北京市第八十中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

北京市第八十中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

北京市第八十中学2019-2020学年度第二学期期中考试 高一数学试卷 一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．‎ ‎1.在复平面内，复数对应的点的坐标为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的乘法运算以及复数表示的几何意义即可求解.‎ ‎【详解】复数i(2+i)=2i﹣1，故复数对应的点的坐标为(﹣1，2)，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的乘法运算以及复数的几何意义，属于基础题.‎ ‎2.如果是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用单位向量的定义以及向量的数量即可判断出结果.‎ ‎【详解】因为是两个单位向量，所以，‎ 因此，也即，故C项错误，D项正确；‎ 两个单位向量尽管长度相等，但方向不一定相同，故A项错误；‎ ‎，只有的夹角为0时，才有，故B项错误。‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查单位向量以及数量积的定义，属于基础题.‎ ‎3.下列命题正确的是（ ）．‎ A. 三点确定一个平面 B. 圆心和圆上两个点确定一个平面 C. 如果两个平面相交有一个交点，则必有无数个公共点 D. 如果两条直线没有交点，则这两条直线平行 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由公理2可判断选项A、B；由公理3可判断选项C；如果两条直线没有交点，则这两条直线平行或异面可判断选项D.‎ ‎【详解】共线的三点不能确定一个平面，故A错误；当圆上的两个点恰为直径的端点时，是不能 确定一个平面的，故B错误；如果两个平面相交有一个交点，则这两个平面相交于过该点的 一条直线，故C正确；如果两条直线没有交点，则这两条直线平行或异面，故D错误.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查空间中点、线、面的位置关系，考查公理的应用，是一道容易题.‎ ‎4.已知平面向量，．若∥，则（ ）．‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用共线向量定理的坐标运算即可.‎ ‎【详解】因为∥，所以，所以.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查向量共线的坐标运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.‎ ‎5.已知复数满足，则（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，分子分母同乘以分母的共轭复数即可.‎ 详解】由已知，.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查复数的除法运算，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.‎ ‎6.在△中，已知，，，则c＝( )‎ A. 4 B. ‎3 ‎C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角形的内角和定理，诱导公式可求sinC的值，根据正弦定理即可解得c的值．‎ ‎【详解】∵a＝2，，，‎ ‎∴sinC＝sin[π﹣（A+B）]＝sin（A+B），‎ ‎∴由正弦定理，可得：c．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，诱导公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．‎ ‎7.在四边形中，若且，则（ ）．‎ A. 四边形是矩形 B. 四边形是菱形 C. 四边形是正方形 D. 四边形是平行四边形 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，得，所以四边形为平行四边形，又 可得，故可得四边形是菱形.‎ ‎【详解】由，得，所以∥，且，故四边形为平 行四边形，又，‎ 即，所以四边形是菱形.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查向量的线性运算，考查学生的基本运算能力，是一道容易题.‎ ‎8.在正方体中，分别是线段的中点，则直线与直线的位置关系是（ ）‎ A. 相交 B. 异面 C. 平行 D. 垂直 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线与直线外一点确定的平面为，平面，且两直线不平行，故两直线相交，可得结论．‎ ‎【详解】如图，在正方体中：‎ 与可以确定平面，‎ 又平面，且两直线不平行，‎ 直线与直线的位置关系是相交，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力．‎ ‎9.下列命题中，正确命题的个数是（ ）．‎ ‎①若直线上有无数个点不在平面内，则∥；‎ ‎②若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行；‎ ‎③若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点．‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别对所给选项进行判断即可.‎ ‎【详解】若直线上有无数个点不平面内，则直线与平面相交或平行，故①错误；‎ 若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线平行或异面，故②错误；‎ 若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点，故③正确.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查线面、线线的位置关系，考查学生的空间想象能力，是一道容易题.‎ ‎10.如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中， ‎ ‎①与平行；‎ ‎②与是异面直线；‎ ‎③与平面平行；‎ ‎④平面与平面平行．‎ 以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）．‎ A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将正方体的展开图还原成直观图，数形结合分析即可得到答案.‎ ‎【详解】由展开图得到正方体的直观图如图，‎ 与异面，故①错误；与平行，故②错误；因为四边形是平行四边 形，所以∥，又平面，平面，所以∥平面，‎ 故③正确；显然∥，又平面，平面，所以∥平面 ‎，同理∥平面，又，所以平面∥平面，故④正确.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查线线、线面、面面的位置关系，涉及到展开图还原成直观图，考查学生的空间想象能力，是一道中档题.‎ ‎11.如图，，与的夹角为，与的夹角为，若，则等于（ ）．‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将沿与方向进行分解，易得，再在中，‎ ‎，代入相关值即可得到答案.‎ ‎【详解】将沿与方向进行分解，如图，‎ 由平行四边形法则有，且，所以 ‎，又，，在中，，‎ 即.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查平面向量的基本定理的应用，考查学生数形结合的思想，是一道中档题.‎ ‎12.设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过非零向量的夹角为钝角，满足，而不成立，可判断出结论.‎ ‎【详解】解：为非零向量，存在负数λ，使得，则向量共线且方向相反，可得. 反之不成立，非零向量的夹角为钝角，满足，而不成立. ∴为非零向量，则“存在负数λ，使得”是”的充分不必要条件. 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.‎ ‎13.一正四面体木块如图所示，点是棱的中点，过点将木块锯开，使截面平行于棱和，则下列关于截面的说法正确的是（ ）．‎ A. 满足条件的截面不存在 B. 截面是一个梯形 C. 截面是一个菱形 D. 截面是一个三角形 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取的中点，的中点，的中点，连接，易得即截面为四边形，且四边形为菱形即可得到答案.‎ ‎【详解】取的中点，的中点，的中点，连接，‎ 易得∥且，∥且，所以∥，，‎ 所以四边形为平行四边形，又平面，平面,由线面平行 的判定定理可知，∥平面，∥平面，即截面为四边形，又 ‎，所以四边形为菱形，所以选项C正确.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查线面平行的判定定理的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.‎ ‎14.如图，A，B是半径为2圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为 A. 4β+4cosβ B. 4β+4sinβ C. 2β+2cosβ D. 2β+2sinβ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意首先确定面积最大时点P的位置，然后结合扇形面积公式和三角形面积公式可得最大的面积值.‎ ‎【详解】观察图象可知，当P为弧AB的中点时，阴影部分的面积S取最大值，‎ 此时∠BOP=∠AOP=π-β, 面积S的最大值为+S△POB+ S△POA=4β+‎ ‎.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.‎ 二、填空题：8道小题，每小题5分，共40分．‎ ‎15.如图，在复平面内，复数对应的向量为，则复数________；________．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复数的几何意义知，，再利用复数模的计算公式、复数乘法运算法则计算即可.‎ ‎【详解】由图可知，，所以，所以，‎ ‎.‎ 故答案为：；‎ ‎【点睛】本题考查复数的几何意义，涉及到复数的模、复数的乘法运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.‎ ‎16.设向量，满足，，与的夹角为，则________．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算出，再代入中即可得到答案.‎ ‎【详解】由已知，，所以.‎ 故答案为：7‎ ‎【点睛】本题考查利用定义计算向量的数量积，涉及到数量积的运算律，是一道容易题.‎ ‎17.设为的边的中点，，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，对比系数即可得到答案.‎ ‎【详解】由已知，，所以，.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.‎ ‎18.能说明“在△中，若，则”为假命题的一组，的值是____．‎ ‎【答案】答案不唯一，如，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取A＝60°，B＝30°代入检验可得．‎ ‎【详解】当A＝60°，B＝30°时，sin‎2A＝sin120°，sin2B＝sin60°，此时 ，但A与B不相等，故答案为A＝60°，B＝30°．‎ ‎【点睛】本题考查了命题的真假判断与应用，涉及到特殊角的三角函数值，属于基础题．‎ ‎19.已知点在以原点为圆心的单位圆上，点的坐标为，则的最大值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，易得，，，注意到 ‎，转化为在上的最大值即可.‎ ‎【详解】设，则，由已知，，，‎ 所以，又，所以，当时，‎ 等号成立.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查利用坐标法求向量的数量积的最值，涉及到圆的概念，考查学生的运算能力，是一道容易题.‎ ‎20.已知圆锥表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是______ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出圆锥的底面半径，由它的侧面展开图是一个半圆，分析出母线与半径的关系，结合圆锥的表面积为，构造方程，可求出半径.‎ ‎【详解】设圆锥的底面的半径为，圆锥的母线为，‎ 则由得，‎ 而 故，‎ 解得，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；‎ 圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确理解这两个关系是解题的关键．‎ ‎21.甲、乙两楼相距，从乙楼底望甲楼顶的仰角为，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为，则乙楼的高是________．‎ ‎【答案】40‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出示意图，易得，，，在中，由正弦定理，得，代入数据即可得到答案.‎ ‎【详解】由题意，作出示意图如图，则，，在中，，‎ 所以，又，所以，，‎ 在中，由正弦定理，得，即，解得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理在解三角形中的应用，考查学生将实际问题转化成数学问题的能力，是一到容易题.‎ ‎22.如图，在正三棱柱中，，，为的中点，是上一点，且由点沿棱柱侧面经过棱到的最短路线长为，设这条最短路线与的交点为，则该三棱柱的侧面展开图的对角线长为________；的长为________．‎ ‎【答案】 (1). (2). 2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由展开图为矩形，用勾股定理求对角线的长；在侧面展开图中三角形是直角三角形，可以求出线段的长度，进而可以求出的长度.‎ ‎【详解】正三棱柱的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为 ‎；将三棱柱沿展开，如图所示，设，则，在直角三 角形中，，‎ 即，解得，所以.‎ 故答案为：；‎ ‎【点睛】本题考查三棱柱的侧面展开图以及三棱柱表面上的最短距离问题，考查学生空间想象能力、数学运算能力，是一道中档题.‎ 三、解答题：3道小题，共40分．‎ ‎23.在中，，，．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）7；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）直接利用余弦定理即可得到答案；‎ ‎（Ⅱ）中，由正弦定理可得，利用即可得到.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由余弦定理，得，即，‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）因为，所以，‎ 在中，由正弦定理，得，即，所以，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.‎ ‎24.如图，正方体中，，，，分别是，，，的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：，，，四点共面；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面∥平面；‎ ‎（Ⅲ）画出平面与正方体侧面的交线（需要有必要的作图说明、保留作图痕迹）．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）要证，，，四点共面，只需证明∥；‎ ‎（Ⅱ）只需证明∥平面，∥平面即可；‎ ‎（Ⅲ）因为∥平面，平面，设平面平面，由线面平行的性质定理知∥，过作的平行线即可.‎ ‎【详解】（Ⅰ）因为分别是，的中点，所以为的中位线，所以∥，‎ 又四边形是矩形，所以∥，所以∥，故，，，四点共面；‎ ‎（Ⅱ）由已知，为的中位线，所以∥，所以∥，‎ 又平面，平面，所以∥平面，‎ 同理∥∥，且，所以四边形为平行四边形，‎ 所以∥，又平面，平面，所以∥平面，‎ 又，所以平面∥平面.‎ ‎（Ⅲ）∴过作的平行线交分别于，连接分别交于，连接，如图，‎ 理由如下：因为∥∥，∴∥平面，平面，设平面平面，‎ 由线面平行的性质定理知∥，所以过作的平行线交分别于，连 接分别交于，连接，即可得到平面与正方体侧面的交 线.‎ ‎【点睛】本题考查平面的基本性质，面面平行的判定定理、性质定理，考查学生的空间想象能力，逻辑推理能力，是一道中档题.‎ ‎25.在中，已知．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）求的最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用及诱导公式可得，进一步可得即可得到角B；‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理得到，结合可得的范围，进一步得到b的范围；‎ ‎（Ⅲ）由正弦定理可得，，，又由余弦定理及基本不等式得到，即，代入中即可得到答案.‎ ‎【详解】（Ⅰ）因为，所以，‎ 所以，‎ 即，‎ 又，，所以，‎ 即，因为，所以.‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理，得 ‎，因为，所以，‎ 即，所以的取值范围为.‎ ‎（Ⅲ）由正弦定理，得，‎ 所以，，所以，‎ 又由余弦定理可得，当且仅当 时，等号成立，所以.‎ ‎【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到基本不等式求最值，两角和的余弦公式，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.‎