2020届二轮复习（理）第2讲数形结合思想学案
第2讲 数形结合思想
「思想方法解读」 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想体现了数与形之间的沟通与转化，它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面．数形结合的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，即将代数问题几何化、几何问题代数化．
数形结合思想常用来解决函数零点问题、方程根与不等式问题、参数范围问题、立体几何模型研究代数问题，以及解析几何中的斜率、截距、距离等模型问题．
热点题型探究
热点1 数形结合化解方程问题
例1 (1)(2019·聊城市高三一模)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝x＋a无实根，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，0)∪ B．(－1,0)
C. D．(0,1)
答案 B
解析 因为函数f(x)＝所以关于x的方程f(x)＝x＋a无实根等价于函数y＝f(x)的图象与直线y＝x＋a无交点，设直线y＝x＋a与f(x)＝(x>0)切于点P(x0，y0)，由f′(x)＝，由已知得＝1，
解得x0＝1，则P(1,0)，则切线方程为y＝x－1，作出函数f(x)与直线y＝x＋a的图象如图所示．
由图知函数y＝f(x)的图象与直线y＝x＋a无交点时实数a
的取值范围为－1
0，得－>0，得 >，
两边平方，得>，得8－4t>2＋t，得5t<6，即00，且∀x1，x2∈R(x1≠x2)，f(x1)＋f(x2)<2f，则下列选项中不一定正确的一项是( )
A．f(2)0，所以f(x)在R上单调递增．∀x1，x2∈R(x1≠x2)，恒有f(x1)＋f(x2)<2f，即0，b>0)，若双曲线的渐近线被圆M：x2＋y2－10x＝0所截得的两条弦长之和为12，已知△ABP的顶点A，B分别为双曲线的左、右焦点，顶点P在双曲线上，则的值等于( )
A. B．
C． D．
答案 C
解析 双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
∵双曲线的渐近线被圆M：x2＋y2－10x＝0即(x－5)2＋y2＝25所截得的两条弦长之和为12，设圆心到渐近线的距离为d，则d＝＝4.∴＝4，即5b＝4c，b＝c.∵a2＝c2－b2＝c2，∴a＝c，
∵A，B分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，∴|AP－BP|＝2a，根据正弦定理可得＝＝＝2R，∴sinB＝，sinA＝，sinP＝，
∴＝＝＝，故选C.
(2)已知A(1,1)为椭圆＋＝1内一点，F1为椭圆的左焦点，P为椭圆上一动点，求|PF1|＋|PA|的最大值和最小值．
解 由＋＝1可知a＝3，b＝，c＝2，左焦点F1(－2，0)，右焦点F2(2,0)．
由椭圆定义，知|PF1|＝2a－|PF2|＝6－|PF2|，
∴|PF1|＋|PA|＝6－|PF2|＋|PA|＝6＋|PA|－|PF2|.
如图，由||PA|－|PF2||≤|AF2|
＝＝，知－≤|PA|－|PF2|≤ .
当点P在AF2的延长线上的点P2处时，取右“＝”，
当点P在AF2的反向延长线上的点P1处时，取左“＝”，
即|PA|－|PF2|的最大、最小值分别为，－.
于是|PF1|＋|PA|的最大值是6＋，最小值是6－.
与圆锥曲线有关的最值问题，通常是利用函数的观点，建立函数表达式求解．但一味的强调函数观点，有时使思维陷入僵局，此时若能合理利用圆锥曲线的定义，以形助数，会使问题变得特别简单．
1．椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是( )
A. B．
C． D．
答案 C
解析 如图，设椭圆的右焦点为F′，连接MF′，NF′.因为|MF|＋|NF|＋|MF′|＋|NF′|≥|MF|＋|NF|＋|MN|，所以当直线x＝m过椭圆的右焦点时，△
FMN的周长最大．此时|MN|＝＝，
又c＝＝＝1，所以此时△FMN的面积S＝×2×＝.故选C.
2．(2019·四川省成都市第七中学高三下学期三诊)已知双曲线C：－4y2＝1(a>0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线E：y2＝2px的焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛物线E上的动点M到直线l1：4x－3y＋6＝0和l2：x＝－1的距离之和的最小值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 B
解析 由双曲线方程－4y2＝1(a>0)可得，双曲线的右顶点为(a,0)，渐近线方程为y＝±x，即x±2ay＝0.∵双曲线的右顶点到渐近线的距离等于，
∴＝，解得a2＝，∴双曲线的方程为－4y2＝1，∴双曲线的焦点为(1,0)．又抛物线E：y2＝2px的焦点与双曲线C的右焦点重合，∴p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x，焦点坐标为F(1,0)．如图，设点M到直线l1的距离为|MA|，到直线l2的距离为|MB|，则|MB|＝|MF|，∴|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MF|.结合图形可得当A，M，F三点共线时，|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MF|最小，且最小值为点F到直线l1的距离d＝＝2.故选B.
