- 2021-06-15 发布 |
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文档介绍
高考数学一轮复习核心素养测评四十一8-5数列与函数、不等式的综合问题
核心素养测评四十一 数列与函数、不等式的综合问题 (30分钟 60分) 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.已知递增的等比数列{an}的公比为q,其前n项和Sn<0,则 ( ) A.a1<0,01 C.a1>0,00,q>1 【解析】选A.因为Sn<0,所以a1<0,又数列{an}为递增等比数列,所以an+1>an,且|an|>|an+1|, 则-an>-an+1>0,则q=∈(0,1),所以a1<0,00”是“S4 + S6>2S5”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选C.由S4+S6-2S5=10a1+21d-2(5a1+10d)=d,可知当d>0时,有S4+S6-2S5>0,即S4+S6>2S5,反之,若S4+S6>2S5,则d>0,所以“d>0”是“S4 + S6>2S5”的充分必要条件. 【名师点睛】本题考查等差数列的前n项和公式,通过套入公式与简单运算,可知S4+S6-2S5=d, 结合充分必要性的判断,若p⇒q,则p是q的充分条件,若p⇐q,则p是q的必要条件,该题“d>0”⇔“S4+S6-2S5>0”,故互为充要条件. 3.已知数列{an}是等比数列,数列{bn}是等差数列,若a2·a6·a10=3,b1+b6+b11=7π,则tan 的值是 ( ) A.1 B. C.- D.- 【解析】选D.因为是等比数列, 所以a2·a6·a10==3,所以a6=. 因为{bn}是等差数列, 所以b1+b6+b11=3b6=7π. 所以b6=, 所以tan=tan =tan =-tan =-tan =-. 4.数列{an}满足an=n2+kn+2,若不等式an≥a4恒成立,则实数k的取值范围是 ( ) A.[-9,-8] B.[-9,-7] C.(-9,-8) D.(-9,-7) 【解析】选B.由已知得n2+kn+2≥4k+18, 即(4-n)k≤n2-16,其中n∈N*. 当n=1,2,3时,k≤(-n-4)min=-7; 当n=4时,等号成立;当n≥5时,k≥(-n-4)max=-9,所以实数k的取值范围是[-9,-7]. 5.已知数列{an}满足a1+a2+a3+…+an=n2+n(n∈N*),设数列满足:bn=,数列的前n项和为Tn,若Tn<λ(n∈N*)恒成立,则实数λ的取值范围为 ( ) 世纪金榜导学号 A. B. C. D. 【解析】选D.数列{an}满足 a1+a2+a3+…+an=n2+n, ① 当n≥2时, a1+a2+a3+…+an-1=(n-1)2+(n-1),② ①-②得an=2n,故an=2n2, 数列满足:bn== = 则:Tn= =,由于Tn<λ(n∈N*)恒成立, 故:<λ,整理得λ>, 因为y==在n∈N*上单调递减, 故当n=1时,=,所以λ>. 二、填空题(每小题5分,共15分) 6.已知f(x)=,各项均为正数的数列{an}满足a1=1,an+2=f(an).若a2 010=a2 012,则a20+a11的值是 . 【解析】因为an+2=f(an)=,a1=1,所以a3=, a5==,a7==, a9==,a11==,又a2 010=a2 012, 即a2 010=⇒+a2 010-1=0, 所以a2 010=. 又a2 010==, 所以1+a2 008==, 即a2 008=,依次类推可得a2 006=a2 004=…=a20=, 故a20+a11=+=. 答案: 7.已知{an}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根. (1)数列{an}的通项公式为 . (2)数列的前n项和为 . 【解析】(1)方程x2-5x+6=0的根为2,3. 又{an}是递增的等差数列, 故a2=2,a4=3,可得2d=1,d=, 故an=2+(n-2)×=n+1. (2)设数列的前n项和为Sn, Sn=+++…++,① Sn=+++…++,② ①-②得Sn=+++…+-=+++…+- =+-, 所以Sn=+-=2-. 答案:(1)an=n+1 (2)2- 8.(2020·成都模拟)数列是等差数列,a1=1,公差d∈,且a4+λa10+a16=15,则实数λ的最大值为 . 世纪金榜导学号 【解析】因为a4+λa10+a16=15, 所以a1+3d+λ(a1+9d)+a1+15d=15,令λ=f(d)=-2, 因为d∈,所以令t=1+9d,t∈[10,19], 因此λ=f(t)=-2, 当t∈[10,19]时,函数λ=f(t)是减函数, 故当t=10时,实数λ有最大值,最大值为f(10)=-. 答案:- 三、解答题(每小题10分,共20分) 9.(2018·北京高考)设{an}是等差数列,且a1=ln 2,a2+a3=5ln 2. (1)求{an}的通项公式. (2)求++…+. 【解析】(1)由已知,设{an}的公差为d,则 a2+a3=a1+d+a1+2d=2a1+3d=5ln 2,又a1=ln 2, 所以d=ln 2, 所以{an}的通项公式为an=ln 2+(n-1)ln 2=nln 2(n∈N*). (2)由(1)及已知,=enln 2=(eln 2)n=2n, 所以++…+=21+22+…+2n==2n+1-2(n∈N*). 10.(2020·武汉模拟)数列{an}满足:++…+=n2+n,n∈N*. 世纪金榜导学号 (1)求{an}的通项公式. (2)设bn=,数列{bn}的前n项和为Sn,求满足Sn>的最小正整数n. 【解析】(1)因为++…+=n2+n, n=1时,可得a1=4, n≥2时,++…+=(n-1)2+n-1. 与++…+=n2+n. 两式相减可得=(2n-1)+1=2n. 所以an=2n(n+1),当n=1时,也满足,所以an=2n(n+1). (2)bn===, 所以Sn==. 又Sn>,所以n>9,所以最小正整数n为10.
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