高考数学考点03 逻辑联结词、全称量词与存在量词

高考数学考点03 逻辑联结词、全称量词与存在量词

1 考点 03 逻辑联结词、全称量词与存在量词 考纲原文 1．简单的逻辑联结词 了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义. 2．全称量词与存在量词 （1）理解全称量词与存在量词的意义. （2）能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 知识整合 一、逻辑联结词 1．常见的逻辑联结词：或、且、非 一般地，用联结词“且”把命题 p 和 q 联结起来，得到一个新命题，记作 ，读作“p 且 q”； 用联结词“或”把命题 p 和 q 联结起来，得到一个新命题，记作 ，读作“p 或 q”； 对一个命题 p 的结论进行否定，得到一个新命题，记作 ，读作“非 p”． 2．复合命题的真假判断 “p 且 q”“p 或 q”“非 p”形式的命题的真假性可以用下面的表（真值表）来确定： p q 真 真 假 假 真 真 假 假 假 假 真 假 假 真 真 假 假 真 真 假 假 真 真 假 真 假 假 真 真 假 假 假 真 真 假 假 真 真 真 真 3．必记结论 p q p q p p q p q p q ( )p q  ( )p q  ( ) ( )p q   ( ) ( )p q   2 含有逻辑联结词的命题的真假判断： （1） 中一假则假，全真才真． （2） 中一真则真，全假才假． （3）p 与 真假性相反． 注意：命题的否定是直接对命题的结论进行否定；而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定.不能混淆 这两者的概念. 二、全称命题与特称命题 1．全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 存在量词 存在一个、至少一个、有些、某些等 2．同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活地 选择. 全称命题“ ” 特称命题“ ” 对所有的 成立 存在 成立 对一切 成立 至少有一个 成立 对每一个 成立 对有些 成立 任选一个 成立 对某个 成立 表述方法 凡 ，都有 成立 有一个 ，使 成立 3．含有一个量词的命题的否定 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如下所示： 命题 命题的否定 p q p q p    x A p x  ，  0 0x A q x  ，  x A p x ，  0 0x A q x ，  x A p x ，  0 0x A q x ，  x A p x ，  0 0x A q x ，  x A p x ，  0 0x A q x ， x A  p x 0x A  0q x , ( )x M p x  0 0, ( )x M p x   3 重点考向 考向一 判断复合命题的真假 1．判断“ ”、“ ”形式复合命题真假的步骤： 第一步，确定复合命题的构成形式； 第二步，判断简单命题 p、q 的真假； 第三步，根据真值表作出判断． 注意：一真“或”为真，一假“且”为假． 2．不含逻辑联结词的复合命题，通过辨析命题中词语的含义和实际背景，弄清其构成形式． 3．当 为真，p 与 q 一真一假； 为假时，p 与 q 至少有一个为假. 典例引领 典例 1 设 a、b、c 是非零向量，已知命题 p：若 a·b＝0，b·c＝0，则 a·c＝0；命题 q：若 a∥b，b∥c，则 a∥c，则下列命题中真命题是 A． B． C． D． 【答案】A 【解题技巧】1．辨别复合命题的构成形式时，应根据组成复合命题的语句中所出现的逻辑联结词，或语句 的意义确定复合命题的形式． 2．准确理解语义应注意抓住一些关键词．如“是…也是…”，“兼”，“不但…而且…”，“既…又…”，“要 么…，要么…”，“不仅…还…”等． 0 0, ( )x M p x  , ( )x M p x   p q p q p q p q p q p q p q  （ ）（ ） p q （ ） 4 3．要注意数学中和生活中一些特殊表达方式和特殊关系式． 如：a≥3 是 a>3 或 a＝3；xy＝0 是 x＝0 或 y＝0；x2＋y2＝0 是 x＝0 且 y＝0. 变式拓展 1．已知命题 p：∀x∈R,2x<3x；命题 q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是 A．p∧q B．(¬p)∧q C．p∧(¬q) D．(¬p)∧(¬q) 考向二 判断全称命题与特称命题的真假 要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立， 则该全称命题是假命题. 要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元 素都不成立，则该特称命题是假命题. 典例引领 典例 2 下列命题中是假命题的是 A． 使 B． ，函数 都不是偶函数 C． 使 是幂函数，且在 上单调递减 D． ，函数 有零点 【答案】B , ,  R sin( ) sin sin       R ( ) sin(2 )f x x   m R, 2 4 3( ) ( 1) m mf x m x    (0, ) 0a  2( ) ln lnf x x x a   5 【名师点睛】全称命题与特称命题的真假判断在高考中出现时，常与数学中的其他知识点相结合，题型以 选择题为主，难度一般不大. 变式拓展 2．若命题 是真命题，则实数 a 的取值范围是 A． B． C． D． 考向三 含有一个量词的命题的否定 一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的 位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词，同时否定结论. 典例引领 典例 3 已知命题 ，则命题 的否定为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】全称命题的否定为特称命题，故其否定为 .故选 C. 变式拓展 2 2: 4 2 1p x ax x a x      R， ( ]2， [2 + )， ( 2, )  ( 2,2)   31, , 16 8p x x x    ： p   31, , 16 8p x x x     ：   31, , 16 8p x x x     ：   3 0 0 01, , 16 8p x x x     ：   3 0 0 01, , 16 8p x x x     ：   3 0 0 01, , 16 8p x x x     ： 6 3．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是 A． B． C． D． 考点冲关 1．设命题 ，则 为 A． B． C． D． 2．设集合 ，则 A． B． C． D． 3．下列命题中的真命题是 A．∃x∈[0，π 2]，sinx＋cosx≥2 B．∀x∈(π 2，π )，tanx>sinx C．∃x∈R，x2＋x＝－1 D．∀x∈R，x2＋2x>4x－3 4．已知命题 ：“ ”，命题 ：“ ”，则下列为真命题的是 A． B． C． D． 5 ． 已 知 函 数 和 ， 命 题 在 定 义 域 内 都 是 增 函 数 ； 命 题 函 数 的零点所在的区间为（0，2），则在命题： 中，真命题的个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 6．下面四个命题： ：命题“ ”的否定是“ ”； 0x x  R， 0 0 0x x  R， 0x x  R， 0 0 0x x  R， : ,2 ln 2xp x Q x    p ,2 ln 2xx Q x    ,2 ln 2xx Q x    ,2 ln 2xx Q x    ,2 ln 2xx Q x    2{ | 0 2}, { | 2 }M x x N x x x      R R ,x N x M   ,x M x N   0 0,x N x M   0 0,x M x N   p ,a b a b   q 0 0 0,2 0xx   p q p q   p q p q    3f x x   12 xg x     : ,p f x g x :q    y f x g x  , ,p q p q p q    1p 2, 2nn n  N 02 0 0, 2nn n  N 7 :向量 ，则 是 的充分且必要条件； ：“ 在 中，若 ，则 ” 的逆否命题是“ 在 中，若 ，则 ”； ：若“ ”是假命题，则 是假命题. 其中为真命题的是 A． B． C． D． 7．命题“ ， ”为假命题，则实数 的取值范围为__________． 8．已知命题 ， 恒成立，命题 ，使得 ，若命题 为真命题，则实数 的取值范围为__________． 直通高考 1．（2016 浙江理科）命题“ ，使得 ”的否定形式是 A． ，使得 B． ，使得 C． ，使得 D． ，使得 2．（2018 北京理科）能说明“若 f（x）>f（0）对任意的 x∈（0，2］都成立，则 f（x）在［0，2］上是增 函数”为假命题的一个函数是__________． 3．（2015 山东理科）若“ ”是真命题，则实数 m 的最小值为__________________． 参考答案 1．【答案】B 【解析】由 20＝30 知 p 为假命题；令 h(x)＝x3＋x2－1，则 h(0)＝－1<0，h(1)＝1>0，∴方程 x3＋x2－1＝0 在(－1,1)内有解，∴q 为真命题，∴(¬p)∧q 为真命题，故选 B． 2p    ,1 , 1,m n  a b m n a b 3p ABC△ A B sin sinA B ABC△ sin sinA B A B 4p p q p 1 2,p p 2 3,p p 2 4,p p 1 3,p p x R  2 1 1 0x m x    m :P x R  2 2log 0x x a    0: 2,2Q x   02 2xa  P Q a *x n   ，R N 2n x *x n   ，R N 2n x *x n   ，R N 2n x *x n   ，R N 2n x *x n   ，R N 2n x [0, ] tan4x x m  ， 变式拓展 8 3．【答案】C 【解析】由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以 选 C. 1．【答案】C 【解析】由含有一个量词的命题的否定的概念可得 ： ，故选 C． 【名师点睛】（1）该题考查的是有关含有一个量词的命题的否定形式，在解题的过程中，需要明确特称 命题的否定是全称命题，即可得结果. （2）一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其 量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结 论．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出 命题的否定． 2．【答案】B 【解析】由 得 ，即 ，所以 ，根据全称命题的特点和子 集的定义，得出正确选项为 B．学- 【名师点睛】本题主要考查了集合之间的包含关系以及全称命题和特称命题的特征等，属于易错题.错误 的主要原因是没有弄懂全称命题和特称命题的定义.解本题时，先由不等式 求出 的范围，写成 集合即为 N，再得出集合 M，N 之间的关系，最后得到正确的选项. 考点冲关 p ,2 ln 2xx Q x    22x x 0 2x  { |0 2N x x   R M N 22x x x 9 4．【答案】C 【解析】对于命题 p，当 a=0，b=−1 时，0>−1，但是|a|=0，|b|=1，|a|<|b|，所以命题 p 是假命题. 对于命题 q， ，如 所以命题 q 是真命题. 所以 为真命题. 故答案为 C. 【名师点睛】（1）本题主要考查全称命题和特称命题的真假，考查复合命题的真假判断，意在考查学生 对这些基础知识的能力. （2）复合命题的真假口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真. （3）求解此类问题时，先判断命题 p 和 q 的真假，再判断选项的真假. 【名师点睛】首先判断简单命题 的真假，再由复合命题的真值表可判断复合命题的真假. 复合命题的真值表： 真 真 真 真 假 真 假 真 假 假 假 真 真 假 真 0 0 0,2 0xx   1 0 11,2 = 0.2x    p q ,p q p q p q p q p 10 假 假 假 假 真 熟练记忆和掌握上述真值表便可顺利求解. 6．【答案】B 【解析】对于 ：命题“ ”的否定是“ ”，所以 是假命题； 对于 :向量 ，所以 等价于 m−n=0 即 m=n，则 是 的充分且必要 条件，所以 是真命题； 对于 ：“在 中，若 ，则 ”的逆否命题是“在 中，若 ，则 ”，所以 是真命题； 对于 ：若“ ”是假命题，则 p 或 q 是假命题，所以 是假命题. 故答案为 B. 【名师点睛】本题主要考查全称命题的否定、充要条件、逆否命题和“且”命题，利用每一个命题涉及的 知识点判断每一个命题的真假得解，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. 7．【答案】 【解析】命题“ ， ”是假命题，则命题的否定是：“ ， ”是真命题，则 ，解得 ，故答案为 . 【名师点睛】应用全称命题与特称命题求参数范围的常见题型： （1）全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都 具有某种性质，所以可以代入，也可以根据函数等数学知识来解决． （2）特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等语句表达．解答这 类问题时，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明， 若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设． 1p 2, 2nn n  N 02 0 0, 2nn n  N 1p 2p    ,1 , 1,m n  a b a b m n a b 2p 3p ABC△ A B sin sinA B ABC△ sin sinA B A B 3p 4p p q 4p  1,3 x R  2 1 1 0x m x    x R  2 1 1 0x m x     21 4 0m     1 3m    1,3 11 1．【答案】D 【解析】 的否定是 ， 的否定是 ， 的否定是 ．故选 D． 2．【答案】y=sinx（答案不唯一） 【解析】令 ，则 f（x）>f（0）对任意的 x∈（0，2］都成立，但 f（x）在［0， 2］上不是增函数. 又如，令 f（x）=sinx，则 f（0）=0，f（x）>f（0）对任意的 x∈（0，2］都成立，但 f（x）在［0，2］ 上不是增函数. 【名师点睛】要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合 中的一个特殊值 ，使 不成立即 可.通常举分段函数. 直通高考     2n x 2n x     0, 0 4 , 0,2 x f x x x     M 0x  0p x