【数学】广东省中山市2020届高三上学期期末考试试题（文）（解析版）

【数学】广东省中山市2020届高三上学期期末考试试题（文）（解析版）

广东省中山市2020届高三上学期期末考试数学试题（文）‎ 一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意得，‎ ‎∴．选D．‎ ‎2.已知是虚数单位，复数满足，则（ ）‎ A. B. C. D. 5‎ ‎【答案】A ‎【解析】依题意，‎ 所以.‎ 故选：A.‎ ‎3.计算的结果为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 所以选B.‎ ‎4.“”是直线与圆相切的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】由圆，可得圆心为，半径．‎ ‎∵直线与圆相切，∴，∴，∴“”是直线与圆相切的充要条件，故选C．‎ ‎5.下列四个正方体图形中，，为正方体的两个顶点，，，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（ ）‎ A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④‎ ‎【答案】C ‎【解析】对于①，连接如图所示，由于，根据面面平行的性质定理可知平面平面，所以平面.‎ 对于②，连接交于，由于是中点，不是的中点，所以在平面内与相交，所以直线与平面相交.‎ 对于③，连接，则，而与相交，即与平面相交，所以与平面相交.‎ 对于④，连接，则，由线面平行的判定定理可知平面.‎ 综上所述，能得出平面的图形的序号是①④.‎ 故选：C.‎ ‎6.若,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，，，‎ 令，则在上是单调增函数.‎ 又，所以 即.故选D.‎ ‎7.下图是某公司2018年1月至12月空调销售任务及完成情况的气泡图，气泡的大小表示完成率的高低，如10月份销售任务是400台，完成率为90%，则下列叙述不正确的是（ ）‎ A. 2018年3月的销售任务是400台 B. 2018年月销售任务的平均值不超过600台 C. 2018年第一季度总销售量为830台 D. 2018年月销售量最大的是6月份 ‎【答案】D ‎【解析】对于选项A，由图可得3月份的销售任务是400台，所以A正确．‎ 对于选项B，由图形得2018年月销售任务的平均值为 ‎，所以B正确．‎ 对于选项C，由图形得第一季度的总销售量为台，所以C正确．‎ 对于选项D，由图形得销售量最大的月份是5月份，为800台，所以D不正确．‎ 故选D．‎ ‎8.已知满足不等式组则的最小值为（ ）‎ A. 2 B. C. D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】不等式组对应的可行域如图所示，‎ 因为所以z表示可行域内一点到直线x+y-1=0距离的倍，由可行域可知点A（2,0）到直线x+y-1=0的距离最短，故故选D.‎ 点睛：本题的关键是找到的几何意义，要找到的几何意义，必须变形，所以z表示可行域内一点到直线x+y-1=0距离的倍.突破了这一点，后面的解答就迎刃而解了.‎ ‎9.已知函数的最小正周期是，若，则（ ）‎ A. B. C. 1 D. -1‎ ‎【答案】D ‎【解析】由于的最小正周期为，所以，所以.所以.由得.所以 ‎.‎ 故选：D.‎ ‎10.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，，若，当阳马体积最大时，则堑堵的外接球体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】依题意可知平面.设，则.，当且仅当时取得最大值.依题意可知是以为斜边的直角三角形，所以堑堵外接球的直径为，故半径.所以外接球的体积为.‎ 特别说明：由于平面，是以为斜边的直角三角形，所以堑堵外接球的直径为为定值，即无论阳马体积是否取得最大值，堑堵外接球保持不变，所以可以直接由直径的长，计算出外接球的半径，进而求得外接球的体积.‎ 故选：B.‎ ‎11.已知数列是各项均为正数的等比数列，为数列的前项和，若，则的最小值为（ ）‎ A. 9 B. 12 C. 16 D. 18‎ ‎【答案】D ‎【解析】由得，所以.所以.当且仅当时取得最小值.‎ 故选：D.‎ ‎12.已知函数（其中无理数），关于的方程有四个不等的实根，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】依题意可知函数的定义域为.且 ‎.所以在上递增，在上递减，且，由此画出的图像如下图所示.‎ 令，则的单调性与相同，且.‎ 关于的方程有四个不等的实根，所以，即在上各有一实根.令，所以，即，所以.所以实数的取值范围是.‎ 故选：C 二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.‎ ‎13.等差数列的前项和为，若，是方程的两根，则：__________.‎ ‎【答案】52‎ ‎【解析】由于，是方程的两根，所以，所以.‎ 故答案为：.‎ ‎14.如图所示，已知正方形，以对角线为一边作正，现向四边形区域内投一点，则点落在阴影部分的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设正方形的边长为2，则.‎ ‎∵为正三角形 ‎∴‎ ‎∴阴影部分面积为 ‎∴向四边形区域内投一点，则点落在阴影部分的概率为 故答案为.‎ ‎15.已知向量与的夹角是，且，则向量与的夹角是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由两边平方并化简得，即，即.所以，由于，所以.‎ 故答案为：.‎ ‎16.已知函数，若有，则实数取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，‎ ‎∴函数在R上为增函数，‎ 由题意得，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴，解得．‎ ‎∴实数的取值范围是．‎ 三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.设为数列的前项和，已知，.‎ ‎（1）证明为等比数列；‎ ‎（2）判断，，是否成等差数列？并说明理由.‎ ‎（1）证明：∵，，∴，‎ 由题意得，，‎ ‎∴是首项为2，公比为2的等比数列.‎ ‎（2）解：由（1），∴.‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即，，成等差数列.‎ ‎18.为检查某工厂所生产的8万台电风扇的质量，抽查了其中20台的无故障连续使用时限（单位：小时） 如下：‎ ‎248 256 232 243 188 268 278 266 289 312‎ ‎274 296 288 302 295 228 287 217 329 283‎ 分组 频数 频率 频率/组距 总计 ‎0.05‎ ‎（1）完成频率分布表，并作出频率分布直方图；‎ ‎（2）估计8万台电风扇中有多少台无故障连续使用时限不低于280小时；‎ ‎（3）用组中值（同一组中的数据在该组区间的中点值）估计样本的平均无故障连续使用时限.‎ 解：（1）频率分布表及频率分布直方图如下所示：‎ 分组 频数 频率 频率/组距 ‎1‎ ‎0.05‎ ‎0.0025‎ ‎1‎ ‎0.05‎ ‎0.0025‎ ‎2‎ ‎0.10‎ ‎0.0050‎ ‎3‎ ‎0.15‎ ‎0.0075‎ ‎4‎ ‎0.20‎ ‎0.0100‎ ‎6‎ ‎0.30‎ ‎0.0150‎ ‎2‎ ‎0.10‎ ‎0.0050‎ ‎1‎ ‎0.05‎ ‎0.0025‎ 总计 ‎20‎ ‎1.00‎ ‎0.05‎ ‎（2）（万）.‎ 答：估计8万台电扇中有3.6万台无故障连续使用时限不低于280小时.‎ ‎（3）（小时）.‎ 答：样本的平均无故障连续使用时限为269小时.‎ ‎19.已知的三个内角，，所对的边分别为，，.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，试判断的形状.‎ 解：（1）∵，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴或（舍去），‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，，‎ ‎∴或，，为锐角.‎ ‎∴（舍去），‎ ‎∴，‎ ‎∴为直角三角形.‎ ‎20.如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D1—ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE.‎ ‎(1)证明：BE⊥平面D1AE；‎ ‎(2)设F为CD1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使得MF∥平面D1AE，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ 解：(1)证明连接BE，‎ ‎∵ABCD为矩形且AD＝DE＝EC＝BC＝2，‎ ‎∴∠AEB＝90°，即BE⊥AE，‎ 又平面D1AE⊥平面ABCE，‎ 平面D1AE∩平面ABCE＝AE，BE⊂平面ABCE，‎ ‎∴BE⊥平面D1AE.‎ ‎(2)解AM＝AB，取D1E的中点L，连接AL，FL，‎ ‎∵FL∥EC，EC∥AB，∴FL∥AB且FL＝AB，‎ ‎∴FL∥AM，FL=AM ‎∴AMFL为平行四边形，∴MF∥AL，‎ 因为MF不在平面AD1E上， AL⊂平面AD1E，所以MF∥平面AD1E.‎ 故线段AB上存在满足题意的点M，且＝.‎ ‎21.已知函数，其中为自然对数的底数.‎ ‎（1）求函数的最小值；‎ ‎（2）若都有，求证：.‎ 解：（1）∵，∴，‎ ‎∴当时，，函数单调递减，‎ 当时，，函数单调递增，‎ ‎∴.‎ ‎（2）证明：∵，都有，‎ ‎∴即，‎ 设，，‎ ‎∴，‎ 令，，∴，∴在上单调递增，‎ ‎∵，，∴存在唯一使得，‎ ‎∴当时，，函数单调递增，‎ 当时，，函数单调递减，‎ ‎∴，‎ ‎∵，，‎ ‎∴即，‎ ‎∴，‎ 令，，‎ ‎∵，‎ ‎∴上单调递增，∴，‎ ‎∵，，‎ ‎∴.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22.在直角坐标系中,曲线经过伸缩变换后得到曲线.以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求曲线的参数方程;‎ ‎(2)若分别是曲线上的动点,求的最大值.‎ 解：(1)曲线经过伸缩变换,可得曲线的方程为,‎ ‎∴其参数方程为为参数);‎ 曲线的极坐标方程为,即,‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为,即,‎ ‎∴其参数方程为为参数).‎ ‎(2)设,则到曲线的圆心的距离 ‎,‎ ‎∵,∴当时,.‎ ‎∴.‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23.已知函数.‎ ‎（1）若不等式的解集，求实数的值.‎ ‎（2）在（1）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围.‎ 解：（1）∵函数，‎ 故不等式，即，‎ 即，‎ 求得.‎ 再根据不等式的解集为.‎ 可得，‎ ‎∴实数.‎ ‎（2）在（1）的条件下，，‎ ‎∴存在实数使成立，即，‎ 由于，‎ ‎∴的最小值为2，‎ ‎∴，‎ 故实数的取值范围是.‎