2018届二轮复习利用导数解决函数单调性的应用问题学案（全国通用）

2018届二轮复习利用导数解决函数单调性的应用问题学案（全国通用）

专题4 利用导数解决函数单调性的应用问题 利用导数解决函数单调性的应用问题 ‎★★★‎ ‎○○○○‎ 利用导数解决函数单调性的应用问题主要有：‎ ‎(1)已知函数的单调性求参数范围问题：此类问题是近几年高考的热点，一般为解答题的第二问，难度中档．有时也以选择题、填空题的形式出现，难度中高档．解决此类问题的关键是转化为恒成立问题，再参变分离，转化为最值问题求解．‎ ‎(2)比较大小或解不等式问题：利用导数方法解决此类问题的主要技巧就是灵活地构造函数，通过函数的性质求解．‎ 由函数的单调性求参数取值范围的方法 ‎(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围；‎ ‎(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集，即f′(x)max>0(或f′(x)min<0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围；‎ ‎(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．‎ ‎[例]　已知函数f(x)＝x3－ax－1.‎ ‎(1)若f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围；‎ ‎(2)若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，求a的取值范围；‎ ‎(3)若f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的值．‎ ‎[解]　(1)因为f′(x)＝3x2－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0在 (1，＋∞)上恒成立，所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3，即a的取值范围为(－∞，3]．‎ ‎1.(1)若0ln x2－ln x1‎ B．ex2－ex1x1ex2‎ D．x2ex1g(x2)，即>，则x2ex1>x1ex2，故选C.‎ ‎(2)设F(x)＝f(x)－x，∴F′(x)＝f′(x)－，∵f′(x)<，∴F′(x)＝f′(x)－<0，即函数F(x)在R上单调递减．∵f(x2)<＋，∴f(x2)－1，即x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．‎ ‎[答案]　(1)C　(2)(－∞，－1)∪(1，＋∞)‎ ‎2.已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则函数y＝log2x2＋bx＋的单调递减区间为(　　)‎ A. B．[3，＋∞)‎ C．[－2,3] D．(－∞，－2)‎ 解析：选D　因为f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d，所以f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由图可知f′(－2)＝f′(3)＝0，所以解得令g(x)＝x2＋bx＋，则g(x)＝x2－x－6，g′(x)＝2x－1，由g(x)＝x2－x－6>0，解得x<－2或x>3.当x<时，g′(x)<0，所以g(x)＝x2－x－6在(－∞，－2)上为减函数，所以函数y＝log2的单调递减区间为(－∞，－2)．‎ ‎3．(2017·甘肃诊断考试)函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，设a＝f(0)，b＝f，c＝f(3)，则(　　)‎ A．a0，所以函数f(x)在(－∞，1)上是单调递增函数，所以a＝f(0)f(cos B)‎ B．f(sin A)f(sin B)‎ D．f(sin A)f(cos B)，故选A.‎ ‎3.若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________．‎ ‎4.已知函数f(x)＝－(‎4m－1)x2＋(‎15m2‎－‎2m－7)x＋2在R上为单调递增函数，则实数m的取值范围是________．‎ 解析：f′(x)＝x2－2(‎4m－1)x＋‎15m2‎－‎2m－7，由题意可得f′(x)≥0在x∈R上恒成立，所以Δ＝4(‎4m－1)2－4(‎15m2‎－‎2m－7)＝4(m2－‎6m＋8)≤0，解得2≤m≤4.‎ 答案：[2,4]‎ ‎5.已知定义域为R的函数f(x)满足f(4)＝－3，且对任意的x∈R总有f′(x)<3，则不等式f(x)<3x－15的解集为________．‎ 解析：令g(x)＝f(x)－3x＋15，则f(x)<3x－15的解集即为g(x)<0的解集．又g′(x)＝f′(x)－3<0，所以g(x)在R上是减函数．又g(4)＝f(4)－3×4＋15＝0，所以g(x)4.所以f(x)<3x－15的解集为(4，＋∞)．‎ 答案：(4，＋∞)‎ ‎________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________‎