2017-2018学年四川省乐山市高二上学期期末数学文试题（解析版）

2017-2018学年四川省乐山市高二上学期期末数学文试题（解析版）

‎2017-2018学年四川省乐山市高二上学期期末数学文试题（解析版）‎ 第一部分（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设命题，，则为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】命题是全称命题，则命题的否定是特称命题即：‎ 故选 ‎2. 将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如下图所示，则该几何体的侧视图为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】被截去的四棱锥的三条可见棱中，在两条为长方体的两条对角线，它们在右侧面的投影与右侧面的两边重合，另一条为体对角线，它在右侧面的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有符合 故选 ‎3. 已知椭圆的左焦点为，则（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 9‎ ‎【答案】B ‎【解析】椭圆的左焦点为 ‎，‎ 故选 ‎4. 一水平放置的平面四边形，用斜二测画法画出它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形的面积为（ ）‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎，‎ 还原回原图形后，‎ ‎，‎ 原图形的面积为 故选 ‎5. “且”是“方程表示双曲线”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】若方程表示双曲线，‎ 则，解得 则当时推出“且” 是“方程表示双曲线”‎ 反之则推不出 故“且” 是“方程表示双曲线”的必要不充分条件 故选 ‎6. 若抛物线的焦点与椭圆的上焦点重合，则该抛物线的准线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】的上焦点坐标为 抛物线的准线方程为 故选 ‎7. 设是两个不同的平面，是两条不同的直线，且，，则有（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：，若，则．该命题是两个平面垂直的判定定理，显然成立．故选A．两个平面垂直，一个平面内的直线不一定垂直另一个平面，故答案B错误．依次判断答案C、D也是错误的．‎ 考点：有关平面与平面、直线与平面的命题判断．‎ ‎8. 已知椭圆的两个焦点是，点在椭圆上，若，则的面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，，可得，，是直角三角形，的面积，故选D.‎ ‎9. 已知正三棱柱中，各棱长均相等，则与平面所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】取的中点，连接，底面 ，是正三角形，平面，是与平面所成角，设棱长为，则在中，，，故选C.‎ ‎10. 过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交于点.若点的横坐标为，则的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，代入双曲线方程可得，取双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线的斜率为，， ，，故选B.‎ ‎【 方法点睛】本题主要考查双曲线的渐近线及离心率，属于中档题 . 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据斜率相等，可以建立关于焦半径和焦距的关系．从而找出之间的关系，求出离心率．‎ ‎11. 在三棱锥中，平面，，为侧棱上的一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则下列命题正确的是（ ）‎ A. 平面且三棱锥的体积为 B. 平面且三棱锥的体积为 C. 平面且三棱锥的体积为 D. 平面且三棱锥的体积为 ‎【答案】C ‎【解析】平面，，‎ 又，‎ 平面，‎ 又由三视图可得在中，，为的中点，‎ ‎，平面 又，，平面 故 故选 ‎12. 椭圆的左、右顶点分别为，点在上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由椭圆的方程可得，‎ 由椭圆的性质可知：‎ ‎，则 故选 点睛：本题主要考查的知识点是椭圆的简单性质以及直线的斜率问题。由椭圆的方程可得，，然后利用椭圆的性质可得，再利用已知给出的的范围即可求出答案。‎ 第二部分（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.‎ ‎13. 抛物线的焦点坐标是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】抛物线方程化为标准方程为：‎ ‎，‎ 抛物线开口向下 则抛物线的焦点坐标是 ‎14. 在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧棱底面，，为的中点，则四面体的体积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】侧棱底面，是四面体的高，底面是边长为的菱形，，，为的中点，三角形的面积，四面体的体积等于四面体的体积，为，故答案为.‎ ‎15. 设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足.如果直线的斜率为，那么__________．‎ ‎【答案】6‎ ‎16. 如图，在梯形中，，，，分别是的中点，将四边形沿直线进行翻折.给出四个结论：①；②；③平面平面；④平面平面.在翻折过程中，可能成立的结论序号是__________．‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】作出翻折后的大致图形，如图所示 对于①，，与相交，但不垂直，与不垂直，故错误；‎ 对于②，设点在平面上的射影为点，则翻折过程中，点所在的直线平行于，当时，有，而可使条件满足，故正确；‎ 对于③，当点落在上时，平面，平面平面，故正确；‎ 对于④，点的射线不可能在上，④不成立，故错误；‎ 综上所述，可能成立的结论序号是②③‎ 点睛：本题是一道关于线线垂直，面面垂直的判定的题目。首先根据题目条件，作出翻折后的大致图形，然后利用空间中线线，线面，面面间的位置关系，逐个分析给出的四个结论，即可得到答案。‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 如图所示，在正方体中，分别是的中点.‎ ‎（1）求异面直线与所成的角的大小；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎【答案】（1）.（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：⑴连结，证出是与所成的角，连结，证得为等边三角形，即可得到答案 ‎⑵连结，推出，，由此证得 解析：（1）解：连结，由题可知，则与所成的角即为，连结，易知为等边三角形，则，即直线与所成的角为.‎ ‎（2）证明：连结，易知，又面，即，‎ ‎∴面，则，得证.‎ ‎18. 已知双曲线的方程是.‎ ‎（1）求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；‎ ‎（2）设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，求的大小.‎ ‎【答案】（1）见解析;（2）.‎ ‎【解析】试题分析：⑴将双曲线转化为标准形式，得到，，的值，即可得到双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；‎ ‎⑵先根据双曲线的定义得到，再由余弦定理得到的值，进而可得到的大小 解析：（1）解：由得，所以，，，‎ 所以焦点坐标，，离心率，渐近线方程为.‎ ‎（2）解：由双曲线的定义可知，‎ ‎∴‎ ‎ ，则.‎ ‎19. 如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）设，，三棱锥的体积，求到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）见解析.（2）.‎ ‎【解析】试题分析：⑴设与的交点为，连接，通过直线与平面平行的判定定理证明平面；⑵通过，，三棱锥的体积，求出，作交于，说明是到平面的距离，通过解三角形求解即可 解析：（1）证明：设与的交点为，连接.‎ 因为为矩形，所以为的中点，又为的中点，所以.‎ 又因为平面，平面，所以平面.‎ ‎（2）解：.由，可得.‎ 作交于.由题设知，，且，所以平面，‎ 又平面，所以，又，做平面.‎ ‎∵平面，∴，在中，由勾股定理可得，‎ 所以，所以到平面的距离为.‎ 点睛：本题主要考查了立体几何及其运算，对于⑴，运用一条直线平行于平面内一条直线，那么这条直线平行于该平面，即可证得；对于⑵，运用一条直线垂直于面上两条相交直线，那么这条直线垂直于该平面以及三角形面积公式即可求得。‎ ‎20. 已知抛物线的焦点为，抛物线与直线的一个交点的横坐标为4.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，若，求的面积.‎ ‎【答案】（1）.（2） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）可先确定抛物线与直线的一个交点坐标，将其代入拋物线方程，可得抛物线的方程；（2）根据，利用抛物线的定义可得，则的方程为，将其代入拋物线方程，联立，消去得，求出的坐标，利用三角形面积公式可得的面积.‎ 试题解析：（1）易知直线与抛物线的交点坐标为，‎ ‎∴，∴，∴抛物线方程为.‎ ‎（2）由（1）知，抛物线的焦点为，准线为，则，则的横坐标为2.代入中，得，不妨令，则直线的方程为，联立，消去得，可得，故 ‎ ‎21. 已知中，，，平面，，分别是上的动点，且.‎ ‎（1）求证：不论为何值，总有平面平面；‎ ‎（2）当为何值时，平面平面？‎ ‎【答案】（1）见解析.（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）通过证明⊥平面，说明平面平面；‎ ‎（2）将平面平面作为条件，利用三角形关系求解．‎ 试题解析：（1）∵⊥平面，∴⊥．‎ ‎∵⊥且，∴⊥平面，‎ 又∵ ，‎ ‎∴不论为何值，恒有，‎ ‎∴⊥平面．‎ 又平面，‎ ‎∴不论为何值，总有平面⊥平面．‎ ‎（2）由（1）知，⊥，又平面⊥平面，‎ ‎∴⊥平面，∴⊥．‎ ‎∵，，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，由，得，‎ ‎∴，‎ 故当时，平面平面．‎ 考点：两平面的位置关系的证明．‎ ‎22. 如图，椭圆的离心率是，点在短轴上，且.‎ ‎ （1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于两点.是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）.（2）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知，点C，D的坐标分别为（0，－b），（0，b）‎ 又点P的坐标为（0，1），且＝－1‎ 于是，解得a＝2，b＝‎ 所以椭圆E方程为.‎ ‎（Ⅱ）当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1‎ A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）‎ 联立，得（2k2＋1）x2＋4kx－2＝0‎ 其判别式△＝（4k）2＋8（2k2＋1）＞0‎ 所以 从而＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋（y1－1）（y2－1）]‎ ‎＝（1＋λ）（1＋k2）x1x2＋k（x1＋x2）＋1‎ ‎＝‎ ‎＝－‎ 所以，当λ＝1时，－＝－3‎ 此时，＝－3为定值 当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD 此时＝－2－1＝－3‎ 故存在常数λ＝－1，使得为定值－3.‎ 考点：本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程、平面向量等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.‎