2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业
集合、简易逻辑与不等式
一、单选题
1．已知集合 A= ，B= ，则集合A ∩ B = （ ）
A．{1} B．{0,1} C．{0,1,2} D．{1,2}
【答案】B
【解析】
试题分析：由已知得，A = {0,1,2,3}，B = {−2,−1,0,1}，再由交集的定义知，
A ∩ B = {0,1}．故应选B．
考点：1、集合间的相互关系；
2．若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值与最小值的和为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解析】
由题意，可作出约束条件的可行域图，如图中的阴影部分，将目标函数转化为 ，
并作出其平行直线 ，在可行域范围内进行平移，从而可发现，当直线过顶点
时，有 ，当直线过顶点 时，有 ，从而有
.故选 C.
x y
3 3
1
0
x y
x y
y
+ ≤
− ≥
≥
z x y= +
y x z= − +
y x= −
( )0,1A min 1z = ( )0,3B max 3z =
min max 4z z+ =
3．设集合 , ， ，则
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
分析：求出集合 B 中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出 B，求出 A 与 B 的并
集，找出全集中不属于并集的元素，即可求出所求.
详解：∵集合 ，
∴ ,
∴ ．
故选 ．
点睛：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的
关键.
4．已知集合 ， ，若图中的阴影部分为
空集，则 构成的集合为（ ）
{0,1,2,3,4,5}U = {1,2}A = { }2 5 4 0B x x x= ∈ − +
+ ≤ 3 0a− ≤ < 0 2a< ≤
a Z∈ { }3, 2, 1,1,2a∴ ∈ − − −
0
0
1
3
x
y
x y
x y
≥
≥ − ≥ −
+ ≤
2z x y= − ( )
3− 2−
2z x y= − y
轴上的截距最小时 最大，结合图象找出满足条件的点，联立直线方程求出点的坐标，
代入目标函数可求 的最大值．
【详解】
解：由 满足约束条件 ，作出可行域如图，
由 ，得 ，
由图可知，当直线 过可行域内点 时
直线在 轴上的截距最小， 最大．
联立 ，解得 ．
目标函数 的最大值为 ．
故选：A．
【点睛】
本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，关键是正确作出可行域，
是基础题．
6．如果 ，那么 的最小值是（ ）
A． B．4
C．9 D．18
z
z
x y，
0
0
1
3
x
y
x y
x y
≥
≥ − ≥ −
+ ≤
2z x y= − 1
2 2
zy x= −
1
2 2
zy x= − A
y z
0
3
y
x y
= + =
( )3,0A
∴ 2z x y= − 3 2 0 3− × =
3 3log log 4m n+ = m+n
4 3
【答案】D
【解析】
【分析】
利用对数的运算法则求出 mn 的值，利用基本不等式求出 m+n 的最值．
【详解】
∵log3m+log3n＝4
∴m＞0，n＞0，mn＝34＝81
∴m+n
答案为 18
故选：D．
【点睛】
本题考查对数的运算法则、对数方程的解法，考查了基本不等式的应用，属于基础
题．
7．已知直线 ， 和平面 ，若 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
由线面垂直的判定定理与性质定理，以及充分条件和必要条件的判定方法，即可得到
“ ”是“ ”的必要不充分条件．
【详解】
2 18mn≥ ≥
a b α a α⊂ α⊄b a b⊥ b α⊥
a b⊥ b α⊥
由线面垂直的判定定理得：若 ， ，则“ ”不能推出“ ”，
由“ ”，根据线面垂直的性质定理，可得“ ”，
即“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了必要不充分条件的判定，以及线面垂直的判定定理和性质定理的应用，
其中解答中熟记线面垂直的判定定理和性质定理，合理利用充分条件和必要条件的判定
方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
二、填空题
8．不等式组 表示的平面区域的面积为______
【答案】
【解析】
【分析】
画出可行域，根据边界点的坐标，计算出平面区域的面积.
【详解】
画出可行域与下图所示，其中 ，所以平面区域的面积
为 .
a α⊂ α⊄b a b⊥ b α⊥
b α⊥ a b⊥
a b⊥ b α⊥
5 0
0
3
x y
x y
x
− + ≥
+ ≥
≤
121
4
( ) ( ) ( )3,8 , 2.5,2.5 , 3, 3A B C− −
( ) ( )1 1218 3 3 2.52 4
× + × + =
【点睛】
本小题主要考查可行域的画法，考查三角形面积的计算，考查数形结合的数学思想方法，
属于基础题.
9．已知不等式组 表示的平面区域 的面积为 ，则 ；
若点 ，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】
试 题 分 析 ： 平 面 区 域 为 一 个 等 腰 直 角 三 角 形 ， 底 边 长 为 ，
，直线 过点 时取最小值
考点：线性规划
0
0
x y
x y
y a
− ≤
+ ≥
≤
，
， S 1 =a
SyxP ∈),( yxz 3−=
1 4−；
2 ,( 0)a a >
211 2 , 12S a a a a= = × × = =
yxz 3−= (1,1) 4.−
10．集合 ，则实数 = 。
【答案】1
【解析】
试题分析：由题意，得 ，即 ，解得 .
考点：集合相等的判定.
11．已知 ，则 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
化成积为定值的形式后,利用基本不等式可得.
【详解】
因为 ,所以 ,
所以 ,当且仅当 ,即
时取等号.
故答案为: .
【点睛】
本题考查了基本不等式求最小值,属于基础题.
12．若对满足 的任意正实数 ,都有 ,
则实数 的取值范围为____________.
【答案】
【解析】
}2,2{}1,2{ 2 aa −=− a
122 −=− aa 0122 =+− aa 1=a
1x > 4
1x x
+ −
[5, )+∞
1x > 1 0x − >
4
1x x
+ −
4 41 1 2 ( 1) 1 51 1x xx x
= − + + ≥ − ⋅ + =− −
41
1
x
x
− =
−
3x =
[5, )+∞
6 4x y xy+ + = ,x y 2 22 1 0x xy y ax ay+ + − − + ≥
a
10( , ]3
−∞
分析：正实数 满足 ，可求得 ，由
可求得 恒成立，利用双钩函数性质可
求得 a 的取值范围.
详解：因为 ，又因为正实数 满足
解得：
由 可求得
根据双钩函数性质可知，当 时 有最小值
所以 的取值范围为
点睛：（1）基本不等式是每年高考中必考的考点，要熟练掌握；（2）恒成立问题要注
意首选方法是分离参数，将参数分离后让不等式的另一边构造为一个新函数，从而解决
新函数的最值是这类问题的基本解题思路.
13．“ ”是“ ， ”的______________条件；
【答案】必要非充分
【解析】
【分析】
根据 得出 ， ，分析 ， 与 ，
的关系即可.
【详解】
解： ，则 ， .
,x y 6 4x y xy+ + = 3x y+ ≥
2 22 1 0x xy y ax ay+ + − − + ≥ 1a x y x y
≤ + + +
( )24 x yxy ≤ + ,x y 6 4x y xy+ + =
3x y+ ≥
2 22 1 0x xy y ax ay+ + − − + ≥ 1a x y x y
≤ + + +
3x y+ = 1x y x y
+ + +
10
3
a 10, 3
−∞
tan 1x = 24x k
π π= + k Z∈
tan 1x =
4x k
π π= + k Z∈
4x k
π π= + k Z∈ 24x k
π π= +
k Z∈
tan 1x =
4x k
π π= + k Z∈
， 包含 ， .
所以 ， 是 ， 的必要非充分条件.
故答案为必要非充分.
【点睛】
本题考查充分必要条件的判断，考查正切函数已知值求角，属于基础题.
14．对任意实数 ，定义集合 .
①若集合 表示的平面区域是一个三角形，则实数 的取值范围是__________；
②当 时，若对任意的 ，有 恒成立，且存在
，使得 成立，则实数 的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
（1）
如图，集合 表示的平面区域是一个三角形，则实数 的取值范围是 ；
4x k
π π= + k Z∈ 24x k
π π= + k Z∈
4x k
π π= + k Z∈ 24x k
π π= + k Z∈
k ( )
2 0
, 2 0, , R
0
k
x y
D x y x y x y
kx y
− + ≥
= + − ≤ ∈
− ≤
kD k
0k = ( ) 0,x y D∈ ( )3 1y a x≥ + −
( ) 0,x y D∈ x y a− ≤ a
( )1,1− 12, 5
−
kD k 1 k 1− < <
（2）当 时，对任意的 ，有 恒成立即
在可行域的下方，可得： ；
存在 ，使得 成立即 的最小值小于等于 ，
当直线经过 时， 的最小值为-2，故
综上可得：
故答案为：
点睛：点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线
是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、
直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范
围.
15．若集合 ， ,若 ，则
m 的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】
0k = ( ) 0,x y D∈ ( )3 1y a x≥ + − ( )3 1y a x= + −
1a 5
≤
( ) 0,x y D∈ x y a− ≤ z x y= − a
( )C 0,2 z x y= − 2a ≥ −
12 5a− ≤ ≤
12, 5
−
{ }| 1 2 1A x m x m= + < ≤ − { }| 2 5B x x= − ≤ < ( ) ( )R RC A C B⊇
( ),3−∞
由 进行反推，可分为集合 ，和集合 两种情况进行分类讨
论
【详解】
由 进行反推，若 ，则 ，解得 ，成立
由 可知，集合 ，
因 ，应满足 ，解得
综上所述，
故答案为：
【点睛】
本题考查根据集合的补集与包含关系求解参数问题，是中档题型，在处理此类题型中，
易错点为忽略端点处等号取不取得到的问题，解题时要特别仔细
16．已知 x, ，且满足 ，则 的最小值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题知 ，同除 ，得 ，再借助基本不等式得最小值．
【详解】
由题知 ， ，满足 ，则 ，
同除 ，得 ，
( ) ( )R RC A C B⊇ A = ∅ A ≠ ∅
( ) ( )R RC A C B⊇ A = ∅ 1 2 1m m+ ≥ − 2m ≤
A ≠ ∅ { }| 1 2 1U A x x m x m= ≤ + > −或 { }| 2 5U B x x x= < − ≥或
( ) ( )R RC A C B⊇
1 2
2 1 5
2 1 1
m
m
m m
+ ≥ −
− <
− > +
( )2,3m∈
( ),3m∈ −∞
( ),3−∞
Ry ∗∈ – 2 0xy x y− = x y+
3 2 2+
2xy x y= + xy 2 1 1x y
+ =
x y 2 0xy x y− − = 2xy x y= +
xy 2 1 1x y
+ =
，当且仅当 ， 时取到
等号．
故答案为 ．
【点睛】
本题考查了基本不等式求最小值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
三、解答题
17．设全集 ，集合 ，
（1）求 ；
（2）若集合 ，且 ，求 的取值范围.
【答案】（1）A∪B＝{x|x≥2}，（∁UA）∩B＝{x|x≥4}（2）（﹣6，+∞）
【解析】
【分析】
（1）先求出 B＝{x|x≥3}，由此能求出 A∪B 和（∁UA）∩B．
（2）求出 ，由 B∪C＝C，得 B⊆C，由此能求出 a 的取值范围．
【详解】
（1）全集 U＝R，集合 ．∁UA
由 得 3x﹣7≥8﹣2x，∴x≥3，
从而 B＝{x|x≥3}，又∁UA={x|x＜2 或 x≥4}
∴A∪B＝{x|2≤x＜4}∪{x|x≥3}＝{x|x≥2}，
（∁UA）∩B＝{x|x≥4}
2 1 2( )( ) 3 3 2 2x yx y x y x y y x
+ = + + = + + + 2 2x = + 2 1y = +
3 2 2+
U = R { } 2 8
3 7 1| 2 4 , | 2 2
x
xA x x B x
−
−
= ≤ < = ≥
( ), UA B C A B
{ }| 2 0C x x a= + > C C=B∪ a
{ | }2
aC x x= −＞
3 7 2 81{ | 2 4} { | 2 ( ) }2
x xA x x B x − −= ≤ = ≥＜ ，
3 7 2 812 ( )2
x x− −≥
（2）集合 C＝{x|2x+a＞0}，化简得 ，
∵B∪C＝C，∴B⊆C
从而 ，解得 a＞﹣6．
∴a 的取值范围是（﹣6，+∞）．
【点睛】
本题考查并集、补集、交集、实数的取值范围的求法，考查集合的表示法以及集合的交、
并、补运算等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
18．已知全集 ， ， .
（1）求集合 ， ；
（2）求集合 ， .
【答案】（1） ； ；
（2） ；
【解析】
试题分析：（1）根据集合交集和并集的概念，即可求解集合的交集与并集；
（1）先求得 ，再根据集合交集和并集的概念，即可求解.
试题解析：
（1） ； ；
（2） ；
19．已知集合 D＝{（x1，x2）|x1＞0，x2＞0，x1+x2＝k}（其中 k 为正常数）．
（1）设 ，求 的取值范围
{ | }2
aC x x= −＞
32
a− ＜
{ }1,2,3,4,5,6,7U = { }2,4,5A = { }1,3,5,7B =
A B A B
( )UA C B∩ ( ) ( )U UC A C B∩
{ }5A B∩ = { }1,2,3,4,5,7A B∪ =
{ }( ) 2,4UA C B∩ = { }( ) ( ) 6U UC A C B∩ =
,U UC A C B
{ }A B 5∩ = { }A B 1,2,3,4,5,7∪ =
( ) { }UA C B 2,4∩ = ( ) ( ) { }U UC A C B 6∩ =
1 2u x x= u
（2）求证：当 时，不等式 对任意 恒
成立
（3）求使不等式 对任意 恒成立的 的范
围
【答案】（1） ；（2）见解析；（3） ．
【解析】
【分析】
（1）利用基本不等式，其中和为定值，积有最大值；
（2）结合（1）中的范围直接将左边展开，利用 u 在 上单调递增即可比较；
（3）结合（2）将（3）转化为求使 对 恒成立的 的范围，
利用函数的单调性解决，或者作差法求解．
【详解】
（1） ，当且仅当 时等号成立，
故 u 的取值范围为 ．
（2）
由 ，又 k≥1，k2﹣1≥0，
1k ³
2
1 2
1 2
1 1 2
2
kx xx x k
− − ≤ − 1 2( , )x x D∈
2
1 2
1 2
1 1 2
2
kx xx x k
− − ≥ − 1 2( , )x x D∈ 2k
2
0 4
k
， 20 4 5 8k ≤ −＜
2
0 4
k
，
( ) 2
4
kf u f
≥
2
0 4
ku
∈
， 2k
2
21 2
1 2 ( )2 4
x x kx x
+≤ = 1 2 2
kx x= =
2
0 4
k
，
2 2 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 1 12 2x x x x k kx x x x x x x x ux x x x x x x x x x x x u
+ − −− − = + − − = + − = − + = − +
2
0 4
ku ≤＜
∴f（u）＝u 在 上是增函数
所以
即当 k≥1 时不等式 成立．
（3）
记 ，
则 ，
即求使 对 恒成立的 k2 的范围．
由（2）知，要使
对任意（x1，x2）∈D 恒成立，必有 0＜k＜1，
因此 1﹣k2＞0，
∴函数 在 上递减，在 上递增，
要使函数 f（u）在 上恒有 ，必有 ，即
k4+16k2﹣16≤0，
解得 ．
2 1 2k
u
−− +
2
0 4
k
，
1 2
1 2
1 1x xx x
− −
2 2 2 2
2
2 2
1 1 4 22 2 2 ( )4 4 2
4
k k k k ku ku k k
− −= − + ≤ − + = − + = −
2
1 2
1 2
1 1 2( )2
kx xx x k
− − ≤ −
( )2
1 2
1 2
1 1 1 2kx x u f ux x u
−− − = + + =
2 22
2 4
k kfk
− =
( ) 2
4
kf u f
≥
2
0 4
ku
∈
，
2
1 2
1 2
1 1 2( )2
kx xx x k
− − ≥ −
( ) 21 2kf u u u
−= + + ( 20 1 k − ， )21 k − + ∞ ，
2
0 4
k
， ( ) 2
4
kf u f
≥
2
214
k k≤ −
20 4 5 8k ≤ −＜
【点睛】
本题考查不等式的综合应用，以及利用转化思想、函数思想转化为函数问题利用函数的
单调性解决不等式问题，属于中档题．
20．设 ， ， ， ，试比较 与 的大
小．
【答案】
【解析】
【分析】
将 、 进行分子有理化得出 ， ，然后利用不等式
的性质可得出 、 的大小关系.
【详解】
，
同理可得 ，
， ，所以 ，则 ，
因此， ，故答案为： .
【点睛】
本题考查代数式的大小比较，解题的关键在于将代数式进行有理化，并结合不等式的性
质进行大小比较，考查推理能力，属于中等题.
21．已知一元二次函数 的图像与 轴有两个不同的
交点,其中一个交点的坐标为 且当 时,恒有
n N∈ 1n > 1A n n= − − 1B n n= + − A B
A B>
A B
1
1
A
n n
=
+ −
1
1
B
n n
=
+ +
A B
( )( )1 11 11 1 1 1
n n n nn nA n n
n n n n
− − + −− −= − − = = =
+ − + −
1
1
B
n n
=
+ +
n N∈ 1n > 1 1n n n n+ − < + + 1 1
1 1n n n n
>
+ − + +
A B> A B>
( ) ( )2 0 0f x ax bx c a c= + + ＞ ， ＞ x
( )0c， ， 0 x c＜ ＜ ( ) 0.f x ＞
(1)求出不等式 的解(用 表示)；
(2)若以二次函数的图像与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为 8,求 的取值范
围；
(3)若不等式 对所有 恒成立,求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】
【分析】
（1）利用 求得 关于 的表达式，进而求得不等式 的解集.
（2）根据（1）求得三个交点的坐标，利用面积列方程，求得 的表达式，进而求得
的取值范围.
（3）根据（1）中求得 的表达式化简不等式 .对 分成
三种情况进行分类讨论，由此求得 的取值范围.
【详解】
（1）依题意可知 ，即 ①，由 ，故①式可化为
.所以 .令 ，解得
， .由于当 时，恒有 ，所以 .令
，解得 .所以不等式 的解集为 .
（2）结合（1）可知，三个交点的坐标为 ，且 .根据三
角形的面积得 ，化简得 ，
( ) 0f x ＜ a c、
a
2 2 1 0m km b ac− + + + ≥ [ ]11k ∈ − ， m
1,c a
10,8
( ] [ ) { }, 2 2, 0−∞ − +∞
( ) 0f c = b ,a c ( ) 0f x <
a a
b 2 2 1 0m km b ac− + + + ≥ m
0, 0, 0m m m= > < m
( ) 0f c = 2 0ac bc c+ + = 0c >
1b ac= − − ( ) ( )2 1f x ax ac x c= − + + ( )( )1ax x c= − − ( ) 0f x =
1
1x a
= 2x c= 0 x c< < ( ) 0f x > 1 ca
>
( ) ( )( )1 0f x ax x c= − − < 1c x a
< < ( ) 0f x < 1,c a
( ) ( ) 10, , ,0 , ,0A c B c C a
1 ca
>
1 1 82 c ca
⋅ − ⋅ =
2
1 1 1
1616 8162
ca c c cc c
= = ≤ =+ + ⋅
时等号成立，故 的取值范围是 .
（3）由于 ，所以不等式 可化为 ②.
当 时，②成立.
当 时，②可化为 ，而 ，所以 .
当 时，②可化为 ，而 ，所以 .
综上所述， 的取值范围是 .
【点睛】
本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式的运用，考查不等式恒成立问
题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
22．已知集合 .求 ;
【答案】 , .
【解析】
试题分析：根据集合的交并运算定义进行运算.
试题解析：
因为
所以 ， .
16 , 4c cc
= = a 10,8
1b ac= − − 2 2 1 0m km b ac− + + + ≥ 2 2 0m km− ≥
0m =
0m > 2m k≥ [ ]2 2,2k ∈ − 2m ≥
0m < 2m k≤ [ ]2 2,2k ∈ − 2m ≤ −
m ( ] [ ) { }, 2 2, 0−∞ − +∞
{ } { }1,2,4,5,7 , 2,3,4,5,6A B= = A B A B∩ ∪和
{2,4,5}A B = {1,2,3,4,5,6,7}A B =
{ } { }1,2,4,5,7 , 2,3,4,5,6A B= =
{ }2,4,5A B∩ = { }1,2,3,4,5,6,7A B∪ =
