2019届二轮复习专题1

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第一节　集合及其运算 最新考纲 ‎1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．‎ ‎2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．‎ ‎3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．‎ ‎4．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．‎ ‎5．能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及运算．‎ 知识梳理 ‎1．元素与集合 ‎(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．‎ ‎(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.‎ ‎(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．‎ ‎(4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋)‎ Z Q R ‎2.集合间的基本关系 表示 关系　　　‎ 文字语言 符号语言 集合间的基本关系 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同[来源:Z§xx§k.Com][来源:学_科_网Z_X_X_K]‎ A＝B 子集 A中任意一个元素均为B中的元素 A⊆B 真子集 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素 AB 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 ‎3.集合的基本运算 并集 交集 补集 图形表示 符号表示 A∪B A∩B ‎∁UA 意义 ‎{x|x∈A或x∈B}‎ ‎{x|x∈A且x∈B}‎ ‎{x|x∈U且x∉A}‎ ‎4.集合关系与运算的常用结论 ‎(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个．‎ ‎(2)任何集合是其本身的子集，即：A⊆A.‎ ‎(3)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.‎ ‎(4)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.学=科网 ‎(5)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．‎ 典型例题 考点一　集合的基本概念 ‎【例1】　(1)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)‎ A．1 B．3‎ C．5 D．9‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为A＝{0,1,2}，所以B＝{x－y|x∈A，y∈A}＝{0，－1，－2,1,2}．故集合B中有5个元素．‎ ‎(2)已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b,0}，则a2 019＋b2 019为(　　)‎ A．1 B．0 ‎ C．－1 D．±1‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知得a≠0，则＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.‎ ‎(3)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝(　　)‎ A. B． C．0 D．0或 ‎【答案】D ‎【解析】若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根.‎ 当a＝0时，x＝，符合题意；‎ 当a≠0时，由Δ＝(－3)2－‎8a＝0，得a＝，‎ 所以a的取值为0或.‎ ‎(4)已知集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3，a－2，a2＋1}，若A∩B＝{－3}，则a＝________.‎ ‎【答案】－1‎ ‎【解析】由A∩B＝{－3}知，－3∈B.又a2＋1≥1，故只有a－3，a－2可能等于－3.‎ ‎①当a－3＝－3时，a＝0，此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－2,1}，A∩B＝{1，－3}．‎ 故a＝0舍去．‎ ‎ ②当a－2＝－3时，a＝－1，此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，‎ 满足A∩B＝{－3}，故a＝－1.‎ 规律方法 解决集合概念问题的一般思路 ‎(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．本例(1)集合B中的代表元素为实数p－q.‎ ‎(2)要深刻理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾．‎ ‎【变式训练1】‎ ‎(1)已知集合A＝{m＋2,‎2m2‎＋m}，若3∈A，则m的值为________．‎ ‎【答案】－ ‎ (2)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为(　　)‎ A．3　　　　B．‎4　‎　　　C．5　　　　D．6‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为集合M中的元素x＝a＋b，a∈A，b∈B，所以当b＝4，a＝1,2,3时，x＝5,6,7.‎ 当b＝5，a＝1,2,3时，x＝6,7,8.‎ 由集合元素的互异性，可知x＝5,6,7,8.‎ 即M＝{5,6,7,8}，共有4个元素．‎ ‎(3)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝(　　)‎ A．1 B．－1‎ C．2 D．－2‎ ‎【答案】C ‎【解析】 因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，‎ 所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.‎ ‎(4)已知集合A＝{x∈R|ax2＋3x－2＝0}，若A＝∅，则实数a的取值范围为________.‎ ‎ 【答案】a<－ ‎【解析】由A＝∅知方程ax2＋3x－2＝0无实根，‎ 当a＝0时，x＝不合题意，舍去；‎ 当a≠0时，Δ＝9＋‎8a<0，∴a<－.‎ 考点二　集合间的基本关系 ‎【例2】(1)[2015·江苏卷]已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】因为A∪B＝{1,2,3,4,5}，所以A∪B中元素的个数为5.‎ ‎(2)集合A＝{1,4,7,10,13,16,19,21}，则集合A有________个子集、________个真子集、________个非空子集、________个非空真子集．‎ ‎【答案】28　28－1　28－1　28－2‎ ‎【解析】因为集合A中有8个元素，所以集合A有28个子集，28－1个真子集，28－1个非空子集，28－2个非空真子集．‎ ‎(3)设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则(　　)‎ A．P⊆Q B．Q⊆P C．∁RP⊆Q D．Q⊆∁RP ‎【答案】C ‎【解析】因为P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}＝{y|y≤1}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}，所以∁RP＝{y|y>1}，所以∁RP⊆Q，故选C.‎ ‎(4)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　)‎ A．1 B．2 ‎ C．3 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】 由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，‎ ‎∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．‎ ‎(5)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤‎2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．‎ ‎【答案】(－∞，3]‎ ‎【解析】因为B⊆A，‎ ‎∴①若B＝∅，则‎2m－17}，B＝{x|x<‎2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________．‎ ‎【答案】(－∞，－1]‎ ‎【解析】由题意知‎2m－1≤－3，m≤－1，∴m的取值范围是(－∞，－1]．‎ ‎（2）已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤‎2m－1}，若A⊆B，则实数m的取值范围为________．‎ ‎【答案】∅‎ ‎【解析】若A⊆B，则即所以m的取值范围为∅.‎ ‎（3）已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．‎ ‎【答案】[－2,2)‎ ‎【解析】①若B＝∅，则Δ＝m2－4＜0，‎ 解得－2＜m＜2；‎ ‎②若1∈B，则12＋m＋1＝0，‎ 解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；‎ ‎③若2∈B，则22＋‎2m＋1＝0，‎ 解得m＝－，此时B＝，不合题意．‎ 综上所述，实数m的取值范围为[－2,2)．‎ ‎（4）已知集合M＝{x|x2－2x－3<0}，N＝{x|x>a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)‎ C．[3，＋∞) D．(3，＋∞)‎ ‎【答案】A ‎【解析】M＝{x|(x－3)(x＋1)<0}＝(－1,3)，又M⊆N，因此有a≤－1，即实数a的取值范围是(－∞，－1]．‎ ‎(5)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－3)＜0}，B＝{x|－m＜x＜m}．若B⊆A，则m的取值范围为________．‎ ‎【答案】m≤1　‎ 考点三　集合的基本运算 有关集合运算的考题，在高考中多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为低档题，集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生灵活处理问题的能力．‎ 主要有以下几个命题角度：‎ 角度一 离散型数集间的交、并、补运算 ‎【例3】设全集U＝{0,1,2,3,4,5}，集合A＝{2,4}，B＝{y|y＝log (x－1)，x∈A}，则集合(∁UA)∩(∁UB)＝(　　)‎ A．{0,4,5,2} B．{0,4,5}‎ C．{2,4,5} D．{1,3,5}‎ ‎【答案】D ‎【解析】　由题意知B＝{0,2}，∴∁UA＝{0,1,3,5}，∁UB＝{1,3,4,5}，∴(∁UA)∩(∁UB)＝{1,3,5}．‎ 角度二 连续型数集间的交、并、补运算 ‎【例4】(1)设全集U＝R，A＝{x|x(x＋3)<0}，B＝{x|x<－1}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)‎ A．{x|－30}，则A∩B＝(　　)‎ A. B． C. D． ‎【答案】D ‎【解析】由题意得，A＝{x|10}，则S∩T＝(　　)‎ A．[2,3] B．(－∞，2]∪[3，＋∞)‎ C．[3，＋∞) D．(0,2]∪[3，＋∞)‎ ‎【答案】D ‎【解析】集合S＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，结合数轴，可得S∩T＝(0,2]∪[3，＋∞)．‎ ‎4．[2015·新课标全国卷Ⅱ]已知集合A＝{－2，－1，0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，则A∩B＝(　　)‎ A．{－1,0} B．{0,1} ‎ C．{－1,0,1} D．{0,1,2}‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意知B＝{x|－2a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)‎ C．[3，＋∞) D．(3，＋∞)‎ ‎【答案】A ‎【解析】M＝{x|(x－3)(x＋1)<0}＝(－1,3)，又M⊆N，因此有a≤－1，即实数a的取值范围是(－∞，－1]．‎ ‎7．[2017·北京高考]若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝(　　)‎ A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－2＜x＜3}‎ C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}‎ ‎【答案】　A ‎【解析】∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，∴A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．故选A.‎ ‎8．[2017·全国卷Ⅰ]已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则(　　)‎ A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝R C．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝∅‎ ‎【答案】A ‎【解析】　∵B＝{x|3x＜1}，∴B＝{x|x＜0}．‎ 又A＝{x|x＜1}，∴A∩B＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}．故选A.‎ ‎9．[2018·重庆模拟]已知集合A＝{x∈N|πx<16}，B＝{x|x2－5x＋4<0}，则A∩(∁RB)的真子集的个数为(　　)‎ A．1 B．3 ‎ C．4 D．7‎ ‎【答案】B ‎【解析】　因为A＝{x∈N|πx<16}＝{0,1,2}，B＝{x|x2－5x＋4<0}＝{x|1－1.‎ ‎14．[2018·郑州模拟]已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.‎ ‎【答案】　－1　1‎ ‎【解析】A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5

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