解得 m >3. 故实 数 m 的取值范围是 (3 ,+ ∞). 考点二 绝对值不等式性质的应用 因为 |1 - 4 ab | 2 - 4| a - b | 2 = (1 - 8 ab + 16 a 2 b 2 ) - 4( a 2 - 2 ab + b 2 ) = 16 a 2 b 2 - 4 a 2 - 4 b 2 + 1 = (4 a 2 - 1)(4 b 2 - 1)>0 , 所以 |1 - 4 ab | 2 >4| a - b | 2 , 故 |1 - 4 ab |>2| a - b |. 【例 2 - 2 】 对于任意的实数 a ( a ≠0) 和 b ,不等式 | a + b | + | a - b | ≥ M ·| a | 恒成立,记 实数 M 的最大值是 m . ( 1) 求 m 的值; ( 2) ( 一题多解 ) 解不等式 | x - 1| + | x - 2| ≤ m . 解  (1) 不等式 | a + b | + | a - b | ≥ M ·| a | 恒成立, 因为 | a + b | + | a - b | ≥ |( a + b ) + ( a - b )| = 2| a | , 当且仅当 ( a - b )( a + b ) ≥ 0 时等号成立, 因此 m = 2. (2) 不等式 | x - 1| + | x - 2| ≤ m , 即 | x - 1| + | x - 2| ≤ 2. 法一  由于 | x - 1| + | x - 2| 表示数轴上的 x 对应点到 1 和 2 对应点的距离之和; 法二  ① 当 x <1 时,不等式为- ( x - 1) - ( x - 2) ≤ 2 , ② 当 1 ≤ x ≤ 2 时,不等式为 ( x - 1) - ( x - 2) ≤ 2 , 即 1 ≤ x ≤ 2. ③ 当 x >2 时,不等式为 ( x - 1) + ( x - 2) ≤ 2 , 规律方法   1. 求含绝对值的函数最值时,常用的方法有三种: (1) 利用绝对值的几何意义; (2) 利用绝对值三角不等式,即 | a | + | b | ≥ | a ± b | ≥ | a | - | b | ; (3) 利用零点分区间法 . 2. 含绝对值不等式的证明中,要注意绝对值三角不等式的灵活应用 . 【训练 2 】 对于任意实数 a , b ,已知 | a - b | ≤ 1 , |2 a - 1| ≤ 1 ,且恒有 |4 a - 3 b + 2| ≤ m ,求实数 m 的取值范围 . 解  因为 | a - b | ≤ 1 , |2 a - 1| ≤ 1 , 则 |4 a - 3 b + 2| 的最大值为 6 , 所以 m ≥ |4 a - 3 b + 2| max = 6 , m 的取值范围是 [6 ,+ ∞). 考点三 绝对值不等式的综合应用 【例 3 】 (2017· 全国 Ⅲ 卷 ) 已知函数 f ( x ) = | x + 1| - | x - 2|. ( 1) 求不等式 f ( x ) ≥ 1 的解集; ( 2) 若不等式 f ( x ) ≥ x 2 - x + m 的解集非空,求 m 的取值范围 . ① 当 x ≤ - 1 时, f ( x ) =- 3 ≥ 1 无解; ② 当- 1< x <2 时, 2 x - 1 ≥ 1 , 解得 x ≥ 1 ,则 1 ≤ x <2 ; ③ 当 x ≥ 2 时, f ( x ) = 3 ≥ 1 恒成立, ∴ x ≥ 2. 综上知 f ( x ) ≥ 1 的解集为 { x | x ≥ 1}. (2) 不等式 f ( x ) ≥ x 2 - x + m 等价于 f ( x ) - x 2 + x ≥ m , 得 m ≤ | x + 1| - | x - 2| - x 2 + x 有解, 规律方法   1. 例 3 第 (1) 问分段讨论,求得符合题意的 x 取值范围,最后取并集 . 2.(1) 不等式恒成立问题,解集非空 ( 不能成立 ) 问题,转化为最值问题解决 . (2) 本题分离参数 m ,利用绝对值不等式的性质求解,避免分类讨论,优化了解题过程 . 【训练 3 】 (2016· 全国 Ⅲ 卷 ) 已知函数 f ( x ) = |2 x - a | + a . ( 1) 当 a = 2 时,求不等式 f ( x ) ≤ 6 的解集; ( 2) 设函数 g ( x ) = |2 x - 1|. 当 x ∈ R 时, f ( x ) + g ( x ) ≥ 3 ,求实数 a 的取值范围 . 解   (1) 当 a = 2 时, f ( x ) = |2 x - 2| + 2. 解 不等式 |2 x - 2| + 2 ≤ 6 得- 1 ≤ x ≤ 3. 因此 f ( x ) ≤ 6 的解集为 { x | - 1 ≤ x ≤ 3}. (2) 当 x ∈ R 时, 所以当 x ∈ R 时, f ( x ) + g ( x ) ≥ 3 等价于 |1 - a | + a ≥ 3. ① 当 a ≤ 1 时, ① 等价于 1 - a + a ≥ 3 ,无解 . 当 a >1 时, ① 等价于 a - 1 + a ≥ 3 ,解得 a ≥ 2. 所以 a 的取值范围是 [2 ,+ ∞).
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