河南省林州市第一中学2019-2020学年高二9月月考数学试题

河南省林州市第一中学2019-2020学年高二9月月考数学试题

‎2018级高二上学期9月调研考试 数学试题 一、选择题。‎ ‎1.已知数列{an}的通项公式是an＝3n－16，则数列{an}的前n项和Sn取得最小值时，n的值为(　　)‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，当数列{an}的前n项和Sn取得最小值时，可得，结合n∈N*解得即可.‎ ‎【详解】解：根据题意，得即解得≤n≤.∵n∈N*，∴n＝5，‎ ‎∴数列{an}的前n项和Sn的最小值为S5‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查数列前n项和，熟练掌握数列的基本性质是解决此题的关键.‎ ‎2.在明朝程大位《算法统宗》中，有这样一首歌谣，叫浮屠增级歌：远看巍巍塔七层，红光点点倍加增；共灯三百八十一，请问层三几盏灯。这首古诗描述的浮屠，现称宝塔。本浮屠增级歌意思是：有一座7层宝塔，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，宝塔中共有灯381盏，问这个宝塔第3层灯的盏数有( 　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据等比数列的求和公式求出首项，再根据通项公式求解.‎ ‎【详解】从第1层到塔顶第7层，每层的灯数构成一个等比数列，公比为，前7项的和为381，‎ 则，得第一层，‎ 则第三层，故选 ‎【点睛】本题考查等比数列的应用，关键在于理解题意.‎ ‎3.已知等差数列满足，，则（ ）‎ A. 176 B. 88 C. 44 D. 22‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的性质和求和公式即可求出．‎ ‎【详解】因为数列是等差数列，由，得，又，‎ 则，故选：B．‎ ‎【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．‎ ‎4.如果数列的前项和为，则这个数列的通项公式是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过和关系得到是首项为6公比为3的等比数列，计算得到答案.‎ ‎【详解】数列的前项和为,取解得 是首项为6公比为3的等比数列，‎ 验证，成立 故答案选B ‎【点睛】本题考查了数列通项公式的计算，把握和关系是解题的关键.‎ ‎5.在等差数列中，，其前项和为，若，则的值等于（ ）‎ A. 2011 B. -2012 C. 2014 D. -2013‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：等差数列中，即数列是首项为，公差为的等差数列；因为，，所以，，，‎ 所以，，‎ 选.‎ 考点：等差数列的求和公式，等差数列的通项公式.‎ ‎6.已知等比数列中，，则的结果可化为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题等比数列中，，可得 ，，‎ 再由等比数列的前项和公式得出答案。‎ ‎【详解】因为等比数列中，，所以 ， ‎ 所以由等比数列的前项和公式得 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的通项公式与前项和公式，属于基础题。‎ ‎7.设等差数列的前项和为，，，若，，则数列的最小项是 ‎ A. 第6项 B. 第7项 C. 第12项 D. 第13项 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的求和公式，结合条件可判断a6＞0，a6＞|a7|，进而可得解.‎ ‎【详解】由题由题意S12＞0，S13＜0，‎ 得a1+a12=a6+a7＞0，a1+a13=2a7＜0，‎ 所以a6＞0，a6＞|a7|，‎ 所以|a7|最小．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列求和公式及等差中项的应用，属于基础题.‎ ‎8.在递增的等比数列中，，是方程的两个根，则数列的公比 A. 2 B. C. D. 或2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解方程求出，，然后根据等比数列满足，求出q。‎ ‎【详解】，是方程的两个根，解得或等比数列是递增的，且，则.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列任意两项的关系，易错点是数列为递增数列，那么又。‎ ‎9.已知数列是递增数列，且对，都有，则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 由{an}是递增数列，得到an+1＞an，再由“an=n2+λn恒成立”转化为“λ＞﹣2n﹣1对于n∈N*恒成立”求解．‎ ‎【详解】∵{an}递增数列，‎ ‎∴an+1＞an，‎ ‎∵an=n2+λn恒成立 即（n+1）2+λ（n+1）＞n2+λn，‎ ‎∴λ＞﹣2n﹣1对于n∈N*恒成立．‎ 而﹣2n﹣1在n=1时取得最大值﹣3，‎ ‎∴λ＞﹣3，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查由数列的单调性来构造不等式，解决恒成立问题．研究数列单调性的方法有：比较相邻两项间的关系，将an+1和an做差与0比较，即可得到数列的单调性；研究数列通项即数列表达式的单调性.‎ ‎10.在等比数列中，为数列的前项和，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 也成等比数列，则易求.‎ ‎【详解】在等比数列中，可得也成等比数列，‎ 所以，则，解得.故选C.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列前项和的性质,也可以由进行基本量计算来求解.若等比数列的前项和是，则()也成等比数列.‎ ‎11.数列1，，，……，的前n项和为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 数列，‎ 的前项和 点睛：在数列求和的过程中先找出通项，本题中的通项需要先进行化简，然后裂项形如：，然后运用裂项求和的方法求出结果。当遇到通项含有分式的时候，可以思考是否能用裂项的方法解答。‎ ‎12.数列中，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由，得，‎ 所以是公比为 的等比数列 因为，所以，‎ 故，所以 二、基础知识填空。‎ ‎13.等差数列的定义可用数学符号语言描述为________,其中，其通项公式_________,__________=_________,等差数列中，若则________()‎ ‎【答案】 (1). （是常数） (2). (3). (4). (5). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的定义以及前项和公式即可得到答案。‎ ‎【详解】①根据等差数列的定义为：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这样的数列就叫等差数列，可得等差数列的定义可用数学符号语言描述为：（为常数）其中，故答案为：（为常数）‎ ‎②根据定义可得：通项公式，故答案为：‎ ‎③等差数列的前项和，故答案为：，‎ ‎④把通项公式代入中进行化简，即可得到 ，‎ 故答案为：‎ ‎⑤根据等差数列的通项公式可得：，，，由于 所以，故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的概念，基本性质，以及前项和的公式，属于基础题。‎ ‎14.等比数列的定义可用数学符号语言描述为_______,其中，其通项公式_________,______,等比数列中，若则_________()，若，则的等比中项为____.‎ ‎【答案】 (1). （是常数且 ） (2). (3). (4). (5). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比数列的定义以及前项和公式即可得到答案。‎ ‎【详解】①根据等比数列的定义为：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这样的数列就叫等比数列，可得等比数列的定义可用数学符号语言描述为：（为常数且 ）其中，故答案为：（为常数且 ）‎ ‎②根据定义可得：通项公式，故答案为：‎ ‎③等比数列前项和，故答案为：，‎ ‎④根据等比数列的通项公式可得：，，，由于所以，故答案为：‎ ‎⑤设的等比中项为，根据等比数数列的定义可得：，解得：，故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的概念，基本性质，以及前项和的公式，属于基础题。‎ 三、填空。‎ ‎15.已知中，，则_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正弦定理求出，然后利用公式，即可求得 ‎【详解】由于，‎ 所以由正弦定理可得：，即：，解得：，‎ 由于在中，，根据大边对大角可知：，则,‎ 由，解得：，‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查正弦定理在三角形中的应用，属于基础题。‎ ‎16.已知数列{an}的前n项和Sn=3n﹣2，求{an}的通项公式_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 当时，=1，当时 验证当时，不符合，故舍去，所以 ‎17.若，则=_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎=500×[+]‎ ‎=500．‎ 故答案为：500．‎ ‎18.已知数列中，且当时，则数列的前项和=__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用累乘法计算，再通过裂项求和计算.‎ ‎【详解】，‎ 数列的前项和 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了累乘法，裂项求和，属于数列的常考题型.‎ 四、解答题.‎ ‎19.已知是等差数列，，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设的前项和，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设等差数列的公差为，利用题中等式建立、的方程组，求出、的值，然后根据等差数列的通项公式求出数列的通项公式；‎ ‎（2）利用等差数列前项和公式求出，然后由求出的值.‎ ‎【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，，‎ 数列的通项为；‎ ‎（2）数列的前项和，‎ 由，化简得，即，.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式的求解，考查等差数列的前项和公式，常用的方法就是利用首项和公差建立方程组求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎20.已知数列满足，.‎ ‎（Ⅰ）证明：数列是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用定义得证.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利用分组求和法的到前项和.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）由，可得，即，‎ 又，∴，‎ ‎∴数列是首项为3，公差为2的等差数列.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的证明，分组求和法求前项和，意在考查学生对于数列公式和方法的灵活运用.‎ ‎21.在中，角所对的边分别是，已知．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，，求的面积．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据边角互换，二倍角公式，和差公式；（Ⅱ）根据余弦定理.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由正弦定理得 ‎ ‎ 又 ‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理 ‎ ‎ 又 ‎ ‎ .‎ ‎【点睛】本题考查三角恒等变换，用余弦定理解三角形.‎ ‎22.已知数列中，，.‎ ‎(1)求数列的通项公式:‎ ‎(2)设，求数列的通项公式及其前项和.‎ ‎【答案】(1) (2) ，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 利用累加法得到答案.‎ ‎(2)计算，利用裂项求和得到前项和.‎ ‎【详解】(1)由题意可知 左右累加得.‎ ‎(2) ‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了数列的累加法，裂项求和法，是数列的常考题型.‎ ‎23.已知递增等比数列，，，另一数列其前项和.‎ ‎（1）求、通项公式；‎ ‎（2）设其前项和为，求.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由等比数列的性质得出，可求出和的值，求出等差数列的首项和公式，可得出数列的通项公式，然后利用求出数列的通项公式；‎ ‎（2）求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求出.‎ ‎【详解】（1）设等比数列的公比为，由题意可知，‎ 由等比数列的性质可得，所以，解得，‎ ‎，得，.‎ 当时，；‎ 当且时，.‎ 也适合上式，所以，；‎ ‎（2），‎ ‎，‎ 则，‎ 上式下式，得 ‎ ，‎ 因此，.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列通项的求解，考查利用前项和求通项以及错位相减法求和，解题时要注意错位相加法所适用的数列通项的结构类型，熟悉错位相减法求和的基本步骤，难点就是计算量大，属于常考题型。‎ ‎24.己知数列中，，其前项和满足：．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令，数列的前项和为，证明：对于任意的，都有．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由，可得，即数列时以1为首项公比为2的等比数列，即可求解．（Ⅱ），当时，，当时，，即有．‎ ‎【详解】（Ⅰ）由，于是，‎ 当时,，‎ 即， ‎ ‎，∵，数列为等比数列， ‎ ‎∴，即． ‎ ‎（Ⅱ）， ‎ ‎∴当时，， ‎ 当时，显然成立，‎ 综上，对于任意的，都有．‎ ‎【点睛】本题考查了数列的递推式，等比数列的求和、放缩法，属于中档题．‎ ‎ ‎