2017-2018学年江西省抚州市临川区第一中学高二下学期期末考试数学（文）试题-解析版

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绝密★启用前 江西省抚州市临川区第一中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知是虚数单位，复数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：等式两边同乘以利用复数的乘法运算法则化简复数，从而可得结果.‎ 详解：，‎ ‎，‎ 则，‎ 可得，故选D.‎ 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.‎ ‎2．设全集为，集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先求，再求得解.‎ 详解：由题得={x|x＜1}，所以=，故答案为：B.‎ 点睛：本题主要考查集合的补集和交集运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.‎ ‎3．双曲线的焦距是（ ）‎ A. B. 4 C. 8 D. 与有关 ‎【答案】C ‎【解析】分析：由双曲线的方程根据公式，求出的值，进而可求焦距.‎ 详解：由双曲线可得，‎ ‎，‎ 焦距，故选C.‎ 点睛：本题主要考查了双曲线的标准方程与简单性质，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题.‎ ‎4．设，为两个非零向量，则“”是“与共线”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】分析：由等价于 向量同向，结合充分条件与必要条件的定义可得结果.‎ 详解：因为等价于 向量同向，‎ 故“”是“与共线”的充分而不必要条件，故选A.‎ 点睛：判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.‎ ‎5．已知将函数的图象向左平移个单位之后与的图象重合，则（ ）‎ A. 4 B. 6 C. 7 D. 9‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由图象向左平移个单位之后与图象重合，可得 ‎，结合即可的结果.‎ 详解：‎ 的图象向左平移个单位之后与图象重合，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得，‎ 又，故选A.‎ 点睛：本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.‎ ‎6．数列的通项公式，其前项和为，则（ ）‎ A. 1010 B. -1010 C. 2018 D. -504‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据通项公式，可得看成其是以为周期的周期函数，求出相邻项的值，即可求解.‎ 详解：，‎ 其是以为周期的周期函数，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎，故选B.‎ 点睛：本题考查了三角函数的单调性，数列求和，推理能力与计算能力，属于中档题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.‎ ‎7．如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由题意可知，首先判断框中的条件不满足，框图依次执行循环，框图执行第一循环后，的值为，执行第二循环后，的值为前项的和，满足，框图应执行次循环，此时的值为，判断框中的条件应该满足，算法结束，由此得到判断框中的条件.‎ 详解：框图首先给累加变量赋值为赋值，给循环变量赋值，‎ 此时判断框中的条件满足，执行；‎ 此时判断框中的条件满足，执行；‎ 此时判断框中的条件满足，执行；‎ 此时判断框中的条件满足，执行，‎ 此时判断框中的条件不满足，‎ 故判断框内应填入的一个条件为，故选A.‎ 点睛：本题考查了循环结构，是直到型循环，区别当型和直到型的关键在于是满足条件执行循环还是不满足执行循环，满足条件执行循环的是当型结构，不满足条件执行循环的是直到型结构，是基础题.‎ ‎8．在长方体中，与平面所成角的大小为，与平面所成角的大小为，那么异面直线与所成角的余弦值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先找到与平面所成角，与平面所成角，再设出长方体的边长找到异面直线与所成角，最后利用余弦定理求异面直线与所成角的余弦值.‎ 详解：由题得∠设AD=1,则 在△中，由余弦定理得.‎ 因为,所以异面直线与所成角的余弦值是.‎ 故答案为：.‎ 点睛：（1）本题主要考查直线和平面所成的角和异面直线所成的角，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 异面直线所成的角的求法,方法一：（几何法）找 作（平移法、补形法）证（定义）指求（解三角形）.方法二：（向量法），其中是异面直线所成的角，分别是直线的方向向量.‎ ‎9．如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（ ）‎ A. B. 4 C. D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由三视图可得该几何体是一个四棱锥，底面是边长为，高是，利用棱锥的体积公式可得结果.‎ 详解：由三视图可得该几何体是一个四棱锥，底面是边长为，高是，‎ 故底面菱形的面积为，‎ 侧棱为，则棱锥的高为，‎ 故，故选C.‎ 点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.‎ ‎10．已知关于的方程在区间上有两个实数根，，且，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析: 将方程化简：sin（+x）+cos（﹣x）=sinx+cosx=sin（x+）=a，根据在区间[0，2π）上有两个实根x1，x2，且|x1﹣x2|≥π，对两个实根 x1，x2的位置讨论，结合正弦函数可得答案．‎ 详解: 由题得sin（+x）+cos（﹣x）=sinx+cosx=sin（x+）=a ‎ 转化为函数y=sin（x+）与函数y=a有两个交点，区间[0，2π） 上有两个实根 x1，x2，‎ 由x∈[0，2π）‎ 则x+∈[，），‎ 设 x1＞x2，由x1﹣x2≥π，可得≥x2≥，‎ 当≥x2≥时，结合正弦函数可知，不存在a的值；‎ 当≤x2≤时，对应的2π≤x1＜，‎ 结合正弦函数可知，函数y=sin（x+）与函数y=a有两个交点，‎ 此时可得：a∈[0，1）．‎ 故答案为：C．‎ 点睛: (1)本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，函数y=sin（x+）与函数y=a有两个交点的问题．(2)解答本题的关键是数形结合的思想方法,数形结合的思想方法是高中数学中是重要思想方法,要理解掌握并灵活运用.‎ ‎11．在中，点满足，过点的直线与，所在直线分别交于点，，若，，则的最小值为（ ）‎ A. 3 B. 4 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：用，表示出,根据三点共线得出的关系，利用基本不等式得出的最小值.‎ 详解： ‎ ‎ 三点共线， ‎ 则 ‎ ‎ ‎ 当且仅当即时等号成立.‎ 故选A.‎ 点睛：考查向量减法的几何意义，共线向量基本定理，以及平面向量基本定理，以及基本不等式的应用，属中档题.‎ ‎12．已知函数，若有两个极值点，记过点，的直线的斜率为，若，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：当时，函数的导数为，不妨设，则有 ‎，所以可得，由直线的斜率公式的表达式，可得，令，得，得，即可得到，‎ 详解：当时，函数的导数为，‎ 由函数由两个极值点得，又为奇函数，不妨设，‎ 则有，所以可得，‎ 由直线的斜率公式可得，‎ 又，所以，得 所以在上单调递增，又由，‎ 由，得，所以，故选A.‎ 点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．设，满足约束条件，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：画出可行域，的最小值就是可行域内的点到点距离平方的最小值，结合图象利用点到直线距离公式可得结果.‎ 详解： ‎ 画出约束条件表示的可行域，如图，‎ 的最小值就是可行域内的点到点距离平方的最小值，‎ 由图可知，到直线的距离最小，‎ 由点到直线距离公式可得到直线的距离 ‎，‎ 即的最小值为，故答案为.‎ 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的定点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎14．幂函数的图象经过点，则它的单调递减区间是__________．‎ ‎【答案】和 ‎【解析】分析：设幂函数，由，得，得到幂函数的解析式，利用幂函数的性质，即可得到其单调递减区间.‎ 详解：设幂函数，由，得，‎ 所以幂函数的解析式为且在定义域上为单调递减函数，‎ 其单调递减区间为和.‎ 点睛：本题主要考查了幂函数的解析式及其幂函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎15．在区间上随机地选择一个数，则方程有两个负实根的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由一元二次方程根的分布可得关于的不等式组，解不等式组，由几何概型概率公式可得结果.‎ 详解：方程有两个负根等价于，‎ 解关于的不等式组可得或，‎ 所求概率，故答案为.‎ 点睛：本题主要考查几何概型概率公式，一元二次方程根的分布，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度.‎ ‎16．设点是椭圆上的点，以点为圆心的圆与 轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于不同的两点、，若为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：设，由题意，从而可求椭圆的离心率的取值范围.‎ 详解：因为圆与轴相切于焦点，‎ 所以圆心与的连线必垂直于轴，不妨设，‎ 因为在椭圆上，则，所以圆的半径为，‎ 由题意，所以，所以.‎ 点睛：本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知等差数列满足，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1).‎ ‎(2).‎ ‎【解析】分析：（1）先根据的值求出k的值，再求数列 的通项公式.(2)利用裂项相消法和分组求和法求数列的前项和.‎ 详解：（1）由，令，‎ 得到 ‎∵是等差数列，则，‎ 即 解得.‎ 由于 ‎∵，∴.‎ ‎（2）由 ‎.‎ 点睛：（1）本题主要考查等差数学通项的求法，考查裂项相消法和分组求和法求数列的前n项和，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和.‎ ‎18．共享单车已成为一种时髦的新型环保交通工具，某共享单车公司为了拓展市场，对，两个品牌的共享单车在编号分别为1，2，3，4，5的五个城市的用户人数（单位：十万）进行统计，得到数据如下：‎ 城市品牌 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 品牌 ‎3‎ ‎4‎ ‎12‎ ‎6‎ ‎8‎ 品牌 ‎4‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎5‎ ‎（Ⅰ）若共享单车用户人数超过50万的城市称为“优城”，否则称为“非优城”，据此判断能否有的把握认为“优城”和共享单车品牌有关？‎ ‎（Ⅱ）若不考虑其它因素，为了拓展市场，对品牌要从这五个城市选择三个城市进行宣传.‎ ‎（i）求城市2被选中的概率；‎ ‎（ii）求在城市2被选中的条件下城市3也被选中的概率.‎ 附：参考公式及数据 ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】(1) 没有85%的把握认为“优城”与共享单车品牌有关．‎ ‎(2) （ⅰ）城市2被选中的有6种，所求概率为；‎ ‎（ⅱ）在城市2被选中的有6种情形中，城市3被选中的有3种，所求概率为． ‎ ‎【解析】分析：（1）先计算的值，再判断没有85%的把握认为“优城”与共享单车品牌有关．（2）（ⅰ）利用古典概型求城市2被选中的概率. （ⅱ）利用古典概型求在城市2被选中的条件下城市3也被选中的概率.‎ 详解：（Ⅰ）根据题意列出列联表如下：‎ ‎,‎ 所以没有85%的把握认为“优城”与共享单车品牌有关．‎ ‎（Ⅱ）从这五个城市选择三个城市的情形为 共10种，‎ ‎（ⅰ）城市2被选中的有6种，所求概率为；‎ ‎（ⅱ）在城市2被选中的有6种情形中，城市3被选中的有3种，所求概率为． ‎ 点睛：（1）本题主要考查独立性检验和古典概型，意在考查学生对这些知识的掌握水平和解决实际问题的能力.(2) 古典概型的解题步骤:①求出试验的总的基本事件数；②求出事件A所包含的基本事件数；③代公式=.‎ ‎19．已知四棱锥中，底面，，，，是中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ ‎【答案】(1)证明见解析.‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】分析：（1）取的中点，连接、，先证明，再证明平面.(2)利用等体积法求点到平面的距离.‎ 详解：（1）证明：取的中点，连接、，∵、分别为、的中点，‎ ‎∴，且，又∵，‎ ‎∴且，∴ ，‎ ‎∴四边形为平行四边形，∴，又∵平面，平面，‎ ‎∴平面． ‎ ‎(2)设点到平面的距离为h,‎ 由题得 所以，‎ 因为,所以.‎ 点睛：（1）本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查点到面距离的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象转化能力.(2)求点到面的距离常用的有直接法、等体积法和向量法,本题利用的是等体积法.‎ ‎20．若椭圆：上有一动点，到椭圆的两焦点，的距离之和等于，到直线的最大距离为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若过点的直线与椭圆交于不同两点、，（为坐标原点）且，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) （－2，）∪（，2）.‎ ‎【解析】分析：（I）由椭圆的定义及到直线的最大距离为列方程可求得和 的值，从而可求得椭圆的方程；（II）设椭圆的方程，代入椭圆的方程，由取得的取值范围，利用韦达定理及向量的坐标运算求得点坐标，代入椭圆方程，求得，由，即可求得的取值范围.‎ 详解：（I）由已知得，∴， ，‎ 所以椭圆的方程为：. ‎ ‎（II）l的斜率必须存在，即设l：，‎ 联立，消去y整理得，‎ 由得，‎ 设，，由韦达定理得，，‎ 而＋＝，设P（x，y），‎ ‎∴∴，‎ 而P在椭圆C上，∴，‎ ‎∴（*），又∵，‎ ‎，‎ 解之，得，∴，‎ 再将（*）式化为 ，将代入 得，即或，‎ 则t的取值范围是（－2，）∪（，2）‎ 点睛：求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.‎ ‎21．设函数，.‎ ‎（1）在处的切线方程；‎ ‎（2）当时，函数有两个极值点，求的取值范围；‎ ‎（3）若在点处的切线与轴平行，且函数在时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) y=0.‎ ‎(2).‎ ‎(3).‎ ‎【解析】分析：（1）先利用导数求切线的斜率，再写出切线的方程.(2)先求导得，转化为与的图像的交点有两个，再利用数形结合分析两个函数的图像得到的取值范围.(3)先转化为当时，恒成立，即 ‎，再构造函数求其最小值，令其最小值大于零，得a的取值范围.‎ 详解：（1）由题得所以切线方程为y=0.‎ ‎（2) 当时，，，‎ 所以有两个极值点就是方程有两个解，‎ 即与的图像的交点有两个.‎ ‎∵，当时，，单调递增；当时，，单调递减.有极大值又因为时，；当时，.‎ 当时与的图像的交点有0个；‎ 当或时与的图像的交点有1个；‎ 当时与的图象的交点有2个；‎ 综上.‎ ‎（3）函数在点处的切线与轴平行，‎ 所以且，因为，‎ 所以且；‎ 在时，其图像的每一点处的切线的倾斜角均为锐角，‎ 即当时，恒成立，即 ‎，‎ 令，∴‎ 设，，因为，所以，∴，‎ ‎∴在单调递增，即在单调递增， ‎ ‎∴，当且时，，‎ 所以在单调递增；‎ ‎∴成立 ‎ 当，因为在单调递增，所以，，‎ 所以存在有；‎ 当时，，单调递减，所以有，不恒成立；‎ 所以实数的取值范围为.‎ 点睛：（1）本题主要考查切线方程的求法，考查利用导数研究函数的极值问题，考查利用导 数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力转化能力.(2)解答第3问的关键是转化，先转化为当时，恒成立，即，再构造函数求其最小值.‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线与曲线：交于，两点.‎ ‎（Ⅰ）求的长；‎ ‎（Ⅱ）在以为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点的极坐标为，求点到线段中点的距离.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）借助题设条件运用直线参数的几何意义求解；（Ⅱ）借助题设条件运用参数的几何意义求解。‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），代入曲线C的方程得。‎ 设点A，B对应的参数分别为，，则，，所以。‎ ‎（Ⅱ）由极坐标与直角坐标互化公式得点P的直角坐标为，所以点P在直线l上，中点M对应参数为，由参数t的几何意义，所以点P到线段AB中点M的距离。‎ 考点：参数方程的运用。‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 设函数，.‎ ‎（1）若不等式的解集为，求的值；‎ ‎（2）若存在，使，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2).‎ ‎【解析】分析：（1）先解不等式得到，再比较得，即得a 的值.(2)先求得f(x)+x最小值为2a，再解不等式即得a的取值范围.‎ 详解：（1）由题意可得可化为，‎ 所以，解得a=1.‎ ‎（2）令,‎ 所以函数g(x)=f(x)+x最小值为2a,‎ 根据题意可得，即，所以a的取值范围为.‎ 点睛：（1）本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的存在性问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答第2问时，要先求f(x)+x最小值，不是最大值，因为它是存在性问题，要理解清楚.‎