2021高考数学一轮复习课时作业27平面向量的数量积与应用举例理

2021高考数学一轮复习课时作业27平面向量的数量积与应用举例理

课时作业27　平面向量的数量积与应用举例 ‎ [基础达标]‎ 一、选择题 ‎1．[2019·江西南昌二中期末]已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是(　　)‎ A．（－，＋∞ ） B．(2，＋∞)‎ C．（－，2）∪(2，＋∞) D．（－，0）∪(0，＋∞)‎ 解析：∵a与b的夹角为钝角，∴－2λ－1<0，即λ>－.又a≠μb(μ<0)，∴λ≠2，∴λ的取值范围是（－，2）∪(2，＋∞)．故选C项．‎ 答案：C ‎2．[2020·黑龙江鹤岗一中月考]已知△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC＝8，M为AB边上的中点，则·＋·＝(　　)‎ A．0 B．25‎ C．50 D．100‎ 解析：解法一　∵AB＝10，AC＝6，BC＝8，∴AB2＝AC2＋BC2，∴⊥，∴·＝0.又M为AB边上的中点，∴＝，∴·＋·＝＝＝＝50.故选C项．‎ 解法二　如图，＝＋，∵M为AB边上的中点，∴＝＝，∴·＋·＝＝.∵AB＝10，AC＝6，BC＝8，∴AB2＝AC2＋BC2，∴||＝AB＝10，∴·＋·‎ 7‎ ＝50.故选C项．‎ 解法三　∵AB＝10，AC＝6，BC＝8，∴AB2＝AC2＋BC2，∴⊥.如图，以C为坐标原点，CB，CA所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，其中＝(0,6)，＝(8,0)，∵M为AB边上的中点，∴＝(4,3)，∴·＋·＝18＋32＝50.故选C项．‎ 答案：C ‎3．[2020·广西南宁摸底]若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角的余弦值是(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 解析：结合向量加减法的平行四边形法则和三角形法则可知a＋b，a－b分别为以a，b为邻边的平行四边形的对角线对应的向量，因为|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，所以此平行四边形是矩形，且对角线与矩形的较长边的夹角为，数形结合可知向量a＋b与a－b的夹角为，夹角的余弦值为－.故选B项．‎ 答案：B ‎4．[2019·辽宁大连期中]已知O为△ABC的外心，||＝4，||＝2，则·(＋)＝(　　)‎ A．8 B．9‎ C．10 D．12‎ 解析：∵O是△ABC的外心，∴在上的投影为||＝2，在上的投影为||＝1，∴·(＋)＝·＋·＝2||＋||＝10.故选C项．‎ 答案：C ‎5．[2019·山西太原期末]平面向量a，b，c不共线，且两两所成的角相等，若|a|＝|b 7‎ ‎|＝2，|c|＝1，则|a＋b＋c|＝(　　)‎ A．1 B．2‎ C. D．5‎ 解析：解法一　∵a，b，c不共线且两两所成的角相等，∴a，b，c两两所成的角均为120°，又|a|＝|b|＝2，|c|＝1，∴a·b＝－2，b·c＝a·c＝－1，∴|a＋b＋c|2＝4＋4＋1－4－2－2＝1，∴|a＋b＋c|＝1.故选A项．‎ 解法二　设a＋b＝d，∵a，b，c不共线且两两所成的角相等，∴a，b，c两两所成的角均为120°，∴d＝λc(λ<0)．又|a|＝|b|＝2，∴|d|＝2，又|c|＝1，∴d＝－2c，∴|a＋b＋c|＝|－c|＝1.故选A项．‎ 解法三　如图，建立平面直角坐标系，∵a，b，c不共线且两两所成的角相等，∴a，b，c两两所成的角均为120°.又|a|＝|b|＝2，|c|＝1，∴a＝(－1，)，b＝(－1，－)，c＝(1,0)，∴a＋b＋c＝(－1,0)，∴|a＋b＋c|＝1.故选A项．‎ 答案：A 二、填空题 ‎6．[2019·全国卷Ⅲ]已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝‎2a－b，则cos〈a，c〉＝________.‎ 解析：设a＝(1,0)，b＝(0,1)，则c＝(2，－)，所以cos〈a，c〉＝＝.‎ 答案： ‎7．[2020·陕西西安二中测试]已知向量a在b方向上的投影为－1，向量b在a方向上的投影为－，且|b|＝1，则|a－b|＝________.‎ 解析：设向量a和b所成的角为θ，由题意得|a|cos θ＝－1，|b|cos θ＝－.∵|b|＝1，∴cos θ＝－，|a|＝2，∴|a－b|2＝7，∴|a－b|＝.‎ 答案： ‎8．[2020·唐山联考]在△ABC中，(－3)⊥，则角A的最大值为________．‎ 7‎ 解析：因为(－3)⊥，所以(－3)·＝0，(－3)·(－)＝0，2－4·＋32＝0，即cos A＝＝＋≥2＝，当且仅当||＝||时等号成立．因为0b，所以A>B，又B是△ABC的一个内角，‎ 则B＝，由余弦定理得(4)2＝52＋c2－2×5c×（－），‎ 解得c＝1.‎ 故向量在方向上的投影为 ‎||cos B＝ccos B＝1×＝.‎ ‎[能力挑战]‎ ‎11．[2020·山东淄博一中期中]已知||＝3，||＝2，＝m＋n，m，n∈R，若与的夹角为60°，且⊥，则的值为(　　)‎ A. B. C．6 D．4‎ 解析：通解　∵||＝3，||＝2，与的夹角为60°，∴·＝3.又⊥，∴·＝0.又＝m＋n，＝－，∴(m＋n)·(－)＝0，即－m2＋(m－n)·＋n2＝0，∴－9m＋3m－3n＋4n＝0，∴n＝6m，∴＝.故选B项．‎ 优解　如图，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，∵||＝3，||＝2，与的夹角为60°，∴＝(1，)，＝(3,0)，∴＝－＝(－2，)，＝(3m＋n，n)．又⊥，∴·＝0，∴－6m－2n＋3n＝0，∴n＝6m，∴＝.故选B项．‎ 7‎ 答案：B ‎12．[2020·天津第一中学月考]如图，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝2，点E为AB的中点，若在上的投影为－，则·＝(　　)‎ A．－2 B．－ C．0 D. 解析：通解　∵在上的投影为－，∴在上的投影为.∵BC＝2，∴AD＝.又点E为AB的中点，∴＝－＝－，又＝＋＝＋，∠ABC＝90°，∴·＝2－·－2＝－2.故选A项．‎ 优解　以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B(0,0)，C(2,0)，E(0，)，∴＝(－2，)，又在上的投影为－，∴D(，)，∴＝(，)，∴·＝－2.故选A项．‎ 答案：A ‎13．[2020·重庆一中月考]设非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且|b|＝|a|，向量a，b的夹角为135°，则向量a，c的夹角为________．‎ 解析：解法一　∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴a2＋b·a＝－a·c.∵|a|＝|b|且a，b的夹角为135°，∴a·b＝－|a|2，∴a·c＝0，∴a，c的夹角为90°.‎ 解法二　如图，建立平面直角坐标系，设|a|＝|b|＝2，则a＝(2,0)，b＝(－，)，∵a＋b＋c＝0，∴c＝(0，－2)，∴a·c＝0，∴a，c的夹角为90°.‎ 7‎ 解法三　如图，∵|a|＝|b|且a，b的夹角为135°，∴(a＋b)⊥a，又a＋b＝－c，∴a，c的夹角为90°.‎ 答案：90°‎ 7‎