2018-2019学年云南省玉溪一中高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2018-2019学年云南省玉溪一中高一上学期期末考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年云南省玉溪一中高一上学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．设集合，，，则＝（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用集合的交集、补集的定义即可得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由题意，，则.‎ 故答案为D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合的补集与交集，属于基础题。‎ ‎2．半径为1的扇形面积为，则扇形的圆心角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设扇形的圆心角是，则，解得，故选C.‎ ‎3．已知是第二象限角，其终边与单位圆的交点为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由三角函数的定义得到，，由是第二象限角得到，求解即可。‎ ‎【详解】‎ 由题意知，，解得，.‎ 故答案为A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的定义，考查了解方程，考查了计算能力，属于基础题。‎ ‎4．函数的零点所在的区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】作出指数函数的图象，再作出的图象，观察两条曲线的交点的横坐标的范围，猜测答案为C，下面验证，，，根据零点存在原理，可知函数的零点所在的区间是，选C.‎ ‎5．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数，令，，，则：（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由函数是上的偶函数，可以得到，由指数函数的性质可以得到，再利用函数在区间上的单调性即可得到答案。‎ ‎【详解】‎ 因为函数是定义在上的偶函数，所以，‎ 又因为是上的增函数，所以，‎ 由于函数在区间上是增函数，则,‎ 即.‎ 故答案为A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了偶函数的性质，考查了函数的单调性，考查了指数函数的性质，属于基础题。‎ ‎6．已知为奇函数，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】当时，，可得到的表达式，然后利用奇函数的性质，即可得到时，的表达式，即为的表达式。‎ ‎【详解】‎ 当时，，则，‎ 由于函数是奇函数，满足，‎ 故时，，‎ 即.‎ 故答案为D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数解析式的求法，考查了奇函数的性质，属于基础题。‎ ‎7．平行四边形中，若点满足，，设，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】画出平行四边形，在上取点，使得，在上取点，使得 ‎，由图中几何关系可得到，即可求出的值，进而可以得到答案。‎ ‎【详解】‎ 画出平行四边形，在上取点，使得，在上取点，使得，则，‎ 故，，则.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理的应用，考查了平行四边形的性质，属于中档题。‎ ‎8．函数的部分图像是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：∵，∴为奇函数，所以排除答案，‎ 令，则或，所以或，所以，当时，‎ 所以选A.‎ ‎【考点】1.函数的奇偶性；2.函数图象.‎ ‎9．已知函数，则下列结论错误的是（ ）‎ A．的一个周期为 B．的图像关于点对称 C．的图像关于直线对称 D．在区间的值域为 ‎【答案】D ‎【解析】对选项逐个分析，，可知A正确；由，可知B、C都正确；在区间的值域为，D错误。‎ ‎【详解】‎ 由于最小正周期，故是函数的一个周期，选项A正确；‎ 令，，故的图像关于点对称，选项B正确；‎ 当时，，故的图像关于直线对称，选项C正确；‎ 当时，，则，故选项D错误。‎ 故答案为D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的周期、对称轴、对称中心，及值域，考查了计算能力，属于中档题。‎ ‎10．已知是上的单调递增函数，那么的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由是上的单调递增函数，可得到，解不等式组即可得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由题意得解得.‎ 故答案为C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性，考查了分段函数的性质、指数函数的性质及一次函数的性质，属于基础题。‎ ‎11．将函数图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】通过对三角函数的伸缩、平移变换，得到偶函数，则时，所得函数取得最值，即可求出的表达式，从而选出答案。‎ ‎【详解】‎ 将函数图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到，再将所得图象向左平移个单位长度得到，令时，，即，则，当时，.故答案为D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数图象的伸缩、平移变换，考查了三角函数图象的性质，属于基础题。‎ ‎12．函数满足：，已知函数与的图象共有4个交点，交点坐标分别为,,,，则：（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数的图象和的图象都关于（0，2）对称，从而可知4个交点两两关于点（0，2）对称，即可求出的值。‎ ‎【详解】‎ 因为函数满足：，所以的图象关于（0，2）对称，‎ 函数，由于函数的图象关于（0，0）对称，故的图象也关于（0，2）对称，‎ 故.‎ 故答案为C.‎ ‎【点睛】‎ 若函数满足，则函数的图象关于点对称。‎ 二、填空题 ‎13．函数 的图象恒过定点, 点在幂函数的图象上，则=____.‎ ‎【答案】27‎ ‎【解析】先求出定点的坐标，然后代入幂函数中，即可求出幂函数的方程，进而可以求出.‎ ‎【详解】‎ 当时，函数，故，设幂函数，则，解得，故，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数函数的性质，幂函数的性质，考查了计算能力，属于基础题。‎ ‎14．已知，，，且三点共线，则____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由三点共线，可以得到平行于，列出式子即可求出的值。‎ ‎【详解】‎ 由题意，，，则，解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三点共线问题，属于基础题。‎ ‎15．如果，那么的值为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由可解出，和的值，即可得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由题意得，解得，，，‎ 则.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数求值，考查了同角三角函数关系，考查了计算能力，属于基础题。‎ ‎16．如图，是等腰直角三角形，，是线段上的动点，且，则的取值范围是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】以所在直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，即可得到的坐标，设，即可表示出的表达式，然后利用二次函数知识可求出的范围。‎ ‎【详解】‎ 以所在直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，设，则，‎ 所以，，‎ 故，‎ 当时，取得最小值为，当或时，取得最大值为，‎ 故的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量的性质，向量的数量积，考查了二次函数的性质，属于中档题。‎ 三、解答题 ‎17．已知全集，集合，集合.‎ ‎（1）求，；‎ ‎（2）已知集合，若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】(1)先求出集合和，即可求出，；(2)由，可知集合是的子集，分两种情况：和，分别讨论即可。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，解得或，故，‎ 则，,.‎ ‎（2）因为，所以 若，即，即，符合题意；‎ 若，即，因为，所以，所以 综上所述，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合的交集、并集和补集，考查了集合间的包含关系，考查了不等式的解法，属于基础题。‎ ‎18．已知，，且与的夹角为.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若 ，求实数的值.‎ ‎【答案】(1)2(2) ‎ ‎【解析】（1）由即可得到答案；(2)由，得到，即可求出的值。‎ ‎【详解】‎ ‎（1），.‎ ‎（2）因为，所以，‎ 即：，，解得：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量的数量积运算，考查了向量的模，考查了向量垂直的性质，考查了计算能力，属于中档题。‎ ‎19．已知函数的反函数为，．‎ ‎（1）求的解析式，并指出的定义域；‎ ‎（2）设，求函数的零点.‎ ‎【答案】(1) 定义域为 (2)见解析 ‎【解析】(1)先求出的反函数，从而得到的表达式，进而得到的表达式，再由对数的性质即可求出的定义域；(2)函数的零点是方程的解，结合的值域即可求出所求零点。‎ ‎【详解】‎ ‎（1），，‎ 解不等式组可得的定义域为.‎ ‎（2）函数的零点是方程的解. ‎ ‎， ‎ 因为，所以，‎ 所以，即的值域为 ‎ 若，则方程无解；‎ 若，则，所以，方程有且只有一个解；‎ 若，则，所以，方程有两个解. ‎ 综上所述：‎ 若，则无零点；‎ 若，则有且只有一个零点；‎ 若，则有两个零点.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了反函数知识，考查了函数解析式的求法，考查了函数的定义域，考查了函数零点问题，属于中档题。‎ ‎20．已知.‎ ‎（1）将化为最简形式；‎ ‎（2）若，且，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由三角函数诱导公式化简即可；（2）由（1）知，从而得到，结合的范围可以得到，即可求出的值，即可得到答案。‎ ‎【详解】‎ ‎（1） ‎ ‎（2）①. ‎ 平方可得，，又，所以，，‎ ‎，所以②. ‎ 由①②可得：，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数诱导公式，考查了同角三角函数的基本关系，考查了三角函数求值，属于中档题。‎ ‎21．已知函数的部分图像如图所示，其中.‎ ‎（1）求 的值；‎ ‎（2）求函数的单调递增区间； ‎ ‎（3）解不等式．‎ ‎【答案】（I）；（II）；（III）.‎ ‎【解析】（I）根据直线过的两个点的坐标，求得的值.利用三角函数图像部分的零点和最小值点间的距离，求得的值，利用，求得的值.（II）先利用三角函数的单调性，求得当时函数的递增区间，结合函数图像可求得函数函数的递增区间.（III）根据图像可知函数在时符合题意.当时，，解三角不等式求得的取值范围.两个取值范围合并求得不等式的解集.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由题知 ‎ 由的图像知，‎ 得 ‎ 由 故 ‎ ‎（Ⅱ）当时。‎ 令得 ‎.‎ 所以函数的增区间为 ‎ ‎（Ⅲ）由图像知当时恒成立 当时，解得 综上，不等式的解集是 ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用函数的图像求函数的解析式，考查三角函数的单调区间以及解三角不等式，属于中档题.‎ ‎22．已知函数 且是奇函数．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若，对任意都有恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）设 且，若，是否存在实数使函数在上的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2） (3)见解析 ‎【解析】（1）由奇函数的性质，可求出的值；（2）由，可以求出的范围，进而可以得到的单调性，然后利用奇函数的性质，可以得到，从而得到对任意都有恒成立，利用二次函数的性质即可求出的取值范围；（3）由可求出，假设存在实数，构造函数，则，对进行分类讨论，即可判断的值。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为的定义域为，且为奇函数，‎ 所以，解得.检验：当时，，‎ 对任意，都有，即是奇函数，所以成立。‎ ‎（2）由（1）可得，由可得 因为，所以，解得，‎ 则在单调递减，在单调递增，‎ 所以在单调递减，‎ 由可得，‎ 所以对任意都有恒成立，‎ 即对任意恒成立，‎ 所以，解得.‎ ‎（3），‎ 由可得，即，‎ 因为，所以.‎ 所以，易知在单调递增.‎ 令，则，‎ 再令，则 因为，，‎ ‎，‎ 所以.因为在有意义，‎ 所以对任意，都有恒成立，‎ 所以，即 所以，所以. ‎ 二次函数图像开口向上，对称轴为直线，‎ 因为，所以，‎ 对称轴始终在区间的左侧 所以在区间单调递增，‎ 当时，，‎ 时，，‎ 假设存在满足条件的实数，则：‎ 若，则为减函数，，‎ 即，所以，舍去；‎ 若，则为增函数，，‎ 即，所以，舍去.‎ 综上所述，不存在满足条件的实数.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了奇函数的性质，考查了函数单调性的应用，考查了不等式恒成立问题，考查了二次函数、指数函数、对数函数的综合问题，属于较难题。‎