高考数学复习课时提能演练(六) 2_3
课时提能演练(六)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )
(A)y=-x3,x∈R (B)y=sinx,x∈R
(C)y=x,x∈R (D)y=()x,x∈R
2.(2012·宿州模拟)已知f(x)满足f(x+4)=f(x)和f(-x)=-f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)=2x2，则f(7)=( )
(A)-2 (B)2 (C)-98 (D)98
3.(预测题)f(x),g(x)都是定义在R上的奇函数，且F(x)=3f(x)+5g(x)+2,若F(a)=b,则F(-a)=( )
(A)-b+4 (B)-b+2 (C)b-4 (D)b+2
4.函数y=lg(-1)的图象关于( )
(A)x轴成轴对称图形
(B)y轴成轴对称图形
(C)直线y=x成轴对称图形
(D)原点成中心对称图形
5.(2012·临沂模拟)若函数f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0,a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)=loga(x+k)的图象是( )
6.（2012·莆田模拟）若f(x),g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且f(x)-g(x)=ex,则有（ ）
(A)f(2)
0,求实数m的取值范围.
11.(2012·珠海模拟)已知函数f(x)=a-是偶函数，a为实常数.
(1)求b的值；
(2)当a=1时，是否存在n>m>0,使得函数y=f(x)在区间［m,n］上的函数值组成的集合也是［m,n］，若存在，求出m,n的值，否则，说明理由.
(3)若在函数定义域内总存在区间［m,n］(
m0，a≠1)为R上的奇函数，
∴f(0)=(k-1)-1=0,得k=2,
∴f(x)=ax-a-x.
又∵f(x)为R上的减函数，∴00,
得f(m)>-f(m-1),
即f(1-m)m>0,
∴y=f(x)在区间［m,n］上是增函数.
因y=f(x)在区间［m,n］上的函数值组成的集合也是［m,n］.∴有
即方程1-=x,也就是2x2-2x+1=0有两个不相等的正根.
∵Δ=4-8<0,∴此方程无解.故不存在正实数m,n满足题意.
(3)由(1)，可知f(x)=a-(D=(-∞,0)∪(0,+∞)).考察函数f(x)=a-的图象，
可知:f(x)在区间(0,+∞)上是增函数，
f(x)在区间(-∞,0)上是减函数.
因y=f(x)在区间［m,n］上的函数值组成的集合也是［m,n］，故必有m、n同号.①当0(此时，m、n(m.
【变式备选】已知函数f(x)=ex-e-x(x∈R且e为自然对数的底数).
(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；
(2)是否存在实数t，使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立？若存在，求出t;若不存在，请说明理由.
【解析】(1)∵f(x)=ex-()x,且y=ex是增函数，
y=-()x是增函数，所以f(x)是增函数.
由于f(x)的定义域为R，
且f(-x)=e-x-ex=-f(x),
所以f(x)是奇函数.
(2)由(1)知f(x)是增函数和奇函数,
∴f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R恒成立
⇔f(x2-t2)≥f(t-x)对一切x∈R恒成立
⇔x2-t2≥t-x对一切x∈R恒成立
⇔t2+t≤x2+x对一切x∈R恒成立
⇔(t+)2≤
⇔(t+)2≤0⇔t=-.
即存在实数t=-,
使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立.
【探究创新】
【解析】(1)f(x)=x2(x≥-1)的图象如图(1)所示，要使得f(-1+m)≥f(-1)，有
m≥2；x≥-1时，恒有f(x+2)≥f(x)，故m≥2即可.所以实数m的取值范围为［2,+∞)；
(2)由f(x)为奇函数及x≥0时的解析式知f(x)的图象如图(2)所示，
∵f(3a2)=a2=f(-a2)，
由f(-a2+4)≥f(-a2)=a2=f(3a2)，
故-a2+4≥3a2，从而a2≤1，
又a2≤1时，恒有f(x+4)≥f(x)，故a2≤1即可．
所以实数a的取值范围为［-1,1］.
