2017-2018学年山西省晋中市榆社中学高二上学期期中考试数学（理）试题

2017-2018学年山西省晋中市榆社中学高二上学期期中考试数学（理）试题

‎2017-2018学年山西省晋中市榆社中学高二上学期期中考试数学（理）试题 考生注意：‎ ‎1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.‎ ‎2.请将各题答案填在试卷后面的答题卡上.‎ ‎3.本试卷主要考试内容：必修1,3,4,5,占40%，必修2占60%.‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A．(0，2] B．[0，1] C．(0，1] D．[0，2]‎ ‎2.若直线与直线的斜率互为相反数，则的倾斜角为（ ）‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎3.设是一条直线，是两个不同的平面，给出下列条件，不能得到的是（ ）‎ A． B． C． D．4.‎ ‎4.设等差数列的前项和为，若，且成等比数列，则公差（ ）‎ A．0或3 B．3 C.0 D．2‎ ‎4.某高校调查了400名大学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].则从这400名大学生中抽出1人，每周自习时间少于20小时的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.两圆和恰有一条公切线，若，，且，则的最小值为（ ）‎ A．4 B．3 C.2 D．1‎ 7. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）‎ A．36 B．48 C.288 D．576‎ ‎8.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.将半径为4的半圆围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.已知是区间[-3,3]上的单调函数，且对满足，若，则的最大值为（ ）‎ A.2 B.4 C.6 D.8‎ ‎11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A．54 B．45 C.27 D．81‎ 12. 如图，在矩形中，点分别在边上，,沿直线将翻折成，使二面角为直角，点分别在线段上，沿直线将四边形向上折起，使与重合，则线段（ ）‎ A． B． C.1 D．2‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.点到点到点的距离相等，则 ．‎ ‎14.设满足约束条件则的最大值是 ．‎ ‎15.设向量均为单位向量且夹角为120°，且，则 ．‎ ‎16.过点作圆的一条切线，切点为，若，则的面积满足的概率为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 某公司2016年前三个月的利润（单位：百万元）如下：‎ 月份 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 利润 ‎2‎ ‎3.9‎ ‎5.5‎ （1） 求利润关于月份的线性回归方程；‎ （2） 试用（1）中求得的回归方程预测4月和5月的利润；‎ （3） 试用（1）中求得的回归方程预测该公司2016年从几月份开始利润超过1000万？‎ 相关公式：.‎ 18. 已知直线，.‎ （1） 当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线的方程；‎ （2） 若坐标原点到直线的距离为，判断与的位置关系.‎ 19. 已知四棱锥的底面是菱形，,又平面，点是棱的中点，在棱上.‎ （1） 证明：平面平面.‎ （2） 试探究在棱何处时使得平面.‎ 20. 在中，内角所对的边分别是，已知.‎ （1） 若，求角的大小；‎ （2） 若，且的面积为，求的周长.‎ 21. ‎21. 已知圆与直线相切.‎ （1） 若直线与圆交于两点，求；‎ （1） 设圆与轴的负半轴的交点为，过点作两条斜率分别为的直线交圆于两点，且，试证明直线恒过一定点，并求出该定点的坐标.‎ 19. 如图，在四棱锥中，是边长为2的菱形，且,分别是的中点.‎ （1） 证明：平面；‎ （2） 若二面角的大小为30°，求点到平面的距离.‎ 参考答案（理科）‎ ‎1-5:CBCAD 6-10:ADDBC 11、12：BA 二、填空题 ‎13.-2 14.4 15. 2 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1），‎ ‎，‎ ‎，‎ 故利润关于月份的线性回归方程为.‎ ‎（2）当时，‎ 故可预测4月份的利润为730万.‎ 当时，，‎ 故可预测5月份的利润为905万.‎ ‎（3）由得，故公司2016年从6月份开始利润超过1000万.‎ ‎18.解：（1）联立解得即与的交点为（021，-9）.‎ 当直线过原点时，直线的方程为；‎ 当直线不过原点时，设的方程为，将（-21，-9）代入得，‎ 所以直线的方程为，故满足条件的直线方程为或.‎ ‎（2）设原点到直线的距离为，‎ 则，解得：或，‎ 当时，直线的方程为，此时；‎ 当时，直线的方程为，此时.‎ ‎19.‎ ‎（1）证明：,‎ 又底面是的菱形，且点是棱的中点，所以，‎ 又,所以平面.‎ 平面平面.‎ ‎（2）解：当时，平面，证明如下：‎ 连接交于，连接.‎ 因为底面是菱形，且点是棱的中点，所以∽且,‎ 又，所以，‎ 平面.‎ ‎20.解：（1），‎ ‎..‎ (2) ‎，.‎ 当为锐角时，‎ 由余弦定理得，，，此时的周长为.‎ 当为钝角时，‎ 由余弦定理得，，，此时的周长为.‎ ‎21.解：（1）由题意知，圆心到直线的距离，‎ 所以圆.‎ 又圆心到直线的距离，‎ 所以.‎ ‎（2）易知,设，则直线，‎ 由，得，‎ 所以，即，‎ 所以.‎ 由得，将代替上面的，‎ 同理可得，‎ 所以，‎ 从而直线.‎ 即，‎ 化简得.‎ 所以直线恒过一定点，该定点为.‎ ‎22.‎ （1） 证明：取中点，连接.‎ 在中，,所以为正三角形.‎ 又为中点，.‎ 因为，所以，‎ 又,故平面.‎ 因为分别是的中点，所以.‎ 又,所以平面平面.‎ 又故平面.‎ （2） 解：因为平面，所以，‎ 则为二面角的平面角，即.‎ 因为,所以.‎ 因为，且,所以.‎ 所以,且.‎ 因为平面，所以.‎ 所以平面，所以三棱锥的高为2.‎ 于是三棱锥的体积.‎ 在中，,所以,‎ 则在中，‎ ‎,‎ 所以，于是的面积.‎ 设点到平面的距离为，三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，‎ 所以，故.‎