2018-2019学年黑龙江省齐齐哈尔市高二下学期期末数学（文)试题 解析版

2018-2019学年黑龙江省齐齐哈尔市高二下学期期末数学（文)试题 解析版

绝密★启用前 黑龙江省齐齐哈尔市2018-2019学年高二下学期期末数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 则 本题选择C选项.‎ ‎2．若复数满足（其中为虚数单位），在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数除法运算求得，根据复数的几何意义可得对应的点的坐标，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意得：‎ 对应的点的坐标为：，位于第四象限 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的几何意义，关键是利用复数除法运算求出复数，属于基础题.‎ ‎3．“p∨q为假”是“p∧q为假”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ p∨q为假，则p，q皆为假，p∧q为假；p∧q为假，则p，q中至少一个为假，p∨q不一定为假，所以“p∨q为假”是“p∧q为假”的充分不必要条件，选A.‎ ‎4．《高中数学课程标准》(2017 版)规定了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图(如图，每项指标值满分为分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是（ ）‎ ‎(注:雷达图(Radar Chart)，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图(Spider Chart)，可用于对研究对象的多维分析)‎ A．甲的数据分析素养高于乙 B．甲的数学建模素养优于数学抽象素养 C．乙的六大素养中逻辑推理最差 D．乙的六大素养整体水平优于甲 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据雷达图，依次判断每个选项的正误得到答案.‎ ‎【详解】‎ 根据雷达图得甲的数据分析素养低于乙，所以A错误 根据雷达图得甲的数学建模素养等于数学抽象素养，所以B错误 根据雷达图得乙的六大素养中数学建模和数学抽象最差，所以C错误 根据雷达图得乙整体为27分，甲整体为22分，乙的六大素养整体水平优于甲，所以D正确 故答案选D ‎【点睛】‎ 本题考查了雷达图，意在考查学生解决问题的能力.‎ ‎5．函数的图象的大致形状为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取特殊值排除得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，排除ACD 故答案选B ‎【点睛】‎ 本题考查了函数图像的判断，特殊值可以简化运算.‎ ‎6．如表是某厂节能降耗技术改造后，在生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据：‎ ‎ ‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎ ‎ ‎2.5‎ ‎3‎ m ‎4.5‎ 若根据如表提供的数据，用最小二乘法可求得对的回归直线方程是，则表中的值为（ ）‎ A．4 B．4.5 C．3 D．3.5‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意可得，故样本中心为。因为回归直线过样本中心，所以 ‎，解得。选A。‎ ‎7．抛物线上一点到其焦点的距离为6，则点M到y轴的距离为 A． B．6 C．4 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线定义可知点到准线距离为，从而可求得其到轴的距离.‎ ‎【详解】‎ 由抛物线定义知，点到抛物线准线的距离为 点到轴的距离为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线定义的应用，属于基础题.‎ ‎8．已知，，，则a，b，c的大小关系是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数和对数函数单调性可知，，；根据幂函数的单调性可判断出，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，则最大 由在上单调递增可知：，即 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据指数函数、对数函数和幂函数的单调性比较大小的问题，关键是能够熟练掌握初等函数的单调性，属于基础题.‎ ‎9．将函数的图像向右平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）‎ A．函数的最大值为 B．函数的最小正周期为 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在区间上单调递增 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平移变换和伸缩变换的原则可求得的解析式，依次判断的最值、最小正周期、对称轴和单调性，可求得正确结果.‎ ‎【详解】‎ 函数向右平移个单位长度得：‎ 横坐标伸长到原来的倍得：‎ 最大值为，可知错误；‎ 最小正周期为，可知错误；‎ 时，，则不是的对称轴，可知错误；‎ 当时，，此时单调递增，可知正确.‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数平移变换和伸缩变换、正弦型函数的单调性、对称性、值域和最小正周期的求解问题，关键是能够明确图象变换的基本原则，同时采用整体对应的方式来判断正弦型函数的性质.‎ ‎10．设是边长为的正三角形，是的中点，是的中点，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将作为基向量，其他向量用其表示，再计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 设是边长为的正三角形，是的中点，是的中点，‎ 故答案选D ‎【点睛】‎ 本题考查了向量的乘法，将作为基向量是解题的关键.‎ ‎11．设双曲线的左、右焦点分别为，，且过的直线与双曲线的右支交于两点A，B，若，，则双曲线C的离心率是 A． B． C． D．5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，根据双曲线定义和已知中的比例关系可求得且，可得到，从而知，通过勾股定理可建立关于的方程，从而求得结果.‎ ‎【详解】‎ 设， 则，，‎ 由双曲线定义可知：，即：‎ 又 ‎ ‎ ‎ 又，， ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线离心率的求解，关键是能够通过双曲线的定义得到各个焦半径的长度，通过勾股定理可构造出关于的齐次方程，通过求解齐次方程得到离心率.‎ ‎12．若函数（a为常数）存在两条均过原点的切线，则实数a的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设切点坐标，利用两点连线斜率公式和导数的几何意义表示出切线斜率，从而可得，将问题转化为与存在两个不同的交点；通过导数研究的图象，从而得到所求范围.‎ ‎【详解】‎ 由题意得：定义域为，且 设切点坐标为：，‎ 则过原点的切线斜率：，整理得：‎ 存在两条过原点的切线 存在两个不同解 设，则问题等价于与存在两个不同的交点 又 当时，，单调递增；当时，，单调递减 ‎ 又当时，；当时，‎ 若与存在两个不同的交点，则 解得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据方程解的个数求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为平行于轴的直线与曲线的交点个数问题，通过导数研究曲线的图象，通过数形结合的方式来确定交点个数，从而得到参数范围.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知等差数列的前项和为，若，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的性质得到，再计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 已知等差数列 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列的性质，前N项和，利用性质可以简化运算.‎ ‎14．若，满足约束条件，则的最大值是__________．‎ ‎【答案】[﹣3，3]‎ ‎【解析】‎ 分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案.‎ 详解：由约束条件作出可行域如图：‎ 联立，解得，，‎ 化目标函数为直线方程的斜截式.‎ 由图可知，当直线过，直线在y轴上的截距最大，z最小，最小值为；‎ 当直线过时，直线在y轴上的截距最小，z最大，最大值为.‎ ‎ 的取值范围为[﹣3，3].‎ 故答案为：[﹣3，3].‎ 点睛：利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是 ‎(1)在平面直角坐标系内作出可行域．‎ ‎(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．‎ ‎(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．‎ ‎(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值. ‎ ‎15．已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导根据导数判断函数是单调递增的，再利用解得答案.‎ ‎【详解】‎ 当时，‎ 是定义在上的奇函数 是在上单调递增 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的奇偶性，单调性，判断函数在上单调递增是解题的关键.‎ ‎16．我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.‎ 该原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图，在空间直角坐标系中的平面内，若函数的图象与轴围成一个封闭的区域，将区域沿轴的正方向平移8个单位长度，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域的面积相等，则此圆柱的体积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用四分之一圆的面积和直角三角形面积公式求得阴影部分的面积，进而求得圆柱的体积.‎ ‎【详解】‎ 表示的是四分之一的圆的面积，且圆的半径是，所以区域的面积为，所以圆柱的体积.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数学文化以及简单几何体的体积，考查利用几何意义计算定积分，考查空间想象能力和运算求解能力.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．在中，角所对的边分别为，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，，，求的面积.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）把边角关系转化为角的关系为，从而有即.（2）利用余弦定理有，解得，从而面积为.‎ 解析：（1）因为，所以，而，故，所以.‎ ‎（2）由，得，化简得，解得，或（舍去），所以.‎ ‎18．某企业为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取100件产品作为样本称出它们的质量（单位：毫克），质量值落在的产品为合格品，否则为不合格品．如表是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图．‎ 产品质量/毫克 频数 ‎（165，175]‎ ‎3‎ ‎（175，185]‎ ‎2‎ ‎（185，195]‎ ‎21‎ ‎（195，205]‎ ‎36‎ ‎（205，215]‎ ‎24‎ ‎（215，225]‎ ‎9‎ ‎（225，235]‎ ‎5‎ ‎（Ⅰ）根据乙流水线样本的频率分布直方图，求乙流水线样本质量的中位数（结果保留整数）；‎ ‎（Ⅱ）从甲流水线样本中质量在的产品中任取2件产品，求两件产品中恰有一件合格品的概率；‎ 甲流水线 乙流水线 总计 合格品 不合格品 总计 ‎（Ⅲ）由以上统计数据完成下面2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关？‎ 下面临界值表仅供参考：‎ P（K2≥k）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考公式：，其中n＝a+b+c+d．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下，认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求出前三组的频率之和及前四组的频率之和，则可判断 中位数在第四组，设其大小为，由解得；‎ ‎（Ⅱ）甲流水线样本中质量在的产品共有5件，其中合格品有2件，设为；不合格品3件，设为，再利用列举法以及古典概型概率公式可得；‎ ‎（Ⅲ）先得列联表，再根据表中数据，计算出观测值，结合临界值表可得．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）因为前三组的频率之和 前四组的频率之和 所以中位数在第四组，设为 由，解得．‎ ‎（Ⅱ）甲流水线样本中质量在的产品共有5件，其中合格品有2件，设为；不合格品3件，设为 从中任取2件的所有取法有，共10种，‎ 恰有一件合格品的取法有共6种，‎ 所以两件产品中恰有一件合格品的概率为． ‎ ‎（Ⅲ）由乙流水线样本的频率分布直方图可知，合格品的个数为，‎ 甲流水线 乙流水线 总计 合格品 ‎92‎ ‎96‎ ‎188‎ 不合格品 ‎8‎ ‎4‎ ‎12‎ 总计 ‎100‎ ‎100‎ ‎200‎ 所以，2×2列联表是： ‎ 所以 不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下，认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关．‎ ‎【点睛】‎ 对于独立性检验问题，应该根据2×2列联表计算的值，然后根据临界值表进行判断．而古典概型的概率计算，应该用枚举法列出所有的基本事件及随机事件中含有的基本事件．‎ ‎19．如图，在三棱柱中，四边形是菱形，四边形是正方形，，，，点为的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接AF，与CD交于点H，连接GH，由中位线定理可得BF∥GH，从而得证；‎ ‎（2）由点H为AF的中点，可知点F到平面CDG的距离与点A到平面CDG的距离相等，再利用，即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)连接AF，与CD交于点H，连接GH，‎ 则GH为△ABF的中位线，‎ 所以BF∥GH，‎ 又BF平面CDG，GH⊂平面CDG，‎ 所以BF∥平面CDG.‎ ‎(2)由点H为AF的中点，且点平面CDG可知，‎ 点F到平面CDG的距离与点A到平面CDG的距离相等，‎ 由四边形是正方形，，可得是三棱锥的高，‎ 由题意得，，‎ 所以，‎ 在△CDG中，，‎ 设点A到平面CDG的距离为h，则，‎ 由得，，‎ 所以点F到平面CDG的距离为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎20．已知椭圆的一个焦点为，点在C上.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）已知点，过F作直线l交椭圆于A、B两点，求证：．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将点坐标代入椭圆方程，利用和求得，从而得到椭圆方程；（2）当垂直于轴时，显然成立；当不垂直于轴时，设直线方程，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，利用两点连线斜率公式表示出，代入韦达定理整理可证得，从而可知直线，倾斜角互补，得到所证结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意知：‎ 在椭圆上 ‎ 又，解得：，‎ 椭圆的方程为：‎ ‎（2）当与轴垂直时，直线恰好平分，则 当与轴不垂直时，设直线的方程为：‎ 联立，消去得：‎ 恒成立 设，‎ 由韦达定理得：，‎ 直线，的斜率之和为：‎ ‎ ‎ 故直线，的倾斜角互补 ‎ 综上所述：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆方程的求解、椭圆中的等量关系的证明问题，解决问题的关键是能够通过利用斜率和为定值来进行结论的证明；证明斜率和为定值的常用方法是直线与椭圆方程联立，通过韦达定理表示出斜率，通过化简、消元证得结果；易错点是忽略了直线斜率不存在的情况的讨论.‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）当时，判断函数零点的个数；‎ ‎（2）当时，不等式恒成立，求正实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）函数的零点个数为1（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过导数可知在上单调递增，在上单调递减，从而可得，可知零点个数为；（2）将问题转化为在时恒成立；设，分别在和两种情况下确定导函数的符号，从而得到的单调性，可知时不等式恒成立，时，不等式不恒成立，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）， ，‎ 当时，，单调递增；当时，，单调递减 极大值为：，即 的零点个数为：‎ ‎（2）‎ 当时，不等式恒成立等价于：恒成立 设，则 令 则 ‎①当时， ，即单调递增 ‎ 单调递增 当时，恒成立 ‎②当时，‎ 若，则，单调递减 ‎ 因此在上单调递减，即，此时不符合题意 综上所述，正实数的取值范围为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到函数零点个数的求解、根据不等式恒成立求解参数取值范围的问题；恒成立问题的处理关键是能够通过构造函数的方式，通过分类讨论得到所构造函数的单调性，从而得到恒成立的不等式成立的条件.‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为，（为参数），过原点O且倾斜角为α的直线l交曲线M于A、B两点．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求l和M的极坐标方程；‎ ‎（2）当时，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）直线l的极坐标方程为，曲线M的极坐标方程为（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据过原点且倾斜角为可得其极坐标方程：；将参数方程化为普通方程，利用直角坐标与极坐标互化原则可得曲线的极坐标方程；（2）将代入曲线的极坐标方程，可得；根据韦达定理和极坐标的几何意义可知，根据 可求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）直线过原点且倾斜角为 直线的极坐标方程为：‎ 曲线的普通方程为：‎ ‎，，‎ 曲线的极坐标方程为：‎ ‎（2）设，，且，均为正数 将代入得：‎ 当时， ‎ 根据极坐标的几何意义知：，分别是点，的极径 当时， ‎ 的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本题考查极坐标与参数方程相关知识的求解，涉及到直角坐标与极坐标的互化、参数方程化普通方程、极坐标的几何意义等知识；关键是能够将所求的距离之和利用极坐标的几何意义转化为极径之和的求解.‎ ‎23．已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若正数，，，满足，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化简函数，以1和2为界，分别讨论得到答案.‎ ‎（2）计算代入等式，利用展开利用均值不等式得到答案.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为，‎ 所以 ‎①当时，，由，解得；‎ ‎②当时，，由，即，‎ 解得，又，所以；‎ ‎③当时，不满足，此时不等式无解 综上，不等式的解集为：‎ ‎（2）解法1：‎ 当且仅当时等号成立.‎ 所以的最小值为 解法2：‎ 由柯西不等式：上式 当且仅当时等号成立.‎ 所以的最小值为 ‎【点睛】‎ 本题考查了解不等式，均值不等式证明不等式，意在考查学生对于不等式的掌握情况.‎