【数学】2018届一轮复习人教A版第十章第1讲随机抽样学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第十章第1讲随机抽样学案

知识点 考纲下载 随机抽样 ‎1.理解随机抽样的必要性和重要性．‎ ‎2．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样的方法．‎ 用样本估计总体 ‎1.了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．‎ ‎2．理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．‎ ‎3．能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释．‎ ‎4．会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．‎ ‎5．会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．‎ 统计案例 ‎1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系．‎ ‎2．了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．‎ ‎3．通过典型案例了解回归分析的思想、方法，并能初步应用回归分析的思想、方法解决一些简单的实际问题．‎ ‎4．通过典型案例了解独立性检验(只要求2×2列联表)的思想、方法，并能初步应用独立性检验的思想、方法解决一些简单的实际问题．‎ 第1讲　随机抽样 ‎,　　　　　　 　　[学生用书P185])‎ ‎1．简单随机抽样 ‎(1)定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，且每次抽取时各个个体被抽到的机会都相等，就称这样的抽样方法为简单随机抽样．‎ ‎(2)常用方法：抽签法和随机数法．‎ ‎2．系统抽样 ‎(1)步骤：①先将总体的N个个体编号；‎ ‎②根据样本容量n，当是整数时，取分段间隔k＝；‎ ‎③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；‎ ‎④按照一定的规则抽取样本．‎ ‎(2)适用范围：适用于总体中的个体数较多时．‎ ‎3．分层抽样 ‎(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．‎ ‎(2)适用范围：适用于总体由差异比较明显的几个部分组成时．‎ ‎1．辨明两个易误点 ‎(1)简单随机抽样中易忽视样本是从总体中逐个抽取，是不放回抽样，且每个个体被抽到的概率相等．‎ ‎(2)分层抽样中，易忽视每层抽取的个体的比例是相同的，即.‎ ‎2．三种抽样方法的比较 类别 各自特点 相互联系 适用范围 共同点 简单随 机抽样 从总体中 逐个抽取 最基本的 抽样方法 总体中 的个体 数较少 抽样过 程中每 个个体 被抽到 的可能 性相等 系统 抽样 将总体平均分成几部分，按事先确定的规则分别在各部分中抽取 在起始部 分抽样时，‎ 采用简单 随机抽样 总体中 的个体 数较多 分层 抽样 将总体分成几层，按各层个体数之比抽取 各层抽样 时采用简 单随机抽 样或系统 抽样 总体由差 异明显的 几部分 组成 ‎1. 为了了解某地参加计算机水平测试的5 000名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析．在这个问题中，这200名学生成绩的全体是(　　)‎ A．总体　　　　　　　　　　　 B．个体 C．从总体中抽取的一个样本 D．样本的容量 ‎　C　[解析] 根据随机抽样的概念可知选C.‎ ‎2．某学校有男、女学生各1 000名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取200名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是(　　)‎ A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法 ‎　D　[解析] 由于是调查男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在差异，因此易采用分层抽样法．‎ ‎3．为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为(　　)‎ A．50 B．40‎ C．25 D．20‎ ‎　C　[解析] 根据系统抽样的特点可知分段间隔为＝25，故选C.‎ ‎4．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则(　　)‎ A．p1＝p2＜p3 B．p2＝p3＜p1‎ C．p1＝p3＜p2 D．p1＝p2＝p3‎ ‎　D　[解析] 由于三种抽样过程中，每个个体被抽到的概率都是相等的，因此p1＝p2＝p3.‎ ‎5. 一支田径队有男运动员56人，女运动员若干人，用分层抽样的方法抽取容量为28的运动员时，抽取的男运动员是16人，则女运动员的人数是________．‎ ‎[解析] 由题意得＝，解得n＝42.‎ ‎[答案] 42‎ ‎　简单随机抽样[学生用书P186]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(1)以下抽样方法是简单随机抽样的是(　　)‎ A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖 B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格 C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见 D．用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验 ‎(2)总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取 ‎5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为(　　)‎ ‎7816　6572　0802　6314　0702　4369　9728　0198‎ ‎3204　9234　4935　8200　3623　4869　6938　7481‎ A．08　　　　　　　　 B．07‎ C．02 D．01‎ ‎【解析】　(1)选项A、B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；选项C不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；选项D是简单随机抽样．‎ ‎(2)由题意知前5个个体的编号为08，02，14，07，01.‎ ‎【答案】　(1)D　(2)D 抽签法与随机数法的适用情况 ‎(1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况．‎ ‎(2)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：‎ 一是制签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．　 ‎ ‎　下列抽取样本的方式不属于简单随机抽样的有________．‎ ‎①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本．‎ ‎②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里．‎ ‎③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验．‎ ‎④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．‎ ‎[解析] ①不是简单随机抽样．‎ ‎②不是简单随机抽样．因为它是有放回抽样．‎ ‎③不是简单随机抽样．因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取．‎ ‎④不是简单随机抽样．因为指定个子最高的5名同学是56名中特指的，不存在随机性，不是等可能抽样．‎ ‎[答案] ①②③④‎ ‎　系统抽样[学生用书P187]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(1)某单位有840名职工，现采用系统抽样的方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为(　　)‎ A．11　　　　　　　　　　 B．12‎ C．13 D．14‎ ‎(2)(2017·豫晋冀高三模拟)某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为(　　)‎ A．2　　　　　　　　　　 B．3‎ C．4 D．5‎ ‎【解析】　(1)抽样间隔为＝20.设在1，2，…，20中抽取号码x0(x0∈[1，20])，在[481，720]之间抽取的号码记为20k＋x0，则481≤20k＋x0≤720，k∈N*.‎ 所以24≤k＋≤36.因为∈，‎ 所以k＝24，25，26，…，35，‎ 所以k值共有35－24＋1＝12(个)，即所求人数为12.‎ ‎(2)系统抽样的间隔为＝6，设抽到的最小编号为x，则x＋(6＋x)＋(12＋x)＋(18＋x)＝48，解得x＝3.‎ ‎【答案】　(1)B　(2)B 系统抽样的特点 ‎(1)适用于元素个数很多且均衡的总体．‎ ‎(2)各个个体被抽到的机会均等．‎ ‎(3)总体分组后，在起始部分抽样时采用的是简单随机抽样．‎ ‎(4)如果总体容量N能被样本容量n整除，则抽样间隔为k＝.　 ‎ ‎[注意]　用系统抽样法抽取样本，当不为整数时，取k＝，即先从总体中用简单随机抽样的方法剔除(N－nk)个个体，且剔除多余的个体不影响抽样的公平性．‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．中央电视台为了解观众对《中国好歌曲》的意见，准备从502名现场观众中抽取10%进行座谈，现用系统抽样的方法完成这一抽样，则在这进行分组时，需剔除________个个体，抽样间隔为________．‎ ‎[解析] 把502名观众平均分成50组，由于502除以50的商是10，余数是2，所以每组有10名观众，还剩2名观众，采用系统抽样的方法抽样的步骤如下：‎ 第一步，先用简单随机抽样的方法从502名观众中抽取2名观众，这2名观众不参加座谈；‎ 第二步，将剩下的500名观众编号为1，2，3，…，500，并均匀分成50段，每段含＝10(个)个体．‎ ‎[答案] 2　10‎ ‎2．网络上流行一种“开心消消乐游戏” ，为了了解本班学生对此游戏的态度，高三(6)班计划在全班60人中展开调查，根据调查结果，班主任计划采用系统抽样的方法抽取若干名学生进行座谈，为此先对60名学生进行编号为：01，02，03，…，60，已知抽取的学生中最小的两个编号为03，09，则抽取的学生中最大的编号为________．‎ ‎[解析] 由最小的两个编号为03，09可知，抽取人数的比例为，即抽取10名同学，其编号构成首项为3，公差为6的等差数列，故最大编号为3＋9×6＝57.‎ ‎[答案] 57‎ ‎　分层抽样(高频考点)[学生用书P187]‎ 分层抽样是抽样方法考查的重点，也是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式出现，多为容易题或中档题．‎ 高考对分层抽样的考查主要有以下三个命题角度：‎ ‎(1)已知各层总数，确定抽样比；‎ ‎(2)已知各层总数，某一层的样本数，求另一层样本数或总数；‎ ‎(3)已知某层总数及某层的样本数，求各层样本数．‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(1)(2015·高考北京卷)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为(　　)‎ 类别 人数 老年教师 ‎900‎ 中年教师 ‎1 800‎ 青年教师 ‎1 600‎ 合计 ‎4 300‎ A．90　　　　　　　　　　　 B．100‎ C．180 D．300‎ ‎(2)(2017·贵州省七校联考)某高中共有学生1 000名，其中高一年级共有学生380人，高二年级男生有180人．如果在全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率为0.19，现采用分层抽样(按年级分层)在全校抽取100人，则应在高三年级中抽取的人数为________．‎ ‎【解析】　(1)设该样本中的老年教师人数为x，由题意及分层抽样的特点得＝，故x＝180.‎ ‎(2)因为高中共有学生1 000名，在全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率为0.19，所以高二年级女生有1 000×0.19＝190人，则高二年级共有学生180＋190＝370人，所以高三年级有1 000－370－380＝250人，则采用分层抽样(按年级分层)在全校抽取100人，应在高三年级中抽取的人数为×100＝25.‎ ‎【答案】　(1)C　(2)25‎ 分层抽样问题的解题策略 ‎(1)确定抽样比．可依据各层总数与样本数之比，确定抽样比．‎ ‎(2)求某一层的样本数或总体个数．可依据题意求出抽样比，再由某层总体个数(或样本数)确定该层的样本数(或总体数)．‎ ‎(3)求各层的样本数．可依据题意，求出各层的抽样比，再求出各层样本数．　 ‎ ‎[题点通关]‎ ‎ 角度一　已知各层总数，确定抽样比 ‎1．某市有A、B、C三所学校，共有高三文科学生1 500人，且A、B、C三所学校的高三文科学生人数成等差数列，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B校学生中抽取________人．‎ ‎[解析] 设A、B、C三所学校高三文科学生人数分别为x，y，z，由题知x，y，z 成等差数列，所以x＋z＝2y，又x＋y＋z＝1 500，所以y＝500，用分层抽样方法抽取B校学生人数为×500＝40.‎ ‎[答案] 40‎ ‎ 角度二　已知各层总数，某一层的样本数，求另一层样本数或总数 ‎2．(2017·东北三校联考)某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n＝(　　)‎ A．54　　　　 B．90　　　　‎ C．45　　　　 D．126‎ ‎　B　[解析] 依题意得×n＝18，解得n＝90，‎ 即样本容量为90.‎ ‎ 角度三　已知某层总数及某层的样本数，求各层样本数 ‎3．某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人).‎ 篮球组 书画组 乐器组 高一 ‎45‎ ‎30‎ a 高二 ‎15‎ ‎10‎ ‎20‎ 学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________．‎ ‎[解析] 由题意知＝，解得a＝30.‎ ‎[答案] 30‎ ‎,　　　　　　　 　　[学生用书P287(独立成册)])‎ ‎1．某学校为了了解某年高考数学的考试成绩，在高考后对该校1 200名考生进行抽样调查，其中有400名文科考生，600名理科考生，200名艺术和体育类考生，从中抽取120名考生作为样本，记这项调查为①；从10名家长中随机抽取3名参加座谈会，记这项调查为②，则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次是(　　)‎ A．分层抽样法，系统抽样法 B．分层抽样法，简单随机抽样法 C．系统抽样法，分层抽样法 D．简单随机抽样法，分层抽样法 ‎　B　[解析] 在①中，文科考生、理科考生、艺术和体育类考生会存在差异，采用分层抽样法较好；在②中，抽取的样本个数较少，宜采用简单随机抽样法．‎ ‎2．为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从A，B，C三所中学抽取60名教师进行调查，已知A，B，C三所学校中分别有180，270，90名教师，则从C学校中应抽取的人数为(　　)‎ A．10　　　　　　　　　　　 B．12‎ C．18 D．24‎ ‎　A　[解析] 根据分层抽样的特征，从C学校中应抽取的人数为×60＝10.‎ ‎3．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是(　　)‎ A．10 B．11‎ C．12 D．16‎ ‎　D　[解析] 因为29号、42号的号码差为13，所以3＋13＝16，即另外一个同学的学号是16.‎ ‎4．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．‎ 若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是(　　)‎ A．3 B．4‎ C．5 D．6‎ ‎　B　[解析] 35÷7＝5，因此可将编号为1～35的35个数据分成7组，每组有5个数据，在区间[139，151]上共有20个数据，分在4个小组中，每组取一人，共取4人．‎ ‎5．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为(　　)‎ A．7 B．9‎ C．10 D．15‎ ‎　C　[解析] 由题意知应将960人分成32组，每组30人．设每组选出的人的号码为30k＋9(k＝0，1，…，31)．由451≤30k＋9≤750，解得≤k≤，又k∈N，故k＝15，16，…，24，共10人．‎ ‎6．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600.采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在A营区，从301到495在B营区，从496到600在C营区，则三个营区被抽中的人数依次为(　　)‎ A．26，16，8 B．25，17，8‎ C．25，16，9 D．24，17，9‎ ‎　B　[解析] 依题意及系统抽样的意义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k(k∈N*)组抽中的号码是3＋12(k－1)．令3＋12(k－1)≤300，得k≤，因此A营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k－1)≤495，得

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