【数学】2020届一轮复习人教A版参数方程学案

【数学】2020届一轮复习人教A版参数方程学案

第2课时　参数方程 最新考纲　1.了解参数方程，了解参数的意义；2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．‎ 知 识 梳 理 ‎1.曲线的参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫作参变数，简称参数.‎ ‎2.参数方程与普通方程的互化 通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致.‎ ‎3.常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程 直线 y－y0＝tan α(x－x0)‎ (t为参数)‎ 圆 x2＋y2＝r2‎ (θ为参数)‎ 椭圆 ＋＝1(a＞b＞0)‎ (φ为参数)‎ 温馨提醒　直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离．‎ ‎[微点提醒]‎ ‎1.将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围.‎ ‎2.参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式cos2 θ＋sin2 θ＝1，1＋tan2 θ＝.‎ 基 础 自 测 ‎1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数.(　　)‎ ‎(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数).参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段的数量.(　　)‎ ‎(3)方程(θ为参数)表示以点(0，1)为圆心，以2为半径的圆.(　　)‎ ‎(4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为.(　　)‎ 解析　(4)当t＝时，点M的坐标为，即M(1，2)，∴OM的斜率k＝2.‎ 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×‎ ‎2.(选修4－4P22例1改编)已知曲线C的参数方程为(t为参数)，点M(－6，a)在曲线C上，则a＝________.‎ 解析　由题意得∴ 答案　9‎ ‎3.(选修4－4P26习题A4改编)在平面直角坐标系中，曲线C：(t为参数)的普通方程为________.‎ 解析　消去t，得x－y＝1，即x－y－1＝0.‎ 答案　x－y－1＝0‎ ‎4.(2014·湖北卷)已知曲线C1的参数方程是(t为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，则C1与C2交点的直角坐标为________.‎ 解析　将曲线C1的参数方程化为普通方程为y＝x(x≥0)，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程为x2＋y2＝4，联立解得故曲线C1与C2交点的直角坐标为(，1)．‎ 答案　(，1)‎ ‎5.(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C2的参数方程为(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为________.‎ 解析　曲线C1：ρcos θ＋ρsin θ＝－2的直角坐标方程为x＋y＝－2，‎ 曲线C2：的普通方程为y2＝8x，‎ 由解得则C1与C2交点的直角坐标为(2，－4)．‎ 答案　(2，－4)‎ ‎6.(2017·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).‎ ‎(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；‎ ‎(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.‎ 解　(1)a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.‎ 曲线C的标准方程是＋y2＝1，‎ 联立方程解得或 则C与l交点坐标是(3，0)和.‎ ‎(2)直线l的普通方程是x＋4y－4－a＝0.‎ 设曲线C上点P(3cos θ，sin θ).‎ 则P到l距离d＝＝，‎ 其中tan φ＝.‎ 又点C到直线l距离的最大值为，‎ 所以|5sin(θ＋φ)－4－a|的最大值为17.‎ 若a≥0，则－5－4－a＝－17，∴a＝8.‎ 若a<0，则5－4－a＝17，∴a＝－16.‎ 综上，实数a的值为a＝－16或a＝8.‎ 考点一　参数方程与普通方程的互化 ‎【例1】 将下列参数方程化为普通方程.‎ ‎(1)(t为参数)；‎ ‎(2)(θ为参数).‎ 解　(1)由t2－1≥0⇒t≥1或t≤－1⇒00，可得－10，即(m－)2－4(m2－2m)>0，‎ 得－10，∴α＝.‎ ‎6.(2019·茂名二模)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝，直线l的参数方程为(t为参数，0≤α<π).‎ ‎(1)若α＝，求l的普通方程，直接写出C的直角坐标方程；‎ ‎(2)若l与C有两个不同的交点A，B，且P(2，1)为AB的中点，求|AB|.‎ 解　(1)由直线l的参数方程(t为参数)及α＝可得其直角坐标方程为x＋y－3＝0，‎ 由曲线C的极坐标方程ρ＝，‎ 得其直角坐标方程为y2＝2x.‎ ‎(2)把直线l的参数方程(t为参数)，‎ 代入抛物线方程y2＝2x得t2sin2 α＋2t(sin α－cos α)－3＝0(*)，‎ 设A，B所对应的参数分别为t1，t2，‎ 则t1＋t2＝－.‎ ‎∵P(2，1)为AB的中点，‎ ‎∴P点所对应的参数为＝－＝0，‎ ‎∴sin α－cos α＝0，即α＝.‎ 则(*)变为t2－3＝0，此时t2＝6，t＝±，‎ ‎∴|AB|＝2.‎ 能力提升题组 ‎(建议用时：20分钟)‎ ‎7.(2019·衡水中学模拟)在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程是ρ＝，在以极点为原点O，极轴为x轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程为(θ为参数).‎ ‎(1)求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；‎ ‎(2)将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，若M，N分别是曲线C1和曲线C3上的动点，求|MN|的最小值.‎ 解　(1)∵C1的极坐标方程是ρ＝，‎ ‎∴4ρcos θ＋3ρsin θ＝24，‎ ‎∴4x＋3y－24＝0，‎ 故C1的直角坐标方程为4x＋3y－24＝0.‎ ‎∵曲线C2的参数方程为∴x2＋y2＝1，‎ 故C2的普通方程为x2＋y2＝1.‎ ‎(2)将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，则曲线C3的参数方程为(α为参数).‎ 设N(2cos α，2sin α)，则点N到曲线C1的距离 d＝ ‎＝ ‎＝.‎ 当sin(α＋φ)＝1时，d有最小值，‎ 所以|MN|的最小值为.‎ ‎8.(2018·全国Ⅲ卷)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点.‎ ‎(1)求α的取值范围；‎ ‎(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.‎ 解　(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.‎ 当α＝时，l与⊙O交于两点.‎ 当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－.‎ l与⊙O交于两点当且仅当<1，‎ 解得k<－1或k>1，即α∈或α∈.‎ 综上，α的取值范围是.‎ ‎(2)l的参数方程为(t为参数，<α<).‎ 设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，‎ 则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsin α＋1＝0.‎ 于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α.‎ 又点P的坐标(x，y)满足 所以点P的轨迹的参数方程是 (α为参数，<α<).‎