【数学】江苏省苏州市相城区2021届高三上学期阶段性诊断测试试卷
江苏省苏州市相城区 2021 届高三上学期
阶段性诊断测试试卷
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题-卡和试卷指定位置上;
2.本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟;
3.答案一律填涂在答题卡上,写在试卷上无效｡
一､单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分｡在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的｡
1.设集合 A= {x|1≤x≤3}, B= {x|2
2, x2-4≤0 B.
∀
x≤2, x2-4≤0
C.
∃
x> 2, 2 4 0x D. 22, 4 0x x
3.设 3 0.5
0.5
1log 3, 0.5 , ( ) ,3a b c 则 a, b, c 的大小关系为( )
A. a0, b>0, 且 a+b=2,则下列结论正确的有( )
2 2A. 2 a b 1 1B. 2
a b C. 3 3 6 a b D. 2 a b
12.把方程 | | | |4
x x y y 1 表示的曲线作为函数 y= f(x)的图象,则下列结论正确的有( )
A.函数 f(x)的图象不经过第三象限
B.函数 f(x)在 R 上单调递增
C.函数 f(x)的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为 1
D.函数 g(x)=2f(x)+x 不存在零点
三､填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分｡
13. 关于 x 的方程 2 3 0mx x )有两个不等实根,一个大于 1,一个小于 1,则实数 m 的取值
范围为____.
14.已知一个圆柱的轴截面是周长为 12 米的长方形,则满足这个条件的圆柱的最大体积是___
立方米.
15.设点 P 是曲线 2xy e x 上任一点,则点 P 到直线 x-y= 0 的最小距离为_______.
16.函数 2log , 1,( ) ( 1), 1,
x xf x f x x
若方程 f(x)=-x+ m 有且只有两个不相等的实数根,则实数 m
的取值范围是___.
四､解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分 10 分)已知函数 1
(2 )( 3 1)
y
x x a
的定义域是集合 A,
函数 2
2log ( 4 8)y x x 的值域是集合 B.
(1)若 a=1,求集合 A;
(2)若 x∈A 是 x∈B 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.
18. (本小题满分 12 分)已知函数 1( ) (1
x
x
af x aa
0 且 a≠1).
(1)判断并证明函数的奇偶性;
(2)若________, 判断并证明函数的单调性(在①01,这两个条件中任选一个,将题目
补充完整,再作判断证明).
注:第(2)小题中,如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
19. (本小题满分 12 分)已知函数 ( ) ( ) .xf x x k e
(1)求 f(x)的单调区间;
(2)求 f(x)在区间[0,1]上的最小值.
20. (本小题满分 12 分)2020 年 9 月 20 日,阳澄西湖南隧道相城段主体完工,它是国内首条穿湖
双层叠加､超深､超宽隧道.建成后,将极大地方便周边市民的通行.为了保障通行安全,汽车在
隧道内行驶时,需要保持适当的安全车距.安全车距 d (单位: m )正比于车速 v(单位:km/h)的平
方与车身长 l(单位: m )的积,即 2d klv (其中 k 是比例系数)且安全车距不小于半个车身长.
经测算,当车速为 60km/h 时,安全车距为 5.76 个车身长.
(1)试求比例系数 k 的值;
(2)试写出车距 d 与车速 v 之间的函数关系式;
(3)交通繁忙时段,应规定车速为多少时,可使隧道的车流量(单位时间内通过的车辆数)最大?
21. (本小题满分 12 分)已知二次函数 2( ) ,f x ax bx 满足 f(-2)=0 且方程 f(x)=x 有两个相等
实根.
(1)求函数 f(x)的解析式;
(2)解不等式 3( ) 2f x
(3)当且仅当 x∈[4,m]时,不等式 f(x-t)≤x 恒成立,试求 t, m 的值.
22. (本小题满分 12 分)已知函数 ln( ) xf x bx
的极大值为 1 ,e
e
其中 e= 2.71828...为自然
对数的底数.
(1)求实数 b 的值;
(2)若函数 ( ) ,x ag x e x
对任意 x∈(0,+∞),不等式 g(x)≥af(x)恒成立.
(i)求实数 a 的取值范围;
(ii)证明: 2 2( ) sin 1x f x a x x .
【参考答案】
