高考数学专题复习练习:9-8-1 专项基础训练

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高考数学专题复习练习:9-8-1 专项基础训练

‎ A组 专项基础训练 ‎(时间:40分钟)‎ ‎1.若直线mx+ny=4与⊙O:x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数是(  )‎ A.至多为1         B.2‎ C.1 D.0‎ ‎【解析】 由题意知:>2,即<2,‎ ‎∴点P(m,n)在椭圆+=1的内部,‎ 故所求交点个数是2.‎ ‎【答案】 B ‎2.直线y=x+3与双曲线-=1的交点个数是(  )‎ A.1 B.2‎ C.1或2 D.0‎ ‎【解析】 因为直线y=x+3与双曲线的渐近线y=x平行,所以它与双曲线只有1个交点.‎ ‎【答案】 A ‎3.已知椭圆C的方程为+=1(m>0),如果直线y=x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F,则m的值为(  )‎ A.2 B.2 C.8 D.2 ‎【解析】 根据已知条件得c=,则点(,)在椭圆+=1(m>0)上,‎ ‎∴+=1,可得m=2.‎ ‎【答案】 B ‎4.(2017·丽水一模)斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为(  )‎ A.2 B. C. D. ‎【解析】 设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),‎ 直线l的方程为y=x+t,‎ 由消去y,‎ 得5x2+8tx+4(t2-1)=0,‎ 则x1+x2=-t,x1x2=.‎ ‎∴|AB|=|x1-x2|‎ ‎=· ‎=· ‎=·,‎ 当t=0时,|AB|max=.‎ ‎【答案】 C ‎5.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B两点,它们到直线x=-2的距离之和等于5,则这样的直线(  )‎ A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在 ‎【解析】 抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),‎ 准线方程为x=-1,设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),‎ 则A,B到直线x=-1的距离之和为x1+x2+2.‎ 设直线方程为x=my+1,代入抛物线y2=4x,‎ 则y2=4(my+1),即y2-4my-4=0,‎ ‎∴x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2.‎ ‎∴x1+x2+2=4m2+4≥4.‎ ‎∴A,B到直线x=-2的距离之和x1+x2+2+2≥6>5.‎ ‎∴满足题意的直线不存在.‎ ‎【答案】 D ‎6.(2017·大连名校联考)已知斜率为2的直线经过椭圆+=1的右焦点F1,与椭圆相交于A,B两点,则弦AB的长为________.‎ ‎【解析】 由题意知,椭圆的右焦点F1的坐标为(1,0),直线AB的方程为y=2(x-1).‎ 由方程组消去y,整理得3x2-5x=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由根与系数的关系,得x1+x2=,x1x2=0.‎ 则|AB|= ‎= ‎= =.‎ ‎【答案】 ‎7.(2017·安顺月考)在抛物线y=x2上关于直线y=x+3对称的两点M,N的坐标分别为________.‎ ‎【解析】 设直线MN的方程为y=-x+b,‎ 代入y=x2中,‎ 整理得x2+x-b=0,令Δ=1+4b>0,‎ ‎∴b>-.‎ 设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-1,‎ =-+b=+b,‎ 由在直线y=x+3上,‎ 即+b=-+3,解得b=2,‎ 联立得 解得 ‎【答案】 (-2,4),(1,1)‎ ‎8.(2017·江苏盐城模拟)设椭圆+=1(m>0,n>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同,离心率为,则此椭圆的短轴长为________.‎ ‎【解析】 由题意可得,抛物线y2=8x的焦点为(2,0),∴c=2.∵椭圆的离心率为,∴a ‎=4,∴b==2,即n=2,∴椭圆的短轴长为4.‎ ‎【答案】 4 ‎9.设F1,F2分别是椭圆E:+=1(a>b>0)的左,右焦点,过F1且斜率为1的直线l与E相交于A,B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列.‎ ‎(1)求E的离心率;‎ ‎(2)设点P(0,-1)满足|PA|=|PB|,求E的方程.‎ ‎【解析】 (1)由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a,‎ 又2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|=a,‎ l的方程为y=x+c,其中c=.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点的坐标满足方程组消去y,化简得(a2+b2)x2+2a2cx+a2(c2-b2)=0,则x1+x2=,x1x2=.‎ 因为直线AB的斜率为1,所以|AB|=|x2-x1|=,即a=,故a2=2b2,‎ 所以E的离心率e===.‎ ‎(2)设AB的中点为N(x0,y0),由(1)知 x0===-,y0=x0+c=.‎ 由|PA|=|PB|,得kPN=-1,即=-1,‎ 得c=3,从而a=3,b=3.‎ 故椭圆E的方程为+=1.‎ ‎10.(2017·山西山大附中模拟)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,短轴两个端点为A,B,且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.‎ ‎(1)求椭圆方程;‎ ‎(2)若C,D分别是椭圆长轴的左、右端点,动点M满足MD⊥CD,连接CM,交椭圆于点P,证明:·为定值.‎ ‎【解析】 (1)由题意知a=2,b=c,‎ ‎∵a2=b2+c2,‎ ‎∴b2=2.‎ ‎∴椭圆方程为+=1.‎ ‎(2)证明 由题意知C(-2,0),D(2,0),‎ 设M(2,y0),P(x1,y1),‎ 则=(x1,y1),=(2,y0).‎ 直线CM:=,‎ 即y=x+y0.‎ 代入椭圆x2+2y2=4,‎ 得x2+yx+y-4=0.‎ ‎∵x1·(-2)=,‎ ‎∴x1=-,‎ ‎∴y1=.‎ ‎∴=.‎ ‎∴·=-+==4(定值).‎ B组 专项能力提升 ‎(时间:25分钟)‎ ‎11.(2017·大连双基测试)过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线l与抛物线交于B,C两点,l与抛物线准线交于点A,且|AF|=6,=2,则|BC|等于(  )‎ A. B.6‎ C. D.8‎ ‎【解析】 不妨设直线l的倾斜角为θ,其中0<θ<,点B(x1,y1),C(x2,y2),则点B在x轴的上方,过点B作该抛物线的准线的垂线,垂足为B1,于是有|BF|=|BB1|=3,=,由此得p=2,抛物线方程是y2=4x,焦点F(1,0),cos θ====,sin θ==,tan θ==2,直线l:y=2(x-1).由消去y,得2x2-5x+2‎ ‎=0,x1+x2=,|BC|=x1+x2+p=+2=,选A.‎ ‎【答案】 A ‎12.(2017·绵阳中学月考)已知抛物线E:y2=2px(p>0)经过圆F:x2+y2-2x+4y-4=0的圆心,则抛物线E的准线与圆F相交所得的弦长为________.‎ ‎【解析】 圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=32,圆心为F(1,-2).代入抛物线方程可得p=2,所以其准线方程为x=-1.圆心到直线x=-1的距离d=2,所以抛物线E的准线与圆F相交所得的弦长为2=2.‎ ‎【答案】 2 ‎13.(2017·西安中学模拟)如图,过抛物线y=x2的焦点F的直线l与抛物线和圆x2+(y-1)2=1交于A,B,C,D四点,则·=________.‎ ‎【解析】 不妨设直线AB的方程为y=1,联立解得x=±2,则A(-2,1),D(2,1),因为B(-1,1),C(1,1),所以=(1,0),=(-1,0),所以·=-1.‎ ‎【答案】 -1‎ ‎14.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.如果直线AF的斜率为-,那么|PF|=________.‎ ‎【解析】 直线AF的方程为y=-(x-2),‎ 联立 得y=4,所以P(6,4).‎ 由抛物线的性质可知|PF|=6+2=8.‎ ‎【答案】 8‎ ‎15.(2017·湖北八校4月联考)已知抛物线x2=2py上点P处的切线方程为x-y-1=0.‎ ‎(1)求抛物线的方程;‎ ‎(2)设A(x1,y1)和B(x2,y2)为抛物线上的两个动点,其中y1≠y2且y1+y2=4,线段AB的垂直平分线l与y轴交于点C,求△ABC面积的最大值.‎ ‎【解析】 (1)设点P,‎ 由x2=2py得y=,则y′=,‎ 因为点P处的切线的斜率为1,‎ 所以=1且x0--1=0,解得p=2,‎ 所以抛物线的方程为x2=4y.‎ ‎(2)设线段AB的中点为M(x0,2),‎ 则x0=,‎ kAB===(x1+x2)=,‎ ‎∴直线l的方程为y-2=-(x-x0),‎ 即2x+x0(-4+y)=0,‎ ‎∴l过定点(0,4),即C(0,4).‎ 直线AB的方程为y-2=(x-x0).‎ 由⇒x2-2x0x+2x-8=0,‎ 则Δ=4x-4(2x-8)>0⇒-2<x0<2,‎ x1+x2=2x0,x1x2=2x-8,‎ 则|AB|= |x1-x2|‎ ‎= ‎=,‎ C(0,4)到AB的距离d=|CM|=,‎ ‎∴S△ABC=|AB|·d ‎= ‎= ≤ =8,‎ 当且仅当x+4=16-2x,即x0=±2时取等号,‎ ‎∴S△ABC的最大值为8.‎
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