陕西省宝鸡金台区2019-2020学年高二上学期期中考试数学理试题 含解析

陕西省宝鸡金台区2019-2020学年高二上学期期中考试数学理试题 含解析

‎2019-2020学年上学期高二数学理科期中试卷 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 已知a＞b，且ab≠0，则下列不等式正确的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 2. 不等式表示的平面区域是一个（　　）‎ A. 三角形 B. 直角三角形 C. 梯形 D. 矩形 3. 在△ABC中，若a=2bsinA，则B为（　）‎ A. B. C. 或 D. 或 4. 已知数列{an}满足an+1=an+2n，a1=1，则a15=（　　）‎ A. 111 B. 211 C. 311 D. 411‎ 5. 不等式的解集是（　　）‎ A. B. , C. D. ‎ 6. 已知a．b．c分别是△ABC的内角A、B、C的对边，若c＜bcosA，则△ABC的形状为（　　）‎ A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形 7. 已知等比数列{an}的各项均为正数且公比大于1，前n项积为Tn，且a2a4=a3，则使得Tn＞1的n的最小值为（　　）.‎ A. 4 B. 5 C. 6 D. 7‎ 8. ‎△ABC中，，则A=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 9. ‎《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的．“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁？试问这位公公年龄最小的儿子年龄为（　　）‎ A. 8岁 B. 11岁 C. 20岁 D. 35岁 10. 在△ABC中，a=x，b=2，B=，若三角形有两解，则x的取值范围为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 1. 已知实数x，y满足约束条件，则sin（x-y）的取值范围为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 2. 已知各项都是正数的等比数列{an}满足a7=a6+2a5，存在两项am，an使得，则的最小值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 3. 在△ABC中，，BC=1，AC=5，则AB=______．‎ 4. 等差数列{an}中，a1=-5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下10项的平均值是4，则抽取的是第______项．‎ 5. 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．‎ ‎①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；‎ ‎②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．‎ 6. 已知x2-ax+2≥0在x∈[-3，3]上恒成立，则实数a的取值范围是______．‎ 三、解答题（本大题共4小题）‎ 7. 解关于x的不等式：． ‎ 8. 已知非零数列{an}满足an+1=3an（n∈N*），且a1，a2的等差中项为6． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若bn=2log3an，求+++…+取值范围． ‎ 1. 在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在线段BC，AB上，AC=BC=3BD=6，∠EDC=60°． （1）求BE的值； （2）求cos∠CED的值． ‎ 2. ‎△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．‎ ‎  (1) 求sinBsinC；‎ ‎  (2) 若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】B ‎ ‎【解析】解：a＞b，且ab≠0，可取a=-1，b=-2，可得a2＜b2，故A错误； 由y=2x为增函数，可得2a＞2b，故B正确； 可取a=-1，b=-2，可得|a|＜|b|，故C错误； 由a=-1，b=-2，可得＞，故D错误． 故选：B． 可取a=-1，b=-2，计算可判断A，C，D；由指数函数的单调性可判断B． 本题考查不等式的性质，考查取特殊值法和函数的单调性，属于基础题． 2.【答案】C ‎ ‎【解析】解：不等式⇔①或②， 以上不等式组①表示的平面区域如图， 不等式组②中的几个二元一次不等式表示的平面区域无公共部分， 所以，原不等式组表示的平面区域是一个图中的梯形OABC． 故选C． 把原不等式组等价转化为两个不等式组，分别画出每一个不等式所表示的平面区域，然后取并． 本题考查了二元一次不等式（组）与平面区域，考查了数学转化思想，解答此题的关键是掌握利用代特殊点法画出二元一次不等式所表示的平面区域，是基础题． 3.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 此题考查了 正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练熟练掌握正弦定理是解本题的关键.利用正弦定理求解即可. 【解答】 解：∵在△ABC中，a=2bsinA， ‎ ‎∴由正弦定理化简得：sinA=2sinBsinA， ∵sinA≠0， ∴sinB=， 则B=或， ​故选D． 4.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．首先根据递推关系式利用累加法求出数列的通项公式，进一步求出结果. 【解答】 解：数列{an}满足an+1=an+2n， 则 , 所以 所以an=2（1+2+3+…+n）-2n+1 ​=， 则． 故选：B． 5.【答案】A ‎ ‎【解析】解：由可得，， 即， 解不等式可得{x|-1＜x＜1}． 故选：A． 由可得，，然后通分化简后，即可求解不等式． 本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础试题． 6.【答案】A ‎ ‎【解析】解：∵c＜bcosA， ∴利用正弦定理化简得：sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB＜sinBcosA， 整理得：sinAcosB＜0， ∵sinA≠0， ∴cosB＜0． ∵B∈（0，π）， ∴B为钝角，三角形ABC为钝角三角形． 故选：A． 已知不等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理得到sinAcosB＜0，根据sinA不为0得到cosB＜0，进而可得B 为钝角，即可得解． 此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题． 7.【答案】C ‎ ‎【解析】解：∵a2a4=a3=a32， ∴a3=1；a2＜1，a4＞1 ∵等比数列{an}是各项均为正数的递增数列， 且T5=a35=1，T6=（a3a4）3＞1， ∴使得Tn＞1的n的最小值为6， 故选：C． 可解得a3=1，a2＜1，a4＞1；而T5=a35=1，T6=（a3a4）3＞1，从而解得． 本题考查了等比数列的性质的应用及判断，同时考查了学生的化简运算能力． 8.【答案】B ‎ ‎【解析】解：如图所示， △ABC中，， 即||•||•cos（π-A）=2，…① ||•||•sinA=，…② 由①②得，tanA=-， 且A∈（0，π）， 所以A=． 故选：B． 根据平面向量的数量积和面积公式，即可求出tanA与A的值． 本题考查了平面向量的数量积与三角形面积计算问题，是基础题． 9.【答案】B ‎ ‎【解析】解：设这位公公9个儿子的年龄从小到大成等差数列，设年龄最小的儿子年龄为a1，则公差为d=3， 由题意，S9=9a1+=9a1+36×3=207，求得a1=11， 故选：B． 设这位公公9个儿子的年龄从小到大成等差数列，设年龄最小的儿子年龄为a1，则公差为d=3，再利用S9=207，求得a1的值，可得结论． 本题主要考查等差数列的前n项和公式的应用，属于基础题． 10.【答案】C ‎ ‎【解析】解：∵=2， ∴a=2sinA， ∵A+C=π-=， 又A有两个值，则这两个值互补， ∴若A≤，则C≥，这样A+B＞π，不成立， ∴＜A＜， 又若A=，这样补角也是，一解， ∴＜sinA＜1， ∵a=2sinA， ∴2＜a＜2． 故选：C． 利用正弦定理和b和sinB求得a和sinA的关系，利用B求得A+C；要使三角形两个这两个值互补先看若A≤，则和A互补的角大于进而推断出A+B＞π与三角形内角和矛盾；进而可推断出＜A＜，若A=，这样补角也是，一解不符合题意进而可推断出sinA的范围，利用sinA和a的关系求得a的范围． 本题主要考查了正弦定理的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题． 11.【答案】A ‎ ‎【解析】解：作出实数x，y满足约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）． 令z=x-y得y=x-z，平移直线y=x-z， 由图象可知当直线y=x-z经过点B时， 直线y=x-z的截距最大，此时z最小． 由B（，）， 代入目标函数z=x-y得z=． 即目标函数z=x-y的最小值为：． 当直线y=x-z经过点C时， 直线y=x-z的截距最小，此时z最大． 由C（π，0）， 代入目标函数z=x-y得z=π． 即目标函数z=x-y的最大值为π． 即sin（x-y）的取值范围为[-1，1]， 故选：A． 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数x-y的最小值和最大值，然后求解sin（x-y）的取值范围． 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．是基础题． 12.【答案】A ‎ ‎【解析】解：依题意，设数列{an}的公比为q， a7=a6+2a5，即=+2， 又数列{an}为正数的等比数列，所以a1＞0，q＞0， 所以q2-q-2=0， 解得q=2或q=-1（舍）． 则⇔2m+n-2=24，即m+n=6， 所以（m+2）+n=8， 所以=1+（+）[（m+2）+n]≥1+（2+2）=， 当且仅当n=4，m=2时等号成立， 故的最小值为． 故选：A． 求出公比q，将，转化为m，n的方程，利用乘1法即可得到的最小值． 本题考查了等比数列的通项公式，指数幂的运算，基本不等式．考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题． 13.【答案】4 ‎ ‎【解析】解：∵， ∴cosC=2cos2-1=-， ∵BC=1，AC=5， ∴由余弦定理可得：AB===4． 故答案为：4． 由已知利用二倍角公式可求cosC的值，进而根据余弦定理即可计算得解AB的值． 本题主要考查了二倍角公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和运算求解能力，属于基础题． 14.【答案】11 ‎ ‎【解析】解：设抽取的是第n项． ∵S11=55，S11-an=40， ∴an=15， 又∵S11=11a6=55． 解得a6=5， 由a1=-5，得d=， 令15=-5+2（n-1）， ∴n=11 故答案为：11 设出抽取的为第n项，根据前11项的平均值是5，得到前11项的和等于55，又从中抽取1项，余下10项的平均值是4，得到前11项的和减去抽取的第n项等于40，即可求得抽取的第n项的值为15，然后根据等差数列的性质得到前11项的和等于11倍的第6项，进而求得第6项的值，然后根据首项和求出的第6项的值即可得到等差数列的公差d的值，根据首项和求出的公差d写出等差数列的通项公式，令通项公式等于15‎ 列出关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值． 此题考查学生灵活运用等差数列的性质及通项公式化简求值，是一道中档题． 15.【答案】①130；②15. ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查不等式在实际问题的应用，考查化简运算能力，属于中档题． ①由题意可得顾客一次购买的总金额，减去x，可得所求值； ②在促销活动中，设订单总金额为m元，讨论m的范围，可得（m-x）×80%≥m×70%，解不等式，结合恒成立思想，可得x的最大值． 【解答】 解：①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得60+80=140（元）， 即有顾客需要支付140-10=130（元）； ②在促销活动中，设订单总金额为m元， 当0

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