四川省宜宾市叙州区第一中学校2020届高三第一次高考适应性考试数学（理）试题

四川省宜宾市叙州区第一中学校2020届高三第一次高考适应性考试数学（理）试题

四川省宜宾叙州区第一中学2020届第一次高考适应性考试 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}，集合B＝{x∈Z|x2≤4x}，则∁RA∩B＝ ‎ A．{x|0≤x≤3} B．{﹣1，0，1，2，3} C．{0，1，2，3} D．{1，2}‎ ‎2．已知复数z＝sin2019°+cos2019°i，则复平面表示z的点位于 ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．《高中数学课程标准》（2017版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（注：雷达图（RadarChart），又可称为戴布拉图、蜘蛛网图（SpiderChart），可用于对研究对象的多维分析） ‎ A．甲的直观想象素养高于乙 B．甲的数学建模素养优于数据分析素养 ‎ C．乙的数学建模素养与数学运算素养一样 D．乙的六大素养整体水平低于甲 ‎4．函数的一个单调递增区间是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的 ‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．函数的图象大致为 ‎ A．B． C．D．‎ ‎7．已知函数f（x）＝（x﹣1）（ax+b）为偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，则f（3﹣x）＜0的解集为 A．（2，4） B．（﹣∞，2）∪（4，+∞） ‎ C．（﹣1，1） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）‎ ‎8．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|≤，为f（x）的零点：且f（x）≤|f（）|恒成立，f（x）在区间（﹣）上有最小值无最大值，则ω的最大值是 A．11 B．13 C．15 D．17‎ ‎9．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤1，若将军从点A （3，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y＝4，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 A． B． C． D．‎ ‎10．已知四棱锥P﹣ABCD的棱长都是12，E，F，M为PA，PC，AB的中点，则经过E，F，M的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面的面积为 A．54 B．45 C．72 D．96‎ ‎11．如图，O为△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则•的值为 A．4 B．5 C．7 D．6‎ ‎12．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）与函数y＝（x≥0）的图象交于点P，若函数y＝的图象与点P处的切线过双曲线左焦点F（﹣4，0），则双曲线的离心率是 ‎ A． B． C． D．‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．（1+x﹣2x2）5展开式中的x6的系数为　 　‎ ‎14．安排A，B，C，D，E，F六名义工照顾甲、乙、丙三位老人，每两位义工照顾一位老人．考虑到义工与老人住址距离问题，义工A不安排照顾老人甲，义工B不安排照顾老人乙，安排方法共有　 　．‎ ‎15．设数列{an}满足an+1＝an+2（n+1），n∈N*，a1＝2，则数列{（﹣1）n•an}的前40项和是　 　．‎ ‎16．已知函数f（x）＝ex﹣﹣1（k∈R）在（0，+∞）上存在唯一零点x0，则下列说法中正确的是　 　（请将所有正确的序号填在横格上）‎ ‎①k＝2；②k＞2；③lnx0＝﹣x0；④＜x0＜．‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17．（12分）设函数f（x）＝sin（2x+）﹣2cos2x．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的单调增区间；‎ ‎（II）在△ABC中，若f（﹣）＝﹣，且＝2，BD＝，cos∠ABD＝，求BC的值．‎ ‎18．（12分）某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为二级过滤，使用寿命为十年．如图1所示，两个二级过滤器采用并联安装，再与一级过滤器串联安装．‎ 其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现．在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立）．若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个160元，二级滤芯每个80元．若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个400元，二级滤芯每个200元．现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中如表是根据100个一级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表，图2是根据200个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图．‎ 一级滤芯更换频数分布表 一级滤芯更换的个数 ‎8‎ ‎9‎ 频数 ‎60‎ ‎40‎ 以100个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以200个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率．‎ ‎（Ⅰ）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16的概率；‎ ‎（II）记X表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的二级滤芯总数，求X的分布列及数学期望；‎ ‎（III）记m，n分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数．若m+n＝19，且m∈{8，9}，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定m，n的值．‎ ‎19．（12分）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC与△B1BC是全等的等边三角形，‎ ‎（1）求证：BC⊥AB1‎ ‎（II）若，求二面角C﹣B1B﹣A的余弦值．‎ ‎20．（12分）已知椭圆的离心率为，右焦点为F（c，0），左顶点为A，右顶点B在直线l：x＝2上．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点P是椭圆C上异于A，B的点，直线AP交直线l于点D，当点P运动时，判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．‎ ‎21．（12分）设函数f（x）＝xlnx﹣aex，p（x）＝kx，其中a∈R，e是自然对数的底数．‎ ‎（Ⅰ）若f（x）在（0，+∞）上存在两个极值点，求a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若φ（x）＝lnx+1﹣f′（x），φ（1）＝e，函数φ（x）与函数p（x）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2），且AB线段的中点为P（x0，y0），证明：φ（x0）＜p（1）＜y0．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝cosθ．‎ ‎（Ⅰ）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）过动点．P（x0，y0）（y02＜x0）且平行于l的直线交曲线C于A，B两点，若|PA|•|PB|＝2，求动点P到直线I的最近距离．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知a，b均为正数，且ab＝1．证明：‎ ‎（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）．‎ ‎四川省宜宾叙州区第一中学2020届第一次高考适应性考试 理科数学参考答案与试题解析 ‎1-5：CCCAB 6-10:ABCAB 11-12:BD ‎13.30 14.42 15.840 16. ①③．‎ ‎17．解：（1）……（2分）‎ ‎……………（4分）‎ ‎…………（5分）‎ f（x）的单调增区间为……（6分）‎ ‎（2）由……（7分）‎ 在△ABD中，由正弦定理可得：，，可得DC＝4……（8分）‎ ‎……（10分）‎ 在△BCD中，由余弦定理可得：……（12分）‎ ‎18．解：（1）由题意知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16，则该套系统中一个一级过滤器需要更换8个滤芯，两个二级过滤器均需要更换4个滤芯，设一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16为事件A，‎ 因为一个一级过滤器需要更换8个滤芯的的概率为0.6，二级过滤器需要更换4个滤芯的概率为0.2，‎ 所以P（A）＝0.6×0.2×0.2＝0.024；‎ ‎（2）由题可知，一个二级过滤器需要更换滤芯的个数为4，5，6的概率分别为0.2，0.4，0.4，‎ X的可能取值为8，9，10，11，12，‎ 从而P（X＝8）＝0.2×0.2＝0.04，P（X＝9）＝2×0.2×0.4＝0.16，P（X＝10）＝2×0.2×0.4+0.4×0.4﹣0.32，P（X＝11）＝2×0.4×0.4＝0.32，P（X＝12）＝0.4×0.4＝0.16，‎ ‎∴X的分布列为 X ‎ 8‎ ‎ 9‎ ‎ 10‎ ‎ 11‎ ‎ 12‎ P ‎ 0.04‎ ‎ 0.16‎ ‎ 0.32‎ ‎ 0.32‎ ‎0.16‎ ‎∴E（X）＝8×0.04+9×0.16+10×0.32+11×0.32+12×0.16＝10.4；‎ ‎（3）记Y表示该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需费用，因为m+n＝19，且m∈{8，9}，‎ ‎（i）若m＝8，则n＝11，E（Y1）＝160×8+400×0.4+80×11+200×0.16＝2352，（ii）若m＝9，则n＝10，‎ E（Y2）＝160×9+80×10+200×0.32+400×0.16＝2368，因为E（Y1）＜E（Y2），故选择方案m＝8，n＝11．‎ ‎19.解：（1）证明：取BC中点O，连接AO，B1O，‎ 由于△ABC与△B1BC是全等的等边三角形，∴AO⊥BC，B1O⊥BC，且AO∩B1O＝O，‎ ‎∴BC⊥平面B1AO，又AB1在平面B1AO内，∴BC⊥AB1；‎ ‎（2）设AB＝a，△ABC与△B1BC是全等的等边三角形，则BB1＝AB＝BC＝AC＝B1C＝a，‎ 又，由余弦定理可得，‎ 在△AB1C中，有，‎ 所以以OA，OB，OB1分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，‎ 设平面ABB1的一个法向量为，则 ‎，可取，又平面BCB1的一个法向量为，‎ ‎∴二面角C﹣B1B﹣A的余弦值为．‎ ‎20．解：（Ⅰ）依题可知B（a，0），a＝2因为，所以c＝1，,故椭圆C的方程为．‎ ‎（Ⅱ）方法一：以BD为直径的圆与直线PF相切．‎ 证明如下：由题意可设直线AP的方程为y＝k（x+2）（k≠0）．则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k），直线方程代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12＝0．‎ 设点P的坐标为（x0，y0），则﹣2x0＝．所以x0＝，y0＝．‎ 因为点F坐标为（1，0），‎ ‎①当k＝±时，点P的坐标为（1，±），直线PF的方程为x＝1，D的坐标为（2，±2）．‎ 此时以BD为直径的圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1与直线PF相切．‎ ‎②当k≠±时，则直线PF的斜率kPF＝＝．‎ 所以直线PF的方程为y＝（x﹣1），即．‎ 点E到直线PF的距离 又因为|BD|＝2R＝4|k|，故以BD为直径的圆与直线PF相切．‎ 综上得，当直线AP绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切 综上得，当点P运动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．‎ 方法二：以BD为直径的圆与直线PF相切．‎ 证明如下：设点P（x0，y0），则 ‎①当x0＝1时，点P的坐标为（1，±），直线PF的方程为x＝1，‎ D的坐标为（2，±2）．‎ 此时以BD为直径的圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1与直线PF相切．‎ ‎②当x°≠1时直线AP的方程为，‎ 点D的坐标为，BD中点E的坐标为，故 直线PF的斜率为，故直线PF的方程为，即，‎ 所以点E到直线PF的距离 故以BD为直径的圆与直线PF相切．‎ 综上得，当点P运动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．‎ ‎21．解：（Ⅰ）由题意可知，x＞0，令f′（x）＝lnx+1﹣aex，‎ 则f（x）在（0，+∞）上存在两个极值点等价于f′（x）＝0在（0，+∞）上有两个不等实根，‎ 由lnx+1﹣aex＝0可得，令，则，令，则，‎ 当x＞0时，h′（x）＜0，故函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，且h（1）＝0，‎ ‎∴当x∈（0，1）时，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）单调递增，‎ 当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）单调递减，‎ ‎∴x＝1是g（x）的极大值也是最大值，∴，∴，‎ 又当x→0时，g（x）→﹣∞，当x→+∞时，g（x）大于0且趋向于0，‎ 要使f′（x）＝0在（0，+∞）有两个根，则；‎ ‎（Ⅱ）证明：由题意可得a＝1，φ（x）＝ex，要证φ（x0）＜p（1）＜y0成立，只需证，即，‎ 设t＝x2﹣x1＞0，即证，要证，只需证，‎ 令，则，‎ ‎∴F（t）在（0，+∞）上为增函数，∴F（t）＞F（0）＝0，即成立；‎ 要证，只需证，令，则，∴G（t）在（0，+∞）上为减函数，‎ ‎∴G（t）＜G（0）＝0，即成立；∴成立，即φ（x0）＜p（1）＜y0成立．‎ ‎22．解：（1）直线l的极坐标方程为，即为（ρsinθ﹣ρcosθ）＝，‎ 即ρsinθ﹣ρcosθ＝2，可得y﹣x＝2，即x﹣y+2＝0；‎ 曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝cosθ，即为ρ2sin2θ＝ρcosθ，可得y2＝x；‎ ‎（2）设P（x0，y0）（y02＜x0）且平行于l的直线的参数方程设为（t为参数），‎ 代入抛物线方程y2＝x，可得t2+t（y0﹣）+y02﹣x0＝0，‎ 设PA，PB对应的参数分别为t1，t2，可得t1t2＝2（y02﹣x0），‎ 又|PA|•|PB|＝2，即有|y02﹣x0|＝1，‎ 由y02＜x0，可得y02＝x0﹣1，即x0＝1+y02，‎ P到直线l：x﹣y+2＝0的距离d＝＝＝[（y0﹣）2+]，‎ 当y0＝，x0＝时，动点P到直线l的最近距离为．‎ ‎23．证明：（1）∵a2+b2≥2ab，‎ ‎∴2（a2+b2）≥（a+b）2，即，当且仅当a＝b＝1时取等号，‎ ‎∴；‎ ‎（2）＝＝（a3+b3）+2（a2+b2）+（a+b），‎ 当且仅当a＝b＝1时取等号．‎