2018届高三数学一轮复习： 第1章 第3节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

2018届高三数学一轮复习： 第1章 第3节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

第三节　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 ‎[考纲传真]　1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．‎ ‎1．简单的逻辑联结词 ‎(1)命题中的“或”“且”“非”叫做逻辑联结词．‎ ‎(2)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断 p q p∧q p∨q 綈p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 ‎2.全称量词与存在量词 ‎(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．‎ ‎(2)全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题．‎ 全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”简记为∀x∈M，p(x)．‎ ‎(3)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．‎ ‎(4)特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题．特称命题“存在M中的一个元素x0，使p(x0)成立”，简记为∃x0∈M，p(x0)．‎ ‎3．含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ‎∀x∈M，p(x)‎ ‎∃x0∈M，綈p(x0)‎ ‎∃x0∈M，p(x0)‎ ‎∀x∈M，綈p(x)‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)命题“5＞6或5＞‎2”‎是假命题．(　　)‎ ‎(2)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是假命题．(　　)‎ ‎(3)“长方形的对角线相等”是特称命题．(　　)‎ ‎(4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．(　　)‎ ‎[解析]　(1)错误．命题p∨q中，p，q有一真则真．‎ ‎(2)错误．p∧q是真命题，则p，q都是真命题．‎ ‎(3)错误．命题“长方形的对角线相等”可叙述为“所有长方形的对角线相等”，是全称命题．‎ ‎(4)错误．“对顶角相等”是全称命题，其否定为“有些对顶角不相等”．‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2．(教材改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为(　　)‎ A．1　　　 B‎.‎‎2　‎　‎ C.3　　　 D.4‎ B　[p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．]‎ ‎3．(2015·全国卷Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则綈p为(　　)‎ A．∀n∈N，n2＞2n B.∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D.∃n∈N，n2＝2n C　[因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”．故选C.]‎ ‎4．(2017·西安模拟)下列命题中的假命题是(　　) ‎ ‎【导学号：01772011】‎ A．∃x0∈R，lg x0＝0 B.∃x0∈R，tan x0＝1‎ C．∀x∈R，x3>0 D.∀x∈R,2x>0‎ C　[对于A，当x0＝1时，lg x0＝0，正确；对于B，当x0＝时，tan x0＝1，正确；对于C，当x<0时，x3<0，错误；对于D，∀x∈R,2x>0，正确．]‎ ‎5．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤‎0”‎是真命题，则实数a的取值范围是________．‎ ‎[－8,0]　[当a＝0时，不等式显然成立．‎ 当a≠0时，依题意知 解得－8≤a＜0.‎ 综上可知－8≤a≤0.]‎ ‎　设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是(　　)‎ A．p∨q　　　　　　 B.p∧q C．(綈p)∧(綈q) D.p∧(綈q)‎ A　[取a＝c＝(1,0)，b＝(0,1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，∴p是假命题．‎ a，b，c是非零向量，‎ 由a∥b知a＝xb，由b∥c知b＝yc，‎ ‎∴a＝xyc，∴a∥c，∴q是真命题．‎ 综上知p∨q是真命题，p∧q是假命题．‎ 又∵綈p为真命题，綈q为假命题，‎ ‎∴(綈p)∧(綈q)，p∧(綈q)都是假命题．]‎ ‎[规律方法]　1.“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题真假判断的关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题的真假．‎ ‎2．p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”，非p则是“与p的真假相反”．‎ ‎[变式训练1]　(2017·石家庄一模)命题p：若sin x＞sin y，则x＞y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是(　　) ‎ ‎【导学号：01772012】‎ A．p∨q B.p∧q C．q D.綈p B　[取x＝，y＝，可知命题p不正确；由(x－y)2≥0恒成立，可知命题q正确．‎ 故綈p为真命题，p∨q是真命题，p∧q是假命题．]‎ 全称命题、特称命题 ‎☞角度1　含有一个量词的命题的否定 ‎　(2015·浙江高考)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(　　)‎ A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>n B．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n C．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)>n0‎ D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0‎ D　[写全称命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．]‎ ‎☞角度2　全称命题、特称命题的真假判断 ‎　(2014·全国卷Ⅰ)不等式组的解集记为D，有下面四个命题：‎ p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2；‎ p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2；‎ p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3；‎ p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.‎ 其中的真命题是(　　)‎ A．p2，p3 B.p1，p4‎ C．p1，p2 D.p1，p3‎ C　[作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．‎ 由 得交点A(2，－1)．‎ 目标函数的斜率k＝－>－1，‎ 观察直线x＋y＝1与直线x＋2y＝0的倾斜程度，可知u＝x＋2y过点A时取得最小值0.结合题意知p1，p2正确．]‎ ‎[规律方法]　1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论．‎ ‎2．要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．‎ ‎3．要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立．只要找到一个反例，则该命题为假命题.‎ 由命题的真假求参数的取值范围 ‎　(1)已知命题“∃x0∈R，使2x＋(a－1)x0＋≤‎0”‎是假命题，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－1) B.(－1,3)‎ C．(－3，＋∞) D.(－3,1)‎ ‎(2)已知p：∃x0∈R，mx＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为(　　)‎ A．m≥2 B.m≤－2‎ C．m≤－2或m≥2 D.－2≤m≤2‎ ‎(1)B　(2)A　[(1)原命题的否定为∀x∈R,2x2＋(a－1)x＋ ‎＞0，由题意知，为真命题，‎ 则Δ＝(a－1)2－4×2×＜0，‎ 则－2＜a－1＜2，则－1＜a＜3.‎ ‎(2)依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，∀x∈R，mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2.‎ 因此，由p，q均为假命题得即m≥2.]‎ ‎[规律方法]　1.根据含逻辑联结词命题的真假求参数的方法步骤：‎ ‎(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)．‎ ‎(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围．‎ ‎(3)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．‎ ‎2．全称命题可转化为恒成立问题．‎ ‎[变式训练2]　(2017·济南调研)若“∀x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________. ‎ ‎【导学号：01772013】‎ ‎1　[∵0≤x≤，∴0≤tan x≤1，‎ 由“∀x∈，tan x≤m”是真命题，得m≥1.‎ 故实数m的最小值为1.]‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”“且”“非”字眼，要结合语句的含义理解．‎ ‎2．含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与綈p→真假相反．‎ ‎3．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，否定的规律是“改量词，否结论”．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．正确区别命题的否定与否命题 ‎“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“綈p”，只否定命题p的结论．命题的否定与原命题的真假相反，即两者中有且只有一个为真．‎ ‎2．几点注意 ‎(1)注意命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题的否定的前提；‎ ‎(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；‎ ‎(3)由逻辑联结词构成的新命题的否定．‎ ‎ ①綈(p∧q)⇔(綈p)∨(綈q)；②綈(p∨q)⇔(綈p)∧(綈p)．‎