高考数学人教A版（理）一轮复习：第六篇 第3讲 等比数列及其前n项和

高考数学人教A版（理）一轮复习：第六篇 第3讲 等比数列及其前n项和

第3讲 等比数列及其前n项和 A级　基础演练 ‎(时间：30分钟　满分：55分)‎ 一、选择题(每小题5分，共20分)‎ ‎1．在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝a3a5，则a7＝ (　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A. B. C. D. 解析　在等比数列{an}中a＝a3a5，又a4＝a3a5，‎ 所以a4＝1，故q＝，所以a7＝.‎ 答案　B ‎2．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝ (　　)．‎ A．4·n B．4·n C．4·n－1 D．4·n－1‎ 解析　(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)⇒a＝5，a1＝4，q＝，‎ ‎∴an＝4·n－1.‎ 答案　C ‎3．(2013·泰安模拟)已知等比数列{an}为递增数列．若a1>0，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的公比q＝ (　　)．‎ A．2 B. C．2或 D．3‎ 解析　∵2(an＋an＋2)＝5an＋1，∴2an＋2anq2＝5anq，‎ 化简得，2q2－5q＋2＝0，由题意知，q>1.∴q＝2.‎ 答案　A ‎4．(2013·江西盟校二模)在正项等比数列{an}中，Sn是其前n项和．若a1＝1，a2a6＝8，则S8＝ (　　)．‎ A．8 B．15(＋1)‎ C．15(－1) D．15(1－)‎ 解析　∵a2a6＝a＝8，∴aq6＝8，∴q＝，∴S8＝＝15(＋1)．‎ 答案　B 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎5．(2013·广州综合测试)在等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝2，若an＝64，则n的值为________．‎ 解析　因为an＝a1qn－1且a1＝1，q＝2，所以64＝26＝1×2n－1，所以n＝7.‎ 答案　7‎ ‎6．(2012·辽宁)已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.‎ 解析　根据条件求出首项a1和公比q，再求通项公式．由2(an＋an＋2)＝5an＋1⇒2q2－5q＋2＝0⇒q＝2或，由a＝a10＝a1q9＞0⇒a1＞0，又数列{an}递增，所以q＝2.a＝a10＞0⇒(a1q4)2＝a1q9⇒a1＝q＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n.‎ 答案　2n 三、解答题(共25分)‎ ‎7．(12分)(2013·长春调研)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)．‎ ‎(1)求证：数列{an＋1}是等比数列，并写出数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若数列{bn}满足4b1－1·4b2－1·4b3－1·…·4bn－1＝(an＋1)n，求数列{bn}的前n项和Sn.‎ ‎(1)证明　∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，‎ 又a1＝1，∴a1＋1＝2≠0，an＋1≠0，‎ ‎∴＝2，‎ ‎∴数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．‎ ‎∴an＋1＝2n，可得an＝2n－1.‎ ‎(2)解　∵4b1－1·4b2－1·4b3－1·…·4bn－1＝(an＋1)n，‎ ‎∴4b1＋b2＋b3＋…＋bn－n＝2n2，‎ ‎∴2(b1＋b2＋b3＋…＋bn)－2n＝n2，‎ 即2(b1＋b2＋b3＋…＋bn)＝n2＋2n，‎ ‎∴Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝n2＋n.‎ ‎8．(13分)已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.‎ ‎(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；‎ ‎(2)求数列{bn}的通项公式．‎ ‎(1)证明　∵an＋Sn＝n， ①‎ ‎∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1， ②‎ ‎②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，‎ ‎∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，‎ ‎∴＝.‎ ‎∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1.‎ ‎∴a1＝，∴c1＝－，公比q＝.‎ ‎∴{cn}是以－为首项，公比为的等比数列．‎ ‎(2)解　由(1)可知cn＝·n－1＝－n，‎ ‎∴an＝cn＋1＝1－n.‎ ‎∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－n－ ‎＝n－1－n＝n.‎ 又b1＝a1＝代入上式也符合，∴bn＝n.‎ B级　能力突破 ‎(时间：30分钟　满分：45分)‎ 一、选择题(每小题5分，共10分)‎ ‎1．(2012·全国)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝ (　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．2n－1 B.n－1‎ C.n－1 D. 解析　当n＝1时，a1＝1.‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an，‎ 解得3an＝2an＋1，∴＝.‎ 又∵S1＝2a2，∴a2＝，∴＝，‎ ‎∴{an}从第二项起是以为公比的等比数列，‎ ‎∴an＝ ‎∴Sn＝n－1.‎ 答案　B ‎2．(2013·威海模拟)在由正数组成的等比数列{an}中，若a3a4a5＝3π，则sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)的值为 (　　)．‎ A. B. C．1 D．－ 解析　因为a3a4a5＝3π＝a，所以a4＝3.‎ log3a1＋log3a2＋…＋log3a7＝log3(a1a2…a7)＝log3a＝7log33＝，所以sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)＝.‎ 答案　B 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎3．设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，且对任意的实数x，y∈R，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)，若a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是________．‎ 解析　由已知可得a1＝f(1)＝，a2＝f(2)＝[f(1)]2＝2，a3＝f(3)＝f(2)·f(1)＝[f(1)]3＝3，…，an＝f(n)＝[f(1)]n＝n，‎ ‎∴Sn＝＋2＋3＋…＋n ‎＝＝1－n，‎ ‎∵n∈N*，∴≤Sn<1.‎ 答案　 ‎4．(2012·苏州二模)等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，给出下列四个命题：①数列为等比数列；②若a2＋a12＝2，则S13＝13；③Sn＝nan－d；④若d>0，则Sn一定有最大值．‎ 其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．‎ 解析　对于①，注意到＝an＋1－an＝d是一个非零常数，因此数列是等比数列，①正确．对于②，S13＝＝＝13，因此②正确．对于③，注意到Sn＝na1＋d＝n[an－(n－1)d]＋ d＝nan－d，因此③正确．对于④，Sn＝na1＋d，d>0时，Sn不存在最大值，因此④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是①②③.‎ 答案　①②③‎ 三、解答题(共25分)‎ ‎5．(12分)(2011·江西)已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a＞0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.‎ ‎(1)若a＝1，求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若数列{an}唯一，求a的值．‎ 解　(1)设数列{an}的公比为q，则b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2，由b1，b2，b3成等比数列得(2＋q)2＝2(3＋q2)．‎ 即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋，q2＝2－.‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝(2＋)n－1或an＝(2－)n－1.‎ ‎(2)设数列{an}的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a－1＝0(*)，‎ 由a＞0得Δ＝4a2＋4a＞0，故方程(*)有两个不同的实根．‎ 由数列{an}唯一，知方程(*)必有一根为0，‎ 代入(*)得a＝.‎ ‎6．(13分)(2012·合肥模拟)数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，n∈N*.‎ ‎(1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列．‎ ‎(2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn.‎ 解　(1)∵点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，‎ ‎∴an＋1＝3Sn＋1，an＝3Sn－1＋1(n>1，且n∈N*)．‎ ‎∴an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，∴an＋1＝4an(n>1，n∈N*)，a2＝3S1＋1＝3a1＋1＝3t＋1，‎ ‎∴当t＝1时，a2＝4a1，数列{an}是等比数列．‎ ‎(2)在(1)的结论下，an＋1＝4an，an＋1＝4n，bn＝log4an＋1＝n，cn＝an＋bn＝4n－1＋n，‎ ‎∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n)‎ ‎＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)‎ ‎＝＋.‎ 特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.‎