【数学】2021届一轮复习人教A版一元二次不等式的参数范围学案

【数学】2021届一轮复习人教A版一元二次不等式的参数范围学案

第2课时 一元二次不等式参数的范围 ‎【课前明示】‎ 了解并掌握一元二次不等式与相应函数、方程的联系．‎ ‎【课堂引入】‎ ‎1．（一元二次不等式与一元二次方程的关系）‎ 若关于x的一元二次不等式x2＋bx＋c＞0的解集为{x｜x＜－3或x＞2}，则b＋c＝_______．‎ ‎2．（不等式含义的转化，利用二次函数的图象分析）‎ 当关于x的不等式4x2＋px＋1≤0的解集中恰好有一个元素时，实数p的值为_______．‎ ‎3．（不等式含义的转化，利用二次函数的图象分析）‎ 若关于x的不等式x2＋ax＋1＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是_______．‎ ‎4．（不等式含义的转化，利用二次函数的图象分析）‎ 若关于x的不等式x2＋2x＋t＞0的解集为一切实数，则实数t的取值范围是_______．‎ 变式巩固：‎ 若关于x的不等式－1≤ax2－4x＋4≤1有且仅有一解，求实数a的值．‎ ‎1．含有参数的二次函数与不等式的结合问题是高考的热点，通过围绕二次函数的开口方向、对称轴，不等式的恒成立等基本问题展开，重点考查学生分类讨论的思想、函数与方程的思想，以及分析、解决问题的能力．‎ ‎2．不等式恒成立问题，一般有两种转化方法：(1)含参数讨论；(2)参变量分离；‎ ‎3．不等式恒成立问题，利用特值法，可以缩小参数需要讨论的范围．‎ ‎【例题精析】‎ 题型一 一元二次不等式的解集为一切实数，求参数的范围 ‎1．（不等式对x∈R恒成立，利用函数的图象分析——注意二次项系数的讨论）‎ 关于x的不等式ax2＋ax＋1＞0的解集为R，求实数a的取值范围．‎ 变式巩固：‎ ‎1.已知关于x的不等式(k2＋4k－5)x2＋4(1－k)x＋3＞0的解集为R，求实数k的取值范围． ‎ ‎2.若关于x的不等式＞k对一切实数x恒成立，求实数k的取值范围．‎ ‎2．（指对数表达式与二次不等式综合）‎ 若关于x的不等式ax2＋1＞()mx(a＞1)的解集为R，求实数m的取值范围．‎ 题型二 不等式恒成立，求参数的取值范围 ‎3．（不等式对x∈D恒成立，求参数的范围——含参数讨论/参变量分离）‎ 设f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围．‎ 变式：不等式对于x∈D恒成立，求参数的范围——含参数讨论：实根分布 若区间(0，3)内的每一个数都是不等式2x2＋mx－1＜0的解，求m的取值范围．‎ ‎4．（利用换元将不等式转化为对x∈D恒成立的形式——含参数讨论/参变量分离）‎ 若关于x的不等式4x－2x＋1－a≥0对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎5．（变换主元问题的分析）‎ 已知奇函数f(x)在R上为增函数，∀m∈[－2，2]，不等式f(mx－2)＋f(x)＜0恒成立，求x的取值范围．‎ 变式巩固：（改变问题的表述方式）‎ ‎1.已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2，2]，不等式f(mx－2)＋f(x)＜0恒成立，求x的取值范围．‎ 参考答案：(－2，)‎ ‎2.已知函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a，对于任意的a∈[－1，1]，不等式f(x)＞0恒成立，求x的取值范围．‎ 参考答案：(－∞，1)∪(3，＋∞)‎ 题型三 由二次不等式的解求参数的值或范围 ‎6．（一元二次不等式与一元二次方程的关系）‎ 若关于x的不等式(1－a)x2－4x＋6＞0的解集是{x｜－3＜x＜1 }，求a的值．‎ 变式巩固：‎ 若关于x的不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是(－，)，则a＋b的值是_______．‎ ‎7．（不等式的解集中含有参数进行表示——整数解/解的个数）‎ 已知集合A＝{x｜x2＋a≤(a＋1)x，a∈R}，若存在实数a使得集合A中所有的整数的元素和为28，求实数a的取值范围．‎ 变式巩固：‎ ‎1.如果关于x的不等式5x2－a≤0的正整数解是1，2，3，那么实数a的取值范围是________．‎ 参考答案：[45，80)‎ ‎2.设函数f(x)＝mx2－mx－1．‎ (1) 若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，求实数m的取值范围；‎ (2) 若对于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎3．若关于x的不等式(2x－1)2＜ax2的解集中整数恰好有3个，则实数a的取值范围是________．‎ 参考答案： 解析：因为不等式等价于(－a＋4)x2－4x＋1＜0，其中(－a＋4)x2－4x＋1＝0中的Δ＝‎4a＞0，且有4－a＞0，故0＜a＜4.不等式的解集为＜x＜，由已知＜＜，由题知解集中整数恰好有3个，所以3＜≤4，解得a的取值范围为．‎ ‎【梯度练习】‎ 梯度一：三个二次之间的相互转化 ‎1.若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是_______．‎ 参考答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)‎ 梯度二：二次函数与二次不等式的系数 ‎2.已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)＞－2x的解集为(1，3)．‎ ‎(1)若方程f(x)＋‎6a＝0有两个相等的根，求f(x)的解析式；‎ ‎(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围．‎ 解：因为f(x)＋2x＞0的解集为(1，3)，所以设f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a＜0，因而 f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋‎4a)x＋‎3a．①‎ ‎(1)由方程f(x)＋‎6a＝0得ax2－(2＋‎4a)x＋‎9a＝0．②‎ 因为方程②有两个相等的根，所以Δ＝[－(2＋‎4a)]2－‎4a·‎9a＝-4(‎5a2－‎4a－1)=0，‎ 解得a＝1或a＝－．‎ 由于a＜0，舍去a＝1．‎ 将a＝－代入①得f(x)的解析式为f(x)＝－x2－x－．‎ ‎(2)由f(x)＝ax2－2(1＋‎2a)x＋‎3a＝a2－及a＜0，‎ 可得f(x)的最大值为－．‎ 由解得 a＜－2－或－2＋＜a＜0.‎ 所以实数a的取值范围是(－∞，－2－)∪(－2＋，0)． ‎ ‎3.不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为区间(－，2)，对于系数a，b，c，有如下结论：‎ ‎(1)a＞0；(2)b＞0；(3)c＞0；(4)a＋b＋c＞0；(5)a－b＋c＞0；‎ ‎(6)不等式cx2＋bx＋a＞0的解集为区间(－2，)．‎ 其中正确的结论的序号是___________．‎ 参考答案：(2)(3)(4)‎ 梯度三：可转化为二次形式的问题分析 ‎4.若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k的值为________．‎ 参考答案：2‎ ‎5.若关于x的不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集恰好是[a，b]，则a＋b的值为__________．‎ 参考答案：4‎ ‎【二次不等式恒成立问题】‎ 梯度一：二次不等式恒成立 ‎6.不等式ax2＋ax－1＜0在R上恒成立，则实数a的取值范围是 ．‎ 参考答案：(－4，0]‎ ‎7.若不等式x2＋ax＋1≥0对一切xÎ(0，]成立，则a的最小值是__________．‎ 解析：不等式x2＋ax＋1≥0，即－a≤x＋对一切xÎ(0，]成立，‎ 而y＝x＋在(0，]上单调递减，故x＋≥，从而－a≤，a的最小值是－．‎ ‎8.若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈(0，]恒成立，则实数a的取值范围是___________．‎ 参考答案：[－，＋∞)‎ ‎9.不等式x2＋ax－10＜0在[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是 ．‎ 参考答案：(－∞，3)‎ ‎10.设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1＜x＜4的一切x值都有f(x)＞0，求实数a的取值范围．‎ 解：方法一：当a＞0时，f(x)＝a＋2－.‎ 所以，或，或 所以，或，或 所以a≥1，或，＜a＜1，或Æ ，即a＞；‎ 当a＜0时，解得a∈Æ；‎ 当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，f(1)＝0，f(4)＝－6，‎ 所以不合题意．‎ 综上可得，实数a的取值范围是a＞.‎ 方法二：[缩小讨论的范围]因为f(2)＞0，所以a＞，所以0＜＜2.‎ ‎（1）当0＜≤1，即a≥1时，f(1)＝a＞0，满足题意；‎ ‎（2）当1＜＜2，即＜a＜1时，f()＝2－＞0，满足题意；‎ 综上可得，实数a的取值范围是a＞.‎ 方法三：满足1＜x＜4的一切x值都有f(x)＞0等价于a＞，‎ 即a＞2()在xÎ(2，4)上恒成立．‎ 令g(x)＝，xÎ(2，4)，则a＞2g(x)max．‎ 因为g(x)＝－＋，所以x＝2时，g(x)max＝．‎ 实数a的取值范围是a＞．‎ ‎11.已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，则实数a的取值范围是__________．‎ 参考答案：[－3，1]‎ ‎12.当0≤x≤2时，不等式(2t－t2)≤x2－3x＋2≤3－t2恒成立，试求t的取值范围．‎ 解：令y＝x2－3x＋2，0≤x≤2．‎ 因为y＝x2－3x＋2＝(x－)2－，所以y在0≤x≤2上取得最小值为－，最大值为2．‎ 若(2t－t2)≤x2－3x＋2≤3－t2在0≤x≤2上恒成立，‎ 则即 解得 或 ‎ 所以t的取值范围为[－1，1－]．‎ 梯度二：可转化为二次不等式恒成立 ‎13.若关于x的不等式4x－2x＋1－a≥0在[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为______．‎ 参考答案：(－∞，0]‎ 梯度三：不等式恒成立问题的理解 ‎14.关于x的不等式x2－2x＋3≤a2－‎2a－1在R上的解集是Æ，则实数a的取值范围是________．‎ 参考答案：{a|－1＜a＜3}‎ ‎15.已知不等式组的解集是不等式2x2－9x＋a＜0的解集的子集，则实数a的取值范围是_____________．‎ 参考答案：(－∞，9]‎ ‎16.若对任意的x∈R，不等式｜x｜≥ax恒成立，则实数a的取值范围是__________．‎ 参考答案：(－1，1) ‎ ‎17.已知命题p：对任意的m∈[－1，1]，不等式a2－‎5a＋3≥恒成立；命题q：对任意的x∈R，不等式x2＋ax＋4≥0恒成立，若p和q都是真命题，求a的取值范围．‎ 参考答案：[－4，0]‎