2021高考数学一轮复习课后限时集训15导数与函数的单调性文北师大版

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2021高考数学一轮复习课后限时集训15导数与函数的单调性文北师大版

课后限时集训15‎ 导数与函数的单调性 建议用时:45分钟 一、选择题 ‎1.(2019·武邑中学第二次调研)函数f(x)=x2-2ln x的单调减区间是(  )‎ A.(0,1]    B.[1,+∞)‎ C.(-∞,-1]∪(0,1] D.[-1,0)∪(0,1]‎ A [f′(x)=2x-=(x>0),令f′(x)≤0,即≤0,解得0<x≤1,故选A.]‎ ‎2.若函数f(x)=2x3-3mx2+6x在区间(1,+∞)上为增函数,则实数m的取值范围是(  )‎ A.(-∞,1] B.(-∞,1)‎ C.(-∞,2] D.(-∞,2)‎ C [f′(x)=6x2-6mx+6,由已知条件知x∈(1,+∞)时,f′(x)≥0恒成立.设g(x)=6x2-6mx+6,则g(x)≥0在(1,+∞)上恒成立.‎ 当Δ=36(m2-4)≤0,即-2≤m≤2时,满足g(x)≥0在(1,+∞)上恒成立;‎ 当Δ=36(m2-4)>0,即m<-2或m>2时,则需 解得m≤2,∴m<-2.‎ 综上,m≤2,∴实数m的取值范围是(-∞,2].]‎ ‎3.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图像如图所示,则函数f(x)的图像可能是(  )‎ A        B - 7 -‎ C        D C [由导函数f′(x)的图像可知,函数y=f(x)先减再增,可排除选项A,B;又f′(x)=0的根为正数,即y=f(x)的极值点为正数,所以可排除选项D,选C.]‎ ‎4.已知f(x)=,则(  )‎ A.f(2)>f(e)>f(3) B.f(3)>f(e)>f(2)‎ C.f(3)>f(2)>f(e) D.f(e)>f(3)>f(2)‎ D [f(x)的定义域是(0,+∞),‎ f′(x)=,令f′(x)=0,得x=e.‎ ‎∴当x∈(0,e)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(e,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,故x=e时,f(x)max=f(e)=,而f(2)==,f(3)==,所以f(e)>f(3)>f(2),故选D.]‎ ‎5.设函数f(x)=x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(1,2] B.(4,+∞)‎ C.(-∞,2) D.(0,3]‎ A [因为f(x)=x2-9ln x,所以f′(x)=x-(x>0),由x-≤0,得0<x≤3,所以f(x)在(0,3]上是减函数,则[a-1,a+1](0,3],所以a-1>0且a+1≤3,解得1<a≤2.]‎ 二、填空题 ‎6.函数f(x)=ln x-ax(a>0)的单调递增区间为________.‎  [由题意,知f(x)的定义域为(0,+∞),由f′(x)=-a>0(a>0),得0<x<,∴f(x)的单调递增区间为.]‎ ‎7.若函数f(x)=ax3+3x2-x恰好有三个单调区间,则实数a的取值范围是________.‎ ‎(-3,0)∪(0,+∞) [由题意知f′(x)=3ax2+6x-1,由函数f(x)恰好有三个单调区间,得f′(x)有两个不相等的零点,所以3ax2+6x-1=0需满足a≠0,且Δ=36+12a - 7 -‎ ‎>0,解得a>-3且a≠0,所以实数a的取值范围是(-3,0)∪(0,+∞).]‎ ‎8.若函数f(x)=ln x-ax2-2x存在单调递减区间,则实数a的取值范围是________.‎ ‎(-1,+∞) [f′(x)=-ax-2=,由题意知f′(x)<0有实数解,‎ ‎∵x>0,‎ ‎∴ax2+2x-1>0有实数解.‎ 当a≥0时,显然满足;‎ 当a<0时,只需Δ=4+4a>0,‎ ‎∴-1<a<0.‎ 综上知a>-1.]‎ 三、解答题 ‎9.已知函数f(x)=(k为常数,e是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.‎ ‎(1)求k的值;‎ ‎(2)求f(x)的单调区间.‎ ‎[解](1)由题意得f′(x)=,‎ 又因为f′(1)==0,故k=1.‎ ‎(2)由(1)知,f′(x)=,‎ 设h(x)=-ln x-1(x>0),‎ 则h′(x)=--<0,‎ 即h(x)在(0,+∞)上是减函数.‎ 由h(1)=0知,当0<x<1时,h(x)>0,从而f′(x)>0;‎ 当x>1时,h(x)<0,从而f′(x)<0.‎ 综上可知,f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+∞).‎ ‎10.已知函数f(x)=x3-ax-1.‎ ‎(1)若f(x)在R上为增函数,求实数a的取值范围;‎ ‎(2)若函数f(x)在(-1,1)上为单调减函数,求实数a的取值范围;‎ ‎(3)若函数f(x)的单调递减区间为(-1,1),求实数a的值;‎ - 7 -‎ ‎(4)若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调,求实数a的取值范围.‎ ‎[解](1)因为f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,‎ 所以f′(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立,‎ 即a≤3x2对x∈R恒成立.‎ 因为3x2≥0,‎ 所以只需a≤0.‎ 又因为a=0时,f′(x)=3x2≥0,‎ f(x)=x3-1在R上是增函数,所以a≤0,即实数a的取值范围为(-∞,0].‎ ‎(2)由题意知f′(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,‎ 所以a≥3x2在(-1,1)上恒成立,‎ 因为当-1<x<1时,3x2<3,所以a≥3,所以a的取值范围为[3,+∞).‎ ‎(3)由题意知f′(x)=3x2-a,则f(x)的单调递减区间为,‎ 又f(x)的单调递减区间为(-1,1),‎ 所以=1,解得a=3.‎ ‎(4)由题意知:f′(x)=3x2-a,当a≤0时,f′(x)≥0,此时f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,不合题意,故a>0.‎ 令f′(x)=0,解得x=±.‎ 因为f(x)在区间(-1,1)上不单调,所以f′(x)=0在(-1,1)上有解,需0<<1,得0<a<3,‎ 所以实数a的取值范围为(0,3).‎ ‎1.(2016·全国卷Ⅰ)若函数f(x)=x-sin 2x+asin x在(-∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是(  )‎ A.[-1,1] B. C. D. C [取a=-1,则f(x)=x-sin 2x-sin x,f′(x)=1-cos 2x-cos x,但f′(0)=1--1=-<0,不具备在(-∞,+∞)单调递增的条件,故排除A,B,D.故选C.]‎ - 7 -‎ ‎2.已知定义在上的函数f(x)的导函数为f′(x),且对于任意的x∈,都有f′(x)sin x<f(x)cos x,则(  )‎ A.f>f B.f>f(1)‎ C.f<f D.f<f A [令g(x)=,‎ 则g′(x)=,‎ 由已知得g′(x)<0在上恒成立,‎ ‎∴g(x)在上单调递减,‎ ‎∴g>g,即>,‎ ‎∴f>f.]‎ ‎3.已知f′(x)是函数f(x)的导函数,f(1)=e,对于任意的x∈R,2f(x)-f′(x)>0,则不等式f(x)<e2x-1的解集为________.‎ ‎(1,+∞) [设F(x)=,则F′(x)= ‎=.‎ 因为2f(x)-f′(x)>0,‎ 所以F′(x)=<0,‎ 即F(x)是减函数,‎ f(x)<e2x-1等价于<1,即F(x)<1.‎ 又因为f(1)=e,‎ 所以F(1)==1,‎ 则不等式f(x)<e2x-1的解集是(1,+∞).]‎ ‎4.已知函数g(x)=ln x+ax2-(2a+1)x,若a≥0,试讨论函数g(x)的单调性.‎ ‎[解] g′(x)= ‎=.‎ ‎∵函数g(x)的定义域为(0,+∞),‎ ‎∴当a=0时,g′(x)=-.‎ - 7 -‎ 由g′(x)>0,得0<x<1,由g′(x)<0,得x>1.‎ 当a>0时,令g′(x)=0,得x=1或x=,‎ 若<1,即a>,‎ 由g′(x)>0,得x>1或0<x<,‎ 由g′(x)<0,得<x<1;‎ 若>1,即0<a<,‎ 由g′(x)>0,得x>或0<x<1,‎ 由g′(x)<0,得1<x<;‎ 当=1时,即a=时,在(0,+∞)上恒有g′(x)≥0.‎ 综上可得:当a=0时,g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减;‎ 当0<a<时,g(x)在(0,1),上单调递增,在上单调递减;‎ 当a=时,g(x)在(0,+∞)上单调递增;‎ 当a>时,g(x)在,(1,+∞)上单调递增,在上单调递减.‎ ‎1.(2019·南昌模拟)已知函数f(x)=xsin x,x1,x2∈,且f(x1)<f(x2),那么(  )‎ A.x1-x2>0 B.x1+x2>0‎ C.x-x>0 D.x-x<0‎ D [由f(x)=xsin x,得f′(x)=sin x+xcos x=cos x(tan x+x),当x∈时,f′(x)>0,即f(x)在上为增函数,又f(-x)=-xsin(-x)=xsin x=f(x),所以f(x)为偶函数,所以当f(x1)<f(x2)时,有f(|x1|)<f(|x2|),所以|x1|<|x2|,x-x<0,故选D.]‎ ‎2.设函数f(x)=aln x+,其中a为常数.‎ ‎(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;‎ ‎(2)讨论函数f(x)的单调性.‎ ‎[解](1)由题意知a=0时,f(x)=,x∈(0,+∞).‎ - 7 -‎ 此时f′(x)=,可得f′(1)=.又f(1)=0,‎ 所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为x-2y-1=0.‎ ‎(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞).‎ f′(x)=+=.‎ 当a≥0时,f′(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上递增.‎ 当a<0时,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a,‎ 由于Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1),‎ ‎①当a=-时,Δ=0,f′(x)=≤0,‎ 函数f(x)在(0,+∞)上递减.‎ ‎②当a<-时,Δ<0,g(x)<0,‎ f′(x)<0,函数f(x)在(0,+∞)上递减.‎ ‎③当-<a<0时,Δ>0.‎ 设x1,x2(x1<x2)是函数g(x)的两个零点,‎ 则x1=,x2=.‎ 由x1==>0,‎ 所以x∈(0,x1)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数f(x)递减;‎ x∈(x1,x2)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数f(x)递增;‎ x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数f(x)递减.‎ 综上可得:‎ 当a≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上递增;‎ 当a≤-时,函数f(x)在(0,+∞)上递减;‎ 当-<a<0时,f(x)在,上递减,‎ 在上递增.‎ - 7 -‎
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