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文档介绍
2015年高考数学(文科)真题分类汇编E单元 不等式
数 学 E 单元 不等式 E1 不等式的概念与性质 12.A2、E1[2015·福建卷] “对任意 x∈0,π 2 ,ksin xcos x0,故 g(x)为增函数;
当-1q
10.C [解析] r=1
2(f(a)+f(b))=1
2ln(ab)=ln ab=p.因为 b>a>0,所以a+b
2
> ab,又函
数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以 q>p=r,故选 C.
9.E5,E6[2015·四川卷] 设实数 x,y 满足
2x+y≤10,
x+2y≤14,
x+y≥6,
则 xy 的最大值为( )
A.25
2 B.49
2 C.12 D.16
9.A [解析] 画出可行域如图所示.可知当曲线 z=xy 与线段 AC 相切时 xy 取得最大
值.此时 2x+y=10,故 xy=1
2
·2x·y≤1
2
2x+y
2
2
=25
2
,当且仅当 x=5
2
,y=5 时取等号,
对应点落在线段 AC 上,故 xy 的最大值为25
2
,选 A.
14.E6[2015·重庆卷] 设 a,b>0,a+b=5,则 a+1+ b+3的最大值为________.
14 . 3 2 [ 解 析 ] ( a+1 + b+3 )2 = a + b + 4 + 2 a+1 · b+3 ≤ 9 +
2×( a+1)2+( b+3)2
2
=9+a+b+4=18,当且仅当 a+1=b+3 且 a+b=5,即 a=
7
2
,b=3
2
时等号成立,所以 a+1+ b+3≤3 2.
E7 不等式的证明方法
E8 不等式的综合应用
14.E8[2015·山东卷] 定义运算“ ”:x y=x2-y2
xy
(x,y∈R,xy≠0).当 x>0,y>0 时,
x y+(2y) x 的最小值为________.
14. 2 [解析] 由题意得 x y+(2y) x=x2-y2
xy
+4y2-x2
2xy
=2y2+x2
2xy
=y
x
+ x
2y
≥2 y
x
· x
2y
= 2,当且仅当 x= 2y 时,等号成立 .
E9 单元综合
4.[2015·浙江五校联考] 设 a,b 是实数,则“a>b>1”是“a+1
a>b+1
b
”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.A [解析] 因为 a+1
a
-b+1
b
=(a-b)(ab-1)
ab
,a>b>1,所以 a+1
a
-b+1
b
=
(a-b)(ab-1)
ab
>0,则充分性成立.当 a=1
2
,b=2
3
时,显然不等式 a+1
a>b+1
b
成立,但
a>b>1 不成立,所以必要性不成立.故选 A.
6.[2015·重庆一中模拟] 设对任意实数 x∈[-1,1],不等式 x2+ax-3a<0 恒成立,则
实数 a 的取值范围是( )
A.a>0 B.a>1
2
C.a>1
4 D.a>0 或 a<-12
6.B [解析] 设 f(x)=x2+ax-3a.
∵对任意实数 x∈[-1,1],不等式 x2+ax-3a<0 恒成立,
∴ f(-1)=1-a-3a<0,
f(1)=1+a-3a<0,
即 1-4a<0,
1-2a<0,
∴
a>1
4
,
a>1
2
,
故 a>1
2.
3.[2015·南昌调研] 若正数 a,b 满足1
a
+1
b
=1,则 4
a-1
+ 16
b-1
的最小值为( )
A.16 B.25
C.36 D.49
3 . A [ 解 析 ] 因 为 a>0 , b>0 , 1
a
+ 1
b
= 1 , 所 以 a + b = ab , 则 4
a-1
+ 16
b-1
=
4(b-1)+16(a-1)
(a-1)(b-1)
= 4b+16a-20
ab-(a+b)+1
=4b+16a-20.
又 4b+16a=4(b+4a)1
a
+1
b
=20+4b
a
+4a
b
≥20+4×2× b
a
·4a
b
=36,当且仅当b
a
=4a
b
且
1
a
+1
b
=1,即 a=3
2
,b=3 时取等号,所以 4
a-1
+ 16
b-1
≥36-20=16.
6.[2015·南充模拟] 若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)满足约束条件
2x-y-6≤0,
x-y+2≥0,
x≥0,y≥0,
且
最大值为 40,则5
a
+1
b
的最小值为( )
A.25
6 B.9
4 C.1 D.4
6.B [解析] 约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示,
当直线 z=ax+by(a>0,b>0)过直线 x-y+2=0 与直线 2x-y-6=0 的交点(8,10)时,
z 取得最大值 40,即 8a+10b=40,即 4a+5b=20,所以5
a
+1
b
=5
a
+1
b
×4a+5b
20
=5
4
+5b
4a
+ a
5b
≥
5
4
+1=9
4
,当且仅当 a=10
3
,b=4
3
时取等号.