高三数学复习-球的切、接、截面问题(有答案)+函数+期末考试试题

高三数学复习-球的切、接、截面问题(有答案)+函数+期末考试试题

高三数学复习-球的 切、接、截面问题(有答案)+函数+期末考试试题 数学复习---球的切、接、截面问题(附参考答案) 一．选择题（共 16 小题） 1．（2014•广西）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该 球的表面积为（ ） A ． B ． 16π C ． 9π D ． 2．（2014•宝鸡三模）一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都 在一个球面上，则这个球的表面积是（ ） A ． 4π B ． 8π C ． D ． 3．（2014•锦州一模）一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外 接球的表面积为（ ） A ． 29π B ． 30π C ． D ． 216π 4．（2014•西藏一模）三棱锥 S﹣ABC 的顶点都在同一球面上，且 ，则该球的体积为（ ） A ． B ． C ． 16π D ． 64π 5．（2014•临汾模拟）三棱锥 P﹣ABC 的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC 是正三角形， PA⊥平面 ABC，PA=2AB=6，则该球的体积为（ ） A ． 16 π B ． 32 π C ． 48π D ． 64 π 6．（2014•沈阳模拟）四个顶点都在球 O 上的四面体 ABCD 所有棱长都为 12，点 E、F 分别 为棱 AB、AC 的中点，则球 O 截直线 EF 所得弦长为（ ） A ． 6 B ． 12 C ． 6 D ． 6 7．（2013•辽宁）已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB=3，AC=4， AB⊥AC，AA1=12，则球 O 的半径为（ ） A ． B ． C ． D ． 8．（2013•河池模拟）将长宽分别为 3 和 4 的长方形 ABCD 沿对角线 AC 折起直二面角，得 到四面体 A﹣BCD，则四面体 A﹣BCD 的外接球的表面积为（ ） A ． 25π B ． 50π C ． 5π D ． 10π 9．（2013•黄梅县模拟）已知半径为 5 的球 O 被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的 公共弦为 4，若其中的一圆的半径为 4，则另一圆的半径为（ ） A ． B ． C ． D ． 10．（2013•郑州一模）在三棱锥 A﹣BCD 中，侧棱 AB、AC、AD 两两垂直，△ABC、△ACD、 △ADB 的面积分别为 、 、 ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A ． 2π B ． 4 π C ． 6π D ． 24π 11．（2013•河池模拟）一个四面体 A﹣BCD 中，AC=BD=3，AD=BC=4，AB=CD=5，那么 这个四面体的外接球的表面积为（ ） A ． 50π B ． 25π C ． D ． 12．（2012•南宁模拟）已知 Rt△ABC 的顶点都在半径为 4 的球 O 面上，且 AB=3，BC=2， ∠ABC= ，则棱锥 O﹣ABC 的体积为（ ） A ． B ． C ． D ． 13．在正四棱锥 S﹣ABCD 中，侧面与底面所成角为 ，则它的外接球的半径 R 与内径球 半径 r 的比值为（ ） A ． 5 B ． C ． 10 D ． 14．已知球 O 的表面积为 20π，SC 是球 O 的直径，A、B 两点在球面上，且 AB=BC=2， ， 则三棱锥 S﹣AOB 的高为（ ） A ． B ． C ． D ． 1 15．（2014•安阳一模）如图，平面四边形 ABCD 中，AB=AD=CD=1， ， 将其沿对角线 BD 折成四面体 A′﹣BCD，使平面 A′BD⊥平面 BCD，若四面体 A′﹣BCD 顶 点在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A ． B ． 3π C ． D ． 2π 16．（2011•琼海一模）已知正六棱柱的 12 个顶点都在一个半径为 3 的球面上，当正六棱柱 的体积最大（柱体体积=底面积×高）时，其高的值为（ ） A ． B ． C ． D ． 二．填空题（共 8 小题） 17．（2014•乌鲁木齐二模）直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的各顶点都在同一球面上，若 AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于 _________ ． 18．（2014•江西模拟）正四面体 ABCD 的棱长为 4，E 为棱 BC 的中点，过 E 作其外接球的 截面，则截面面积的最小值为 _________ ． 19．（2014•呼伦贝尔二模）设 A、B、C、D 是半径为 2 的球面上的四点，且满足 AB⊥AC， AD⊥AC，AB⊥AD，则 S△ABC+S△ABD+S△ACD 的最大值是 _________ ． 20．（2014•河南模拟）已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面是边长为 a 的正方形，所有侧棱长相等 且等于 a，若其外接球的半径为 R，则 等于 _________ ． 21．（2012•辽宁）已知正三棱锥 P﹣ABC，点 P，A，B，C 都在半径为 的球面上，若 PA， PB，PC 两两垂直，则球心到截面 ABC 的距离为 _________ ． 22．（2009•湖南）在半径为 13 的球面上有 A，B，C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则 （1）球心到平面 ABC 的距离为 _________ ； （2）过 A，B 两点的大圆面与平面 ABC 所成二面角为（锐角）的正切值为 _________ ． 23．正三棱锥 P﹣ABC 的四个顶点同在一个半径为 2 的球面上，若正三棱锥的侧棱长为 2 ， 则正三棱锥的底面边长是 _________ ． 24．与四面体的一个面及另外三个面的延长面都相切的球称为该四面体的旁切球，则棱长为 1 的正四面体的旁切球的半径 r= _________ ． 截面问题 一．填空题（共 8 小题） 1．过正三棱锥一侧棱及其半径为 R 的外接球的球心 O 所作截面如图，则它的侧面三角形的 面积是 __ ． 2．一正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的可能图形为 _________ （只 填写序号）． 3．棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则 图中三角形（正四面体的截面）的面积是 _________ ． 4．已知正三棱锥 S﹣ABC 内接于半径为 6 的球，过侧棱 SA 及球心 O 的平面截三棱锥及球 面所得截面如右图，则此三棱锥的侧面积为 _________ ． 5．（2012•桂林模拟）如图，已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的内 切球，则平面 ACD1 截球 O 的截面面积为 _________ ． 6．已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 内有一个球与正方体的各个面都相切，经过 DD1 和 BB1 作一个截面，正确的截面图是 _________ ． 7．已知空间中动平面α，β与半径为 5 的定球相交所得的截面的面积为 4π与 9π，其截面圆 心分别为 M，N，则线段|MN|的长度最大值为 _________ ． 8．球 O 的球面上有三点 A，B，C，且 BC=3，∠BAC=30°，过 A，B，C 三点作球 O 的截 面，球心 O 到截面的距离为 4，则该球的体积为 _________ ． 9．（2014•上海二模）设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并 浸入半径为 r 的一个实心球，使球与水面恰好相切，试求取出球后水面高为多少？ 2015 年高三数学复习---球的切接问题组 参考答案与试题解析 一．选择题（共 16 小题） 1．（2014•广西）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该 球的表面积为（ ） A ． B ． 16π C ． 9π D ． 考点： 球内接多面体；球的体积和表面积． 菁优网版 权所有 专题： 计算题；空间位置关系与距离． 分析： 正四棱锥 P﹣ABCD 的外接球的球心在它的高 PO1 上，记为 O，求出 PO1，OO1，解出球的半径，求出球的 表面积． 解答： 解：设球的半径为 R，则 ∵棱锥的高为 4，底面边长为 2， ∴R2=（4﹣R）2+（ ）2， ∴R= ， ∴球的表面积为 4π•（ ）2= ． 故选：A． 点评： 本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题． 2．（2014•宝鸡三模）一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都 在一个球面上，则这个球的表面积是（ ） A ． 4π B ． 8π C ． D ． 考点： 球内接多面体．菁优网版 权所有 专题： 计算题． 分析： 由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为 2 的正三角形，侧棱长是 2，根据三棱柱的两个 底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的表面积． 解答： 解：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为 2 的正三角形，侧棱长是 2， 三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径， r= = ，球的表面积 4πr2= ． 故选 C． 点评： 本题是中档题，考查三棱柱的外接球的表面积的求法，外接球的半径是解题的关键，考查计算能力． 3．（2014•锦州一模）一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外 接球的表面积为（ ） A ． 29π B ． 30π C ． D ． 216π 考点： 球内接多面体；球的体积和表面积． 菁优网版 权所有 专题： 计算题． 分析： 几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的对角线 的长，就是外接球的直径，然后求其的表面积． 解答： 解：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形， 一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；把它扩展为长方体，两者有相同的外接球， 它的对角线的长为球的直径： ，球的半径为： ． 该三棱锥的外接球的表面积为： ， 故选 A． 点评： 本题考查三视图，几何体的外接球的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题． 4．（2014•西藏一模）三棱锥 S﹣ABC 的顶点都在同一球面上，且 ，则该球的体积为（ ） A ． B ． C ． 16π D ． 64π 考点： 球内接多面体；球的体积和表面积． 菁优网版 权所有 专题： 计算题． 分析： 通过已知条件，判断 SC 为球的直径，求出球的半径，即可求解球的体积． 解答： 解：由题意 ， 所以 AC2+SA2=SC2，BC2+SB2=SC2，SC 是两个截面圆 SAC 与 SCB 的直径， 所以 SC 是球的直径，球的半径为：2． 所以球的体积为： = ． 故选 B． 点评： 本题考查球与球的内接多面体关系，球的体积的求法，推出球的直径是解题的关键，考查计算能力． 5．（2014•临汾模拟）三棱锥 P﹣ABC 的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC 是正三角形， PA⊥平面 ABC，PA=2AB=6，则该球的体积为（ ） A ． 16 π B ． 32 π C ． 48π D ． 64 π 考点： 球内接多面体．菁优网版 权所有 专题： 球． 分析： 由题意把 A、B、C、P 扩展为三棱柱如图，求出上下底面中心连线的中点与 A 的距离为球的半径，然后求 出球的体积． 解答： 解：由题意画出几何体的图形如图， 把 A、B、C、P 扩展为三棱柱， 上下底面中心连线的中点与 A 的距离为球的半径， PA=2AB=6，OE=3，△ABC 是正三角形，∴AB=3， ∴AE= = ． AO= =2 ． 所求球的体积为： （2 ）3=32 π． 故选：B． 点评： 本题考查球的内接体与球的关系，考查空间想象能力，利用割补法结合球内接多面体的几何特征求出球的 半径是解题的关键． 6．（2014•沈阳模拟）四个顶点都在球 O 上的四面体 ABCD 所有棱长都为 12，点 E、F 分别 为棱 AB、AC 的中点，则球 O 截直线 EF 所得弦长为（ ） A ． 6 B ． 12 C ． 6 D ． 6 考点： 球内接多面体；球的体积和表面积． 菁优网版 权所有 专题： 综合题；空间位置关系与距离． 分析： 把四面体补成正方体，两者的外接球是同一个，求出正方体的棱长，然后求出正方体的对角线长，可得正 四面体的外接球的半径，求出球心到 EF 的距离，即可求出球 O 截直线 EF 所得弦长． 解答： 解：如图，将四面体补成正方体，则正方体的棱长是 6 ，正方体的对角线长为：6 ， 正四面体的外接球的半径为：3 ． 设球心为 O，O 到 EF 的距离为 d，则 d= =3． ∴O 截直线 EF 所得弦长为 2 =6 ． 故选：A． 点评： 本题是基础题，考查空间想象能力，正四面体的外接球转化为正方体外接球，使得问题的难度得到降低， 问题得到解决，注意正方体的对角线就是球的直径，也是比较重要的． 7．（2013•辽宁）已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB=3，AC=4， AB⊥AC，AA1=12，则球 O 的半径为（ ） A ． B ． C ． D ． 考点： 球内接多面体；点、线、面间的距离计算．菁优网版 权所有 专题： 空间位置关系与距离． 分析： 通过球的内接体，说明几何体的侧面对角线是球的直径，求出球的半径． 解答： 解：因为三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12， 所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面 B1BCC1，经过球的球心，球的直径是其对角线的 长， 因为 AB=3，AC=4，BC=5，BC1= ， 所以球的半径为： ． 故选 C． 点评： 本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力． 8．（2013•河池模拟）将长宽分别为 3 和 4 的长方形 ABCD 沿对角线 AC 折起直二面角，得 到四面体 A﹣BCD，则四面体 A﹣BCD 的外接球的表面积为（ ） A ． 25π B ． 50π C ． 5π D ． 10π 考点： 球内接多面体．菁优网版 权所有 专题： 计算题． 分析： 折叠后的四面体的外接球的半径，就是长方形 ABCD 沿对角线 AC 的一半，求出球的半径即可求出球的表 面积． 解答： 解：由题意可知，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，所以长宽分别为 3 和 4 的长方形 ABCD 沿对角线 AC 折起直二面角，得到四面体 A﹣BCD，则四面体 A﹣BCD 的外接球的半径，是 AC= 所求球的表面积为：4× =25π 故选 A 点评： 本题考查球的内接多面体，求出球的半径，是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力． 9．（2013•黄梅县模拟）已知半径为 5 的球 O 被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的 公共弦为 4，若其中的一圆的半径为 4，则另一圆的半径为（ ） A ． B ． C ． D ． 考点： 球内接多面体．菁优网版 权所有 专题： 计算题；空间位置关系与距离． 分析： 可以从三个圆心上找关系，构建矩形利用对角线相等即可求解出答案． 解答： 解：设两圆的圆心分别为 O1、O2，球心为 O，公共弦为 AB，其中点为 E，则 OO1EO2 为矩形， 于是对角线 O1O2=OE= = ， ∵圆 O1 的半径为 4，∴O1E= = =2 ∴O2E═ =3 ∴圆 O2 的半径为 故选 D． 点评： 本题主要考查球的有关概念以及两平面垂直的性质，是对基础知识的考查．解决本题的关键在于得到 OO1EO2 为矩形． 10．（2013•郑州一模）在三棱锥 A﹣BCD 中，侧棱 AB、AC、AD 两两垂直，△ABC、△ACD、 △ADB 的面积分别为 、 、 ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A ． 2π B ． 4 π C ． 6π D ． 24π 考点： 球内接多面体；球的体积和表面积． 菁优网版 权所有 专题： 计算题；空间位置关系与距离． 分析： 三棱锥 A﹣BCD 中，侧棱 AB、AC、AD 两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角 线就是球的直径，求出长方体的三度，转化为对角线长，即可求三棱锥外接球的表面积． 解答： 解：三棱锥 A﹣BCD 中，侧棱 AB、AC、AD 两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的 对角线就是球的直径， ∵侧棱 AC、AC、AD 两两垂直，△ABC、△ACD、△ADB 的面积分别为 、 、 ， ∴ AB•AC= ， AD•AC= ， AB•AD= ∴AB= ，AC=1，AD= ∴球的直径为： ∴半径为 ∴三棱锥外接球的表面积为 =6π 故选 C． 点评： 本题考查三棱锥外接球的表面积，三棱锥转化为长方体，两者的外接球是同一个，以及长方体的对角线就 是球的直径是解题的关键所在． 11．（2013•河池模拟）一个四面体 A﹣BCD 中，AC=BD=3，AD=BC=4，AB=CD=5，那么 这个四面体的外接球的表面积为（ ） A ． 50π B ． 25π C ． D ． 考点： 球内接多面体；球的体积和表面积． 菁优网版 权所有 专题： 计算题；空间位置关系与距离． 分析： 由四面体 A﹣BCD 相对的棱长度相等，将其放置于长方体中，如图所示．由题意得该长方体的外接球就是 四面体 A﹣BCD 的外接球，因此算出长方体的对角线长得到外接球的直径，利用球的表面积公式加以计算， 可得四面体 A﹣BCD 的外接球的表面积． 解答： 解：将四面体 A﹣BCD 放置于长方体中，如图所示． ∵四面体 A﹣BCD 的顶点为长方体八个顶点中的四个， ∴长方体的外接球就是四面体 A﹣BCD 的外接球， ∵AC=BD=3，AD=BC=4，AB=CD=5， ∴长方体的对角线长为 =5， 可得外接球的直径 2R=5，所以 R= 因此，外接球的表面积为 S=4πR2=25π． 故选：B 点评： 本题给出相对棱长相等的四面体，求它的外接球的表面积．着重考查了长方体的性质、长方体的对角线长 公式和球的表面积公式等知识，属于中档题． 12．（2012•南宁模拟）已知 Rt△ABC 的顶点都在半径为 4 的球 O 面上，且 AB=3，BC=2， ∠ABC= ，则棱锥 O﹣ABC 的体积为（ ） A ． B ． C ． D ． 考点： 球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版 权所有 专题： 计算题；空间位置关系与距离． 分析： 先求 AC 的值，利用△ABC 外接圆是球 O 的截面圆，球心 O 在平面 ABC 的射影点为 AC 的中点 O′，求出 OO′，即可求得棱锥 O﹣ABC 的体积． 解答： 解：∵AB=3，BC=2，∠ABC= ，∴AC= △ABC 外接圆是球 O 的截面圆，球心 O 在平面 ABC 的射影点为 AC 的中点 O′，此时 OO′= = ∴棱锥 O﹣ABC 的体积为 = 故选 A． 点评： 本题考查棱锥体积的计算，考查球的截面圆，属于基础题． 13．在正四棱锥 S﹣ABCD 中，侧面与底面所成角为 ，则它的外接球的半径 R 与内径球 半径 r 的比值为（ ） A ． 5 B ． C ． 10 D ． 考点： 球内接多面体．菁优网版 权所有 专题： 计算题；压轴题． 分析： 由题意通过侧面与底面所成角为 ，设出正四棱锥的底面边长，求出斜高，侧棱长，求出内切球的半径与 正四棱锥底面边长的关系；利用外接球的球心与正四棱锥的高在同一条直线，结合勾股定理求出，外接球 的半径与底面边长的关系，即可得到比值． 解答： 解：由于侧面与底面所成角为 ，可知底面边长与两个对面斜高构成正三角形，设底面边长为 a，则斜高 也为 a，进而可得侧棱长为 ，高为 四棱锥的内切球半径就是上述正三角形的内切圆半径为 ， 其外接球球心必在顶点与底面中心连线上，半径为 R，球心为 O，顶点为 P，底面中心为 O1，底面一个顶 点为 B，则 OB=OP， 于是就有：（ ﹣R）2+（ ）2=R2 解得 R= ． 所以两者的比为： ． 故选 D 点评： 本题是中档题，考查学生的空间想象能力，计算能力推理能力．求出球的半径与正三棱柱的底面边长的关 系，是本题的关键． 14．已知球 O 的表面积为 20π，SC 是球 O 的直径，A、B 两点在球面上，且 AB=BC=2， ， 则三棱锥 S﹣AOB 的高为（ ） A ． B ． C ． D ． 1 考点： 球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版 权所有 专题： 计算题；压轴题；空间位置关系与距离． 分析： 将三棱锥 S﹣AOB 的高，转化为 C 到平面 AOB 的距离，利用等体积法，即可求得结论． 解答： 解：∵球 O 的表面积为 20π，∴球 O 的半径为 ， ∵SC 是球 O 的直径，∴三棱锥 S﹣AOB 的高等于 C 到平面 AOB 的距离，设为 h ∵AB=BC=2， ，∴cosA= = ∴sinA= ∴△ABC 外接圆半径为 =2 ∴O 到平面 ABC 的距离为 1 ∵ ， ∴ ∴h= 故选 C． 点评： 本题考查三棱锥的高，考查三棱锥的体积公式，考查学生的转化能力，属于中档题． 15．（2014•安阳一模）如图，平面四边形 ABCD 中，AB=AD=CD=1， ， 将其沿对角线 BD 折成四面体 A′﹣BCD，使平面 A′BD⊥平面 BCD，若四面体 A′﹣BCD 顶 点在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A ． B ． 3π C ． D ． 2π 考点： 球内接多面体；球的体积和表面积． 菁优网版 权所有 专题： 计算题；压轴题． 分析： 说明折叠后几何体的特征，求出三棱锥的外接球的半径，然后求出球的体积． 解答： 解：由题意平面四边形 ABCD 中，AB=AD=CD=1， ，将其沿对角线 BD 折成四面体 A′ ﹣BCD，使平面 A′BD⊥平面 BCD，若四面体 A′﹣BCD 顶点在同一个球面上，可知 A′B⊥A′C，所以 BC 是 外接球的直径，所以 BC= ，球的半径为： ；所以球的体积为： = ． 故选 A 点评： 本题是基础题，考查折叠问题，三棱锥的外接球的体积的求法，考查计算能力，正确球的外接球的半径是 解题的关键． 16．（2011•琼海一模）已知正六棱柱的 12 个顶点都在一个半径为 3 的球面上，当正六棱柱 的体积最大（柱体体积=底面积×高）时，其高的值为（ ） A ． B ． C ． D ． 考点： 球内接多面体．菁优网版 权所有 专题： 计算题；压轴题． 分析： 根据正六棱柱和球的对称性，球心 O 必然是正六棱柱上下底面中心连线的中点，作出过正六棱柱的对角面 的轴截面即可得到正六棱柱的底面边长、高和球的半径的关系，在这个关系下求函数取得最值的条件即可 求出所要求的量． 解答： 解：以正六棱柱的最大对角面作截面，如图．设球心为 O，正六棱柱的上下底面中心分别为 O1，O2，则 O 是 O1，O2 的中点．设正六棱柱的底面边长为 a，高为 2h，则 a2+h2=9．正六棱柱的体积为 ， 即 ，则 ，得极值点 ，不难知道这个极值点是极大值点， 也是最大值点．故当正六棱柱的体积最大，其高为 ． 故选 B 点评： 本题是在空间几何体、导数的应用交汇处命制，解题的关键是建立正六棱柱体积的函数关系式．考生如果 对选修系列四的《不等式选讲》较为熟悉的话，求函数 的条件可以使用三个正数的均 值不等式进行． 二．填空题（共 8 小题） 17．（2014•乌鲁木齐二模）直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的各顶点都在同一球面上，若 AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于 20π ． 考点： 球内接多面体．菁优网版 权所有 专题： 计算题；压轴题． 分析： 通过已知体积求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为 O'，球心为 O，在 RT△OBO'中，求出球的半径，然 后求出球的表面积． 解答： 解：在△ABC 中 AB=AC=2，∠BAC=120°， 可得 ， 由正弦定理，可得△ABC 外接圆半径 r=2， 设此圆圆心为 O'，球心为 O，在 RT△OBO'中， 易得球半径 ， 故此球的表面积为 4πR2=20π 故答案为：20π 点评： 本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外 接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力． 18．（2014•江西模拟）正四面体 ABCD 的棱长为 4，E 为棱 BC 的中点，过 E 作其外接球的 截面，则截面面积的最小值为 4π ． 考点： 球内接多面体．菁优网版 权所有 专题： 计算题；空间位置关系与距离；球． 分析： 根据题意，将四面体 ABCD 放置于如图所示的正方体中，则正方体的外接球就是四面体 ABCD 的外接球．因 此利用题中数据算出外接球半径 R= ，过 E 点的截面到球心的最大距离为 ，再利用球的截面圆性质可 算出截面面积的最小值． 解答： 解：将四面体 ABCD 放置于正方体中，如图所示 可得正方体的外接球就是四面体 ABCD 的外接球， ∵正四面体 ABCD 的棱长为 4， ∴正方体的棱长为 ， 可得外接球半径 R 满足 ，解得 R= E 为棱 BC 的中点，过 E 作其外接球的截面，当截面到球心 O 的距离最大时， 截面圆的面积达最小值， 此时球心 O 到截面的距离等于正方体棱长的一半， 可得截面圆的半径为 r= =2，得到截面圆的面积最小值为 S=πr2=4π． 故答案为：4π 点评： 本题给出正四面体的外接球，求截面圆的面积最小值．着重考查了正方体的性质、球内接多面体和球的截 面圆性质等知识，属于中档题． 19．（2014•呼伦贝尔二模）设 A、B、C、D 是半径为 2 的球面上的四点，且满足 AB⊥AC， AD⊥AC，AB⊥AD，则 S△ABC+S△ABD+S△ACD 的最大值是 8 ． 考点： 球内接多面体．菁优网版 权所有 分析： 根据题意，以 AB、AC、AD 为长、宽、高作长方体，可得长方体与三棱锥 D﹣ABC 有相同的外接球．从 而算出长方体的对角线长为 4，得 AB2+AC2+AD2=16．再利用基本不等式求最值即可算出 S△ABC+S△ABD+S△ACD 的最大值． 解答： 解：∵AB⊥AC，AD⊥AC，AB⊥AD， ∴以 AB、AC、AD 为长、宽、高，作长方体如图所示 可得长方体的外接球就是三棱锥 D﹣ABC 的外接球 ∵球的半径为 2，可得直径为 4 ∴长方体的对角线长为 4，得 AB2+AC2+AD2=16 ∵S△ABC= AB•AC，S△ABD= AB•AD，S△ACD= AC•AD ∴S△ABC+S△ABD+S△ACD= （AB•AC+AB•AD+AC•AD） ∵AB•AC+AB•AD+AC•AD≤AB2+AC2+AD2=16 当且仅当 AB=AC=AD 时，等号成立 ∴当且仅当 AB=AC=AD 时，S△ABC+S△ABD+S△ACD 的最大值为 8 故答案为：8 点评： 本题求内接于球的三棱锥的侧面积的最大值，着重考查了球内接多面体、长方体的性质和基本不等式求最 值等知识，属于中档题． 20．（2014•河南模拟）已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面是边长为 a 的正方形，所有侧棱长相等 且等于 a，若其外接球的半径为 R，则 等于 ． 考点： 球内接多面体．菁优网版 权所有 专题： 空间位置关系与距离． 分析： 画出图形，求出外接球的半径即可求出结果． 解答： 解：底面 ABCD 外接圆的半径是 ，即 AO= ． 则 PO= = = ， ∴四棱锥的外接球的半径为： ，即 R= ， ∴ = ． 故答案为： ． 点评： 本题考查几何体的外接球的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 21．（2012•辽宁）已知正三棱锥 P﹣ABC，点 P，A，B，C 都在半径为 的球面上，若 PA， PB，PC 两两垂直，则球心到截面 ABC 的距离为 ． 考点： 球内接多面体．菁优网版 权所有 专题： 计算题；压轴题． 分析： 先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化为正方 体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算 解答： 解：∵正三棱锥 P﹣ABC，PA，PB，PC 两两垂直， ∴此正三棱锥的外接球即以 PA，PB，PC 为三边的正方体的外接圆 O， ∵圆 O 的半径为 ， ∴正方体的边长为 2，即 PA=PB=PC=2 球心到截面 ABC 的距离即正方体中心到截面 ABC 的距离 设 P 到截面 ABC 的距离为 h，则正三棱锥 P﹣ABC 的体积 V= S△ABC×h= S△PAB×PC= × ×2×2×2=2 △ABC 为边长为 2 的正三角形，S△ABC= × ∴h= = ∴正方体中心 O 到截面 ABC 的距离为 ﹣ = 故答案为 点评： 本题主要考球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，点到 面的距离问题的解决技巧，有一定难度，属中档题 22．（2009•湖南）在半径为 13 的球面上有 A，B，C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则 （1）球心到平面 ABC 的距离为 12 ； （2）过 A，B 两点的大圆面与平面 ABC 所成二面角为（锐角）的正切值为 3 ． 考点： 球内接多面体．菁优网版 权所有 专题： 计算题；压轴题． 分析： （1）由题意说明△ABC 是直角三角形，平面 ABC 是小圆，圆心在 AC 的中点，利用勾股定理直接求出球 心到平面 ABC 的距离． （2）如图作出过 A，B 两点的大圆面与平面 ABC 所成二面角，直接求出它的正切值即可． 解答： 解：（1）AB=6，BC=8，CA=10，△ABC 是直角三角形，平面 ABC 是小圆，圆心在 AC 的中点 D， AO=13，AD=5，球心到圆心的距离就是球心到平面 ABC 的距离， 即：OD=12 （2）过 D 作 DE 垂直 AB 于 E，连接 OE 则∠OED 就是过 A，B 两点的大圆面与平面 ABC 所成二面角． 易得 DE=4 所以 tan∠OED= =3 故答案为：（1）12；（2）3． 点评： 本题是基础题，考查球的截面问题，二面角的求法，考查空间想象能力，计算能力，能够正确作出图形是 解好本题个前提，也是空间想象能力的具体体现． 23．正三棱锥 P﹣ABC 的四个顶点同在一个半径为 2 的球面上，若正三棱锥的侧棱长为 2 ， 则正三棱锥的底面边长是 3 ． 考点： 球内接多面体；棱锥的结构特征．菁优网版 权所有 专题： 计算题；作图题；压轴题． 分析： 画出正三棱锥的图形，设出底面边长，利用三角形相似求出 AE，求出底面三角形的高，设出底面边长，然 后求出正三棱锥的底面边长． 解答： 解：由题意画出正三棱锥的图形如图， 三角形 ABC 的中心为 E，连接 PE，球的球心 O，在 PE 上，连接 OA， 取 PA 的中点 F 连接 OF，则 PO=2=OA，PF= ，OF=1 △PFO∽△PAE 所以 ， AE= ，底面三角形的高为： 底面三角形的边长为：a a=3 故答案为：3 点评： 本题考查球内接多面体，棱锥的结构特征，考查作图能力，计算能力，是基础题． 24．与四面体的一个面及另外三个面的延长面都相切的球称为该四面体的旁切球，则棱长为 1 的正四面体的旁切球的半径 r= ． 考点： 球内接多面体．菁优网版 权所有 专题： 计算题；压轴题；新定义． 分析： 先根据题意作出图形，如图所示，圆 O 是棱长为 1 的正四面体 ABCD 的旁切球的大圆，AF 是正四面体 ABCD 的高，F 是底面三角形 BCD 的中心，AG 是大圆 O 的切线，G 为切点，设大圆的半径为 R，在三角形 ABC 中，求出 AE，在直角三角形 AEF 中，求出 AF，再利用△AOG∽△AEF，得出关于 R 的方程即可求出答案． 解答： 解：根据题意作出图形，如图所示，圆 O 是棱长为 1 的正四面体 ABCD 的旁切球的大圆，AF 是正四面体 A﹣BCD 的高，F 是底面三角形 BCD 的中心，AE 是侧面上的中线，AG 是大圆 O 的切线，G 为切点，设 大圆的半径为 R， 在三角形 ABC 中，AE= =ED， 在直角三角形 AEF 中，EF= ED= × = ， ∴AF= = ， 在三角形 AOG 和三角形 AEF 中，∵∠OAG=∠EAF，∠AGO=∠AFE=90°， ∴△AOG∽△AEF， ∴ 即 ， ∴R= ． 故答案为： ． 点评： 本小题主要考查球内接多面体、棱锥的几何特征、三角形相似等基础知识，考查运算求解能力，考查空间 想象能力．属于基础题． 参考答案与试题解析 一．填空题（共 8 小题） 1．过正三棱锥一侧棱及其半径为 R 的外接球的球心 O 所作截面如图，则它的侧面三角形的 面积是 ． 考点： 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．菁优网版 权所有 专题： 计算题；空间位置关系与距离． 分析： 底面正三角形在球的大圆上，且圆心是正三角形的中心，从而求出底和高． 解答： 解：由图可知，底面正三角形在球的大圆上， 则正三角形的高为 ，边长为 = R． 正三棱锥的高为 R． 则侧面三角形的底边长为 R， 高为 = ； 则 S= • R• R= ． 点评： 考查了学生的空间想象力，及组合体中面积，体积的求法． 2．一正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的可能图形为 ①②③ （只 填写序号）． 考点： 简单空间图形的三视图．菁优网版 权所有 专题： 计算题；空间位置关系与距离． 分析： 当截面的角度和方向不同时，球的截面不相同，应分情况考虑． 解答： 解：当截面与正方体的一面平行时，截面图形如③， 当截面不与正方体的一面平行，截面图形如①②． 故答案为：①②③． 点评： 截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关． 3．棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则 图中三角形（正四面体的截面）的面积是 ． 考点： 球内接多面体；棱锥的结构特征．菁优网版 权所有 专题： 作图题；证明题． 分析： 将截面图转化为立体图，求三角形面积就是求正四面体中的△ABD 的面积． 解答： 解：如图球的截面图就是正四面体中的△ABD， 已知正四面体棱长为 2 所以 AD= ，AC=1 所以 CD= 截面面积是： 故答案为： 点评： 本题考查球内接多面体以及棱锥的特征，考查空间想象能力，是中档题． 4．已知正三棱锥 S﹣ABC 内接于半径为 6 的球，过侧棱 SA 及球心 O 的平面截三棱锥及球 面所得截面如右图，则此三棱锥的侧面积为 ． 考点： 球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 菁优网版 权所有 专题： 计算题；压轴题． 分析： 根据图示，这个截面三角形图由原正三棱锥的一条棱，一个侧面三角形的中线和底面正三角形的中线围成， 正三棱锥的外接球的球心在底面正三角形的重心上，从而可求得侧面的底边长与高，故可求． 解答： 解：根据图示，这个截面三角形图由原正三棱锥的一条棱，一个侧面三角形的中线和底面正三角形的中线 围成，正三棱锥的外接球的球心在底面正三角形的重心上，于是有半径 R= 底面中线长 设 BC 的中点为 D，连接 SO ∵R=6 ∴AD=9， ∴OD=3，SD= = ，BC= ， ∴三棱锥的侧面积= × = ． 故答案为： 点评： 本题考查空间想象能力，关键是要抓住这个截面三角形图由原正三棱锥的一条棱，一个侧面三角形的中线 和底面正三角形的中线围成，正三棱锥的外接球的球心在底面正三角形的重心上． 5．（2012•桂林模拟）如图，已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的内切球， 则平面 ACD1 截球 O 的截面面积为 ． 考点： 球的体积和表面积．菁优网版 权所有 专题： 计算题；数形结合． 分析： 根据正方体和球的结构特征，判断出平面 ACD1 是正三角形，求出它的边长，再通过图求出它的内切圆的 半径，最后求出内切圆的面积 解答： 解：根据题意知，平面 ACD1 是边长为 的正三角形，且球与以点 D 为公共点的三个面的切点恰为三角 形 ACD1 三边的中点， 故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积， 则由图得，△ACD1 内切圆的半径是 ×tan30°= ， 则所求的截面圆的面积是π× × = ． 故选 A． 点评： 本题考查了正方体和它的内接球的几何结构特征，关键是想象出截面图的形状，考查了空间想象能力，数 形结合的思想 6．已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 内有一个球与正方体的各个面都相切，经过 DD1 和 BB1 作一个截面，正确的截面图是 （2） ． 考点： 棱柱的结构特征． 菁优网版 权所有 专题： 计算题；空间位置关系与距离． 分析： 由正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 内有一个球与正方体的各个面都相切，知经过 DD1 和 BB1 作一个截面，得到的 截面是一个长方形，里面包含一个圆，且这个圆的直径与长方形的宽相等，圆心是长方形的对角线的交点． 解答： 解：∵正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 内有一个球与正方体的各个面都相切， 经过 DD1 和 BB1 作一个截面， ∴得到的截面是一个长方形，里面包含一个圆， 且这个圆的直径与长方形的宽相等，圆心是长方形的对角线的交点， ∴正确的截面图是（2）． 故答案为：（2）． 点评： 本题考查棱柱的结构特征及其应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 7．已知空间中动平面α，β与半径为 5 的定球相交所得的截面的面积为 4π与 9π，其截面圆 心分别为 M，N，则线段|MN|的长度最大值为 ． 考点： 球的体积和表面积．菁优网版 权所有 专题： 计算题；空间位置关系与距离；球． 分析： 画出图形，利用两个截面圆的圆心距与截面圆的圆心与球的球心的距离的关系，判断 MN 的距离的最大值 的位置，求出距离即可． 解答： 解：由题意可知几何体的图形如图，截面圆的圆心与球的球心三点中，MO，NO 是定值，当三点共线时， MN 距离最大， 空间中动平面α，β与半径为 5 的定球相交所得的截面的面积为 4π与 9π，OM= = ， ON= =4， MN 的最大距离为： ． 故答案为： ． 点评： 本题考查球的截面圆的位置关系，考查空间想象能力以及计算能力． 8．球 O 的球面上有三点 A，B，C，且 BC=3，∠BAC=30°，过 A，B，C 三点作球 O 的截 面，球心 O 到截面的距离为 4，则该球的体积为 ． 考点： 球的体积和表面积．菁优网版 权所有 专题： 空间位置关系与距离． 分析： 根据正弦定理，求出△ABC 的外接圆半径 r，进而根据球心 O 到截面的距离 d=4，结合 R= 求出球 的半径，代入球的体积公式，可得答案． 解答： 解：∵△ABC 中 BC=3，∠BAC=30°， ∴△ABC 的外接圆半径 r 满足： 2r= =6． 故 r=3． 又∵球心 O 到截面的距离 d=4， ∴球的半径 R= =5． 故球的体积 V= = ， 故答案为： 点评： 本题主要考查球的球面面积，涉及到截面圆圆心与球心的连垂直于截面，这是求得相关量的关键． 二．解答题（共 1 小题） 9．（2014•上海二模）设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并 浸入半径为 r 的一个实心球，使球与水面恰好相切，试求取出球后水面高为多少？ 考点： 组合几何体的面积、体积问题． 菁优网版 权所有 专题： 计算题；空间位置关系与距离． 分析： 由题意求出球的体积，求出圆锥的体积，设出水的高度，求出水的圆锥的体积，利用 V 水+V 球=V 容器，求出 圆锥内水平面高． 解答： 解：如图．在容器内注入水，并放入一个半径为 r 的铁球，这时水面记为 AB， 将球从圆锥内取出后，这时水面记为 EF． 三角形 PAB 为轴截面，是正三角形， 三角形 PEF 也是正三角形，圆 O 是正三角形 PAB 的内切圆． 由题意可知，DO=CO=r，AO=2r=OP，AC= r ∴V 球= ，VPC= =3πr3 又设 HP=h，则 EH= h ∴V 水= = ∵V 水+V 球=VPC 即 + =3πr3， ∴h= 即圆锥内的水深是 ． 点评： 本小题主要考查球的体积和表面积、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）等基础知识，考查运算求解能力，考查 转化思想．属于基础题． 高三联赛数学试题 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 3 分，共 42 分．请把答案填写在答卷纸相应位置．．．．．．． 上 1.  1,0,1A   ，  0,1,2,3B  ，求 A B = ▲ . 2. 函数 y＝lg(x－1)＋ 2－x的定义域为 ▲ . 3. 计算： 100lg20 log 25  ▲ . 4. 函数    log 2 1 2af x x   ，  1,0  aa 的图像恒过定点___________． 5．已知      )1(32 )1(1)( 2 xx xxxf ，则 )]2([ ff ▲ 6．设 a R ，则 1a  是 1 1a  的 条件． 7． 已知函数 2( ) 3f x ax bx a b    是偶函数，且其定义域为[ 1,2 ]a a ，则 a +b= ▲ 8．函数 2 2( ) log ( 2 )f x x x  的单调递减区间为 ▲ ． 9. （14）若对任意 0x＞ ， 2 3 1 x ax x   恒成立，则 a 的取值范围是 ． 10. 设 ( )f x 为定义在 R 上的奇函数，当 0x≥ 时， ( ) 2 2xf x x a   ， 则 ( 1)f   ▲ . 11 函数 ( ) lg 3f x x x   在区间 ( , )a b 上有一个零点（ ,a b 为连续整数），则 a b = ▲ . 12．已知函数   2 , 1, 3, 1 x a xf x ax x      在实数集 R 上为单调增函数，则实数 a 的取值范围是 _________． 13．下列判断正确的是 ▲ （把正确的序号都填上）． ①函数 y＝|x－1|与 y＝ x－1，x>1 1－x，x<1 是同一函数； ②函数 y= 1 2   x x 在(1,+∞)内是单调递增函数； ③函数    xxxf  1log 2 2 是奇函数； ④函数 xey  与 xey  的图象关于坐标原点对称． 14. 已知函数 2( ) | log |f x x ，正实数 ,m n 满足 , ( ) ( )m n f m f n 且 ，若 ( )f x 在区间 2[ , ]m n 上的最大值为 2，则 m n  ▲ . 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤. 15．（本小题 14 分） 已知集合  | 2 3 4 ,A x x x    或  2| 2 15 0B x x x    ． 求：（1） A B ；（2）若  |C x x a  ，且 B C B ，求 a 的范围． 16．⑴求值： 1 01 3 2 8 1 10.25 lg16 2lg527 2 2              ； ⑵已知函数   4 2 , 1, log , 1 x xf x x x     ，求满足   1 4f x  的 x 值． 17．（本小题满分 14 分） 已知二次函数 ( )f x 满足 2( 1) ( 1) 2 4 ;f x f x x x     （1）求函数 ( )f x 的解析式 ; （2）求当  ax ，0 （a ＞0）时 ( )f x 的最小值 ( )g a . 18.（本题满分 16 分）已知 )(xf 在区间（-∞，+∞）上是偶函数，当 x≥0 时， 32)( 2  xxxf ⑴ 用分段函数的形式写出函数 )(xf 的表达式 ⑵ 作出函数 )(xf 的简图 ⑶ 指出函数 )(xf 的单调区间 19. （本题满分 16 分） 某旅游点有 50 辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日 115 元．根据 经验，若每辆自行车的日租金不超过 6 元，则自行车可以全部租出；若超过 6 元，则每提高 1 元，租不出去的自行车就增加 3 辆． 规定：每辆自行车的日租金不超过 20 元，每辆自行车的日租金 x 元只取整数，并要求 出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用 y 表示出租所有自行车的日净 收入（即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得）． （1）求函数 )(xfy  的解析式及定义域； （2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？ 日净收入最多为多少元？ 20 （本题满分 16 分） 已知函数   ),0(2 Raxx axxf  （1）判断函数  xf 的奇偶性； （2）若  xf 在区间 ,2 是增函数，求实数 a 的取值范围。 高三数学期末考试试题(理科) 一、选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题 给 出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.) 1、设集合 2 1{ | log 1}, { | 0},2 xA x x B x A Bx       ( ) A、 }20|{  xx B、{ | 2 1}x x   C、{ | 0 1}x x  D、 { | 2 2}x x   2、已知 nS 是数列 }{ na 的前n 项和， nSn  )1(log 2 ，则 }{ na 是 ( ) A、等差数列 B、等比数列 C、既是等差数列又是等比数列 D、既不是等差数列又不是等比数列 3、若函数 ( )f x 的值域是 ]3,2 1[ ，则函数 )( 1)()( xfxfxF  的值域是（ ） A、 ]3,2 1[ B、 ]3 10,2[ C、 ]3 10,2 5[ D、 ]3 10,3[ 4、函数 ( ) ( 3) xf x x e  的单调递增区间是（ ） A、 )2,( B、 )3,0( C、 )4,1( D、 ),2[  5、 1 1x  是 1x  成立的（ ） A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、非充分非必要条件 6、若点 A 的坐标为 )2,3( ，F 为抛物线 xy 22  的焦点，点 M 在该抛物线上移动， 为使得 |||| MFMA  取得最小值，则点 M 的坐标（ ） A、 )0,0( B、 )1,1( C、 )2,2( D、 )1,2 1( 7、已知椭圆 2 2 2 2 1 ( 0, 0)x y a ba b     ，过椭圆的右焦点作 x 轴垂线交椭圆于 BA, 两 点，若以 || AB 为直径的圆过坐标原点，则椭圆的离心率e 为（ ） A、 2 15  B、 2 13  C、 2 1 D、 2 3 8、在 ABC 中， 2 2tan tana B b A ，则 ABC 一定是（ ） A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等腰三角形或直角三角形 D、等腰直角三角形 9、已知向量 )sin3,cos3(),sin2,cos2(   ba  ，若 a 与b  的夹角为 60 ，则 直线 02 1sincos   yx 与圆 2 1)sin()cos( 22   xx 的位置关系是 （ ） A、相切 B、相交 C、相离 D、随 , 的值而定 10、已知向量 ) 5 ,2(), 5 ,2( yxbyxa   ，曲线 1ba  上一点 P 到 )0,3(F 的距离 为 6，Q 为 PF 中点，O 为坐标原点，则 || OQ （ ） A、1 B、2 C、5 D、1 或 5 11、若方程 01)1(2  baxax 的两根分别为椭圆和双曲线的离心率，则 a b 的范围 是（ ） A、 12  a b B、 1,2  a b a b C、 2 12  a b D、 2,2 1  a b a b 12、已知曲线 22: xyC  点 )2,0( A 及点 ),3( aB 从点 A 观察点 B 要使视线不被曲 线C 挡住，则实数 a 的范围（ ） A、 ),4(  B、 )4,( C、 ),10(  D、 )10,( 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13、已知 )(xf 为偶函数，且  6 6 16)( dxxf ，则  6 0 )( dxxf __________。 14、各项不为零的等差数列 }{ na 中，有 )(2 113 2 7 aaa  ，数列 }{ nb 是等比数列， 且 77 ab  ，则 86bb __________。 15、已知函数 )(xfy  的定义域为 R，且 )()( xfxf  ， )2 1()2 1( xfxf  ， 则  )5()4()3()2()1( fffff __________。 16、设函数 1)3sin(sin)3cos(cos)(   xxxxxf ，有下列结论： ①点 )0,12 5(  是函数 )(xf 图象的一个对称中心； ②直线 3 x 是函数 )(xf 图象的一条对称轴； ③函数 )(xf 的最小正周期是 ； ④将函数 )(xf 的图象向右平移 6  个单位后，对应的函数是偶函数。 其中所有正确结论的序号是 。 三、解答题：（解答应写出必要的文字说明、 证明过程及演算步骤.) 17 、（ 本 小 题 满 分 12 分 ） 已 知 函 数 nmxf  )( ， 其 中 )cos3,cos(sin xxxm   ， )sin2,sin(cos xxxm   ，其中 0 ， 若 )(xf 相邻两对称轴间的距离等于 2  。 （1）求 的值； （ 2 ） 在 ABC 中 ， cba ,, 分 别 是 角 CBA 、、 的 对 边 ， 1)(,3,3  Afcba ，求 ABC 的面积。 18、（本小题满分 12 分）已知数列 }{ na 的首项 3,2,1,1 2,3 2 11   na aaa n n n （1）证明：数列 }11{  na 是等比数列； （2）求数列 }{ na 的通项公式。 19、（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 0321222  xyx 的圆心为 Q，过点 )2,0(P 且斜率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A,B。 （1）求 k 的取值范围； （2）是否存在常数 k ，使得向量 OBOA  与 PQ 共线？如果存在，求 k 的值； 如果不存在，请说明理由。 20、（本小题满分 12 分）已知函数 xaxxf ln)(  ，其中 a 为实常数。设 e 为自 然对数的底数。 （1）当 1a 时，求 )(xf 的极值； （2）若 )(xf 在区间 ],0( e 上的最大值为 3 ，求 a 的值。 21、（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 到两点 )3,0(),3,0(  的 距离之和等于 4，设点 P 的轨迹为 C，直线 1 kxy 与 C 交于 A,B 两点。 （1）写出 C 的方程； （2）若 OBOA  ,求k 的值； （3）若点 A 在第一象限，证明：当 0k 时，恒有 |||| OBOA  。 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按 所做的第一个题记分。 22、（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图所示， AB 是⊙O 的直径，F 为⊙O 上的点， BAF 的平分线CA 交⊙ O 于点C ，过点C 作CD AF ，交 AF 的延长线于点 D ，作CM AB ，垂 足为点 M ，求证： （1）CD 是⊙O 的切线。 （2） DADFMBAM  。 23、（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 直角坐标系中，已知曲线C 的参数方程为： 1 4cos ( )2 4sin x y        为参数 ；在极 坐标系中，已知直线l 过点 (1, )A  ，且倾斜角为 3 4  。 （1）求直线l 的极坐标方程。 （2）以极点为直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，求直线l 被曲线C 截 得的线段长。 24、（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 关于 x 的不等式 1 4ax ax a    。 （1）当 2a  时，求此不等式的解集。 （2）若此不等式的解集为 R ，求实数 a 的取值范围。 高三数学新题型练习题(附参考答案) 1. 已知函数 f（x）= 2 33 cos x sin x cos x 2   ，xR (Ⅰ)设角  的顶点在坐标原点，始边在 x 轴的非负半轴上，终边过点 P（ 1 3 2 2 ， ），求 f（  ） 的值。 （Ⅱ）试讨论函数 f（x）的基本性质（直接写出过程） 2. 曲线 C 是平面内与两个定点 1F （-1，0）和 2F （1，0）的距离的积等于常数 2a （a>1） 的点的轨迹。给出下列三个结论： 1 曲线 C 过坐标原点； 2 曲线 C 关于坐标原点对称； 3 若点 P 在曲线 C 上，则△ 1F P 2F 的面积大于 1 2 2a 。 其中，正确的结论的序号是_______________ 3. △ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，向量 m  =（-1，1）， n  =（cosBcosC， sinBsinC- 3 2 ），且 m  ⊥ n  。 1 求 A 的大小 2 现给出下列四个条件： Ⅰa=1；Ⅱb=2sinB；Ⅲ2c-（ 3 +1）b=0；ⅣB=45° 试从中再选择两个条件以确定△ABC，求出你所确定的△ABC 的面积。 （注：只需选择一个方案答题，若用多种方案答题，则按第一种方案给分） 4. 4.