专题13+解析几何大题-冲刺高考最后一个月之2019高考数学（文）名师押题高端精品

专题13+解析几何大题-冲刺高考最后一个月之2019高考数学（文）名师押题高端精品

专题十三 解析几何大题 （一） 命题特点和预测：‎ 分析近8年全国新课标文数卷1，发现解析几何大题8年8考，每年1题．主要以圆、椭圆、抛物线为载体考查圆的定义、性质、直线与圆的位置关系、椭圆与抛物线的定义、几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查定点与定值问题、最值与范围问题、探索性问题、证明问题、弦长与面积问题，考查设而不求思想及字母运算能力，常为第20题，为难题.2019年解析几何大题仍为必考试题，第1小题主要考查椭圆与抛物线的定义、几何性质，难度为基础题，第2小题主要以直线与圆锥曲线的位置关系考查定点与定值问题或最值与范围问题或证明问题，难度为难题.‎ ‎（二）历年试题比较：‎ 年份 ‎ 题目 ‎2018年 ‎【2018新课标1,文20】设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点．‎ ‎（1）当与轴垂直时，求直线的方程；‎ ‎（2）证明：．‎ ‎2017年 ‎【2017新课标1，文20】设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4．‎ ‎（1）求直线AB的斜率；‎ ‎（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程．‎ ‎2016年 ‎【2016新课标1，文20】在直角坐标系中，直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.‎ ‎（I）求；‎ ‎（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.‎ ‎2015年 ‎【2015课标全国Ⅰ，文20】已知过点且斜率为k的直线l与圆C：交于M，N两点.‎ ‎（I）求k的取值范围；‎ ‎（II），其中O为坐标原点，求.‎ ‎2014年 ‎【2014课标全国Ⅰ，文20】已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.‎ （1） 求的轨迹方程；‎ （2） 当时，求的方程及的面积 ‎2013年 ‎【2013课标全国Ⅰ，文21】已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)求C的方程；‎ ‎(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.‎ ‎2012年 ‎【2012课标全国Ⅰ，文20】设抛物线：（＞0）的焦点为，准线为，为上一点，已知以为圆心，为半径的圆交于,两点.‎ ‎(Ⅰ)若,的面积为，求的值及圆的方程；‎ ‎(Ⅱ)若，，三点在同一条直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到，距离的比值.‎ ‎2011年 ‎【2011课标全国Ⅰ，文20】在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上.‎ ‎（Ⅰ）求圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若圆C与直线交于A，B两点，且,求的值.‎ ‎【解析与点睛】‎ ‎（2018年）【解析】（1）当l与x轴垂直时，l的方程为x=2，可得M的坐标为（2，2）或（2，–2）．‎ 所以直线BM的方程为y=或．‎ ‎（2）当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM=∠ABN．‎ 当l与x轴不垂直时，设l的方程为，M（x1，y1），N（x2，y2），则x1>0，x2>0．‎ 由得ky2–2y–4k=0，可知y1+y2=，y1y2=–4．‎ 直线BM，BN的斜率之和为 ‎．①‎ 将，及y1+y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得 ‎．‎ 所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM+∠ABN．‎ 综上，∠ABM=∠ABN．‎ ‎（2017年）【解析】（1）不妨设，，‎ 则，即直线的斜率为．‎ ‎（2）设，由的导函数知在处的切线斜率为，‎ 所以，故．‎ 因为，易知的斜率存在且不为，因此，‎ 即． ‎ 设直线的方程为，与抛物线联立得，‎ 所以，故，由根与系数的关系知，‎ 代入式得，解得，符合题意，因此直线的方程为．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，主要利用根与系数的关系：因为直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用根与系数的关系及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用根与系数的关系直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．‎ ‎（2016年）【解答】（Ⅰ）由已知得，.‎ 又为关于点的对称点，故，的方程为，代入整理得，解得，，因此.‎ 所以为的中点，即.‎ ‎（Ⅱ）直线与除以外没有其它公共点.理由如下：‎ 直线的方程为，即.代入得，解得，即直线与只有一个公共点，所以除以外直线与没有其它公共点.‎ ‎【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、求最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.‎ ‎（2015年）【解析】（I）由题设，可知直线l的方程为.‎ 因为l与C交于两点，所以.‎ 解得.‎ 所以的取值范围是.‎ ‎（II）设.‎ 将代入方程,整理得,‎ 所以 ‎,‎ 由题设可得，解得，所以l的方程为.‎ 故圆心在直线l上，所以.‎ ‎（2014年）【解析】（I）设()，由题知，由圆:知C（0,4），‎ ‎∴=，=，∴==0，‎ 整理得的轨迹方程为. ……6分 ‎（II）由（I）知的轨迹是点N（1,3）为圆心，为半径的圆.‎ ‎∵，∴O在线段MP的垂直平分线上，又P在圆N上，∴ON⊥PM，‎ ‎∵=3，∴=，故的方程为,‎ 又=，O到直线的距离为，|PM|=，‎ ‎∴的面积为. ……12分 ‎（2013年）【解析】由已知圆M的圆心为M（-1,0），半径=1，圆N的圆心为N（1,0），半径=3，设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.‎ ‎(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，‎ 所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4. ‎ 由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为(x≠－2)．‎ ‎(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，‎ 所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2.‎ 所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.‎ 若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝.‎ 若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则，可求得Q(－4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．‎ 由l与圆M相切得＝1，解得k＝.‎ 当k＝时，将代入，并整理得7x2＋8x－8＝0，解得x1,2＝，‎ 所以|AB|＝|x2－x1|＝.‎ 当k＝时，由图形的对称性可知|AB|＝.‎ 综上，|AB|＝或|AB|＝.‎ ‎（2012年）【解析】设准线于轴的焦点为E，圆F的半径为，‎ 则|FE|=， =，E是BD的中点，‎ ‎(Ⅰ) ∵，∴=，|BD|=，‎ 设A(，)，根据抛物线定义得，|FA|=，‎ ‎∵的面积为，∴===，解得=2，‎ ‎∴F(0,1), FA|=， ∴圆F的方程为：；‎ ‎(Ⅱ) 【解析1】∵，，三点在同一条直线上, ∴是圆的直径，,‎ 由抛物线定义知，∴，∴的斜率为或－，‎ ‎∴直线的方程为：，∴原点到直线的距离=，‎ 设直线的方程为：，代入得，，‎ ‎∵与只有一个公共点， ∴=，∴，‎ ‎∴直线的方程为：，∴原点到直线的距离=，‎ ‎∴坐标原点到，距离的比值为3.‎ ‎【解析2】由对称性设，则 点关于点对称得： ‎ 得：，直线 切点 直线 坐标原点到距离的比值为。‎ ‎（2011年）【解析】（Ⅰ）曲线与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（‎ 故可设C的圆心为（3，t），则有解得t=1.‎ 则圆C的半径为 所以圆C的方程为 ‎（Ⅱ）设A（），B（），其坐标满足方程组：‎ 消去y，得到方程 由已知可得，判别式 因此，从而 ‎ ①‎ 由于OA⊥OB，可得 又所以 ‎ ②‎ 由①，②得，满足故 ‎（三）命题专家押题 题号 试 题 ‎1.‎ 已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一点，且点到焦点的距离为4，过作抛物线的切线（斜率不为0），切点为.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：以为直径的圆过点.‎ ‎2.‎ 已知抛物线上一点到焦点的距离等于.‎ ‎（I）求抛物线的方程和实数的值；‎ ‎（II）若过的直线交抛物线于不同两点，（均与不重合），直线，分别交抛物线的准线于点，.求证.‎ ‎3.‎ 已知动点P到点F（0，1）的距离比它到直线y=-3的距离少2．‎ ‎（1）求点P的轨迹E的方程．‎ ‎（2）过点F的两直线l1、l2分别与轨迹E交于A，B两点和C，D两点，且满足•=0，设M，N两点分别是线段AB，CD的中点，问直线MN是否恒过一定点，若经过，求定点的坐标；若不经过，请说明理由．‎ ‎4.‎ 已知F是抛物线的焦点，点M是抛物线上的定点，且. ‎ ‎(1)求抛物线C的方程；‎ ‎(2)直线AB与抛物线C交于不同两点，直线 与AB平行，且与抛物线C相切，切点为N，试问△ABN的面积是否是定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．‎ ‎5.‎ 在平面直角坐标系中，已知抛物线：，过抛物线焦点且与轴垂直的直线与抛物线相交于、两点，且的周长为.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）若过焦点且斜率为1的直线与抛物线相交于、两点，过点、分别作抛物线的切线、，切线与相交于点，求：的值.‎ ‎6‎ 已知抛物线上一点到焦点的距离.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）过点引圆的两条切线，切线与抛物线的另一交点分别为，线段中点的横坐标记为，求的取值范围.‎ ‎7‎ 已知椭圆的离心率为，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的上顶点，点F为椭圆的左焦点，且的面积是．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆C交于P、Q两点，点P关于x轴的对称点为（与不重合），则直线与x轴交于点H，求面积的取值范围．‎ ‎8‎ 已知椭圆的左顶点为，离心率为，点在椭圆上.‎ ‎（1)求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于点，，求证：在轴上存在点，使得无论非零实数怎样变化，总有为直角，并求出点的坐标.‎ ‎9‎ 设抛物线，点，过点的直线与交于两点．‎ ‎（1）当点为中点时，求直线的方程；‎ ‎（2）设点关于轴的对称点为，证明：直线过定点．‎ ‎10‎ 已知动点是的顶点，，，直线，的斜率之积为.‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）设四边形的顶点都在曲线上，且，直线，分别过点，，求四边形的面积为时，直线的方程.‎ ‎【详细解析】‎ ‎1.【解析】（1）由题知，，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴抛物线的标准方程为.‎ ‎（Ⅱ）设切线的方程为，，‎ 联立，消去可得，‎ 由题意得，即，‎ ‎∴切点，‎ 又，∴.‎ ‎∴，故以为直径的圆过点.‎ ‎2.【解析】（Ⅰ）由抛物线定义可知，故抛物线 将代入抛物线方程解得． ‎ ‎（Ⅱ）证明：设，，‎ 设直线的方程为 ，代入抛物线，化简整理得：，‎ 则①‎ 由已知可得直线方程：‎ 令，‎ 同理可得 将①代入化简得：，故．‎ ‎（也可用）．‎ ‎3.【解析】（1）由题意知动点P到点F（0，1）的距离等于它到直线x=-1的距离相等，‎ 所以点P的轨迹E是抛物线，轨迹方程是x2=4y ‎（2）根据题意可知，直线l1，l2都有斜率，‎ 设直线l1的方程为y=kx+1（k≠0），代入x2=4y，得x2-4kx-4=0‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则 ‎∴M（2k，2k2+1）∵，∴‎ 设直线l2：，C（x3，y3），D（x4，y4），同理可得N 所以直线MN的方程为，化简得：y-3=x，‎ 所以直线MN恒过定点（0，3）．‎ ‎4.【解析】（1）设，由题知，所以，‎ 所以，即，‎ 代入中得，解得，‎ 所以抛物线C的方程为。‎ ‎（2）由题意知，直线AB的斜率存在，设其方程为，‎ 由，整理得，则，‎ 所以，‎ 设AB的中点为Q，则点Q的坐标为，‎ 由条件设切线的方程为，则，整理得。‎ 因为直线与抛物线相切，所以，所以，‎ 所以，所以，所以，‎ 所以切点N的坐标为，‎ 所以轴，所以，‎ 因为，‎ 又因为，所以，‎ 所以，‎ 所以的面积为定值，且定值为 ‎5.【解析】（1）由题意知，焦点的坐标为，‎ 将代入抛物线的方程可求得，解得，‎ 即点、的坐标分别为、，‎ 又由，，‎ 可得的周长为，即，解得，‎ 故抛物线的方程为.‎ ‎（2）由（1）得，直线方程为，‎ 联立方程消去整理为：，则，‎ 所以，.‎ 又因为，则，‎ ‎∴可得直线的方程为，整理为.‎ 同理直线的方程为.‎ 联立方程，解得，则点的坐标为.‎ 由抛物线的几何性质知，，‎ ‎.‎ 有.‎ ‎∴.‎ ‎6.【解析】（1）由抛物线定义,得，由题意得：‎ 解得 所以，抛物线的方程为.‎ ‎（2）由题意知，过引圆的切线斜率存在，设切线的方程为，则圆心到切线的距离，整理得，.‎ 设切线的方程为,同理可得.‎ 所以，是方程的两根，.‎ 设，由得，，‎ 由韦达定理知，，所以，同理可得.‎ 设点的横坐标为，则 ‎.‎ 设，则，‎ 所以，，对称轴，所以 ‎7.【解析】（1）由得：‎ 则 ‎ 则，解得：，则，‎ 椭圆的标准方程为：‎ ‎（2） 由与不重合可知：‎ 联立，整理可得：，‎ 设，，则 则，‎ 直线的方程为：‎ 令，解得：‎ 又，‎ 则 即直线与轴交点为：‎ ‎，‎ 令，则 当时，单调递增，则 ‎，又 ‎8.【解析】（1)依题意，，所以 ①，‎ 又因为点在椭圆上，所以 ②，‎ 由①②解得，，所以椭圆方程为.‎ ‎（2）设，，则，不妨令.‎ 由可得，解得，，‎ ‎，所以所在直线方程为，‎ 所在直线方程为，‎ 可得，同理可得，‎ 所以，，‎ 所以，，所以或，‎ 所以存在点且坐标为或．‎ 使得无论非零实数怎么变化，总有为直角.‎ ‎9.【解析】（1）设，则，‎ 由在抛物线上，得，‎ 解得，故的斜率为．‎ ‎∴直线的方程为；‎ ‎（2）证明：由题意知，的斜率存在且不为0，设．‎ 代入，得．‎ 由，得．‎ 设，则，‎ ‎．‎ ‎∴，故直线的方程为．‎ 整理得：．‎ ‎∴直线过定点（2，0）．‎ ‎10.【解析】（1）设点，由已知，，‎ 直线与的斜率之积为，‎ 即，化简得.‎ 所以动点的轨迹的方程为.‎ ‎（2）依题意，直线的斜率不为0，‎ 设直线的方程为，，，‎ 由，得，‎ 则，，‎ 所以，‎ 又原点到直线的距离，‎ 所以，‎ 由图形的对称性可知，，‎ 所以，‎ 化简得，解得，即，‎ 所以直线的方程为，即. ‎