宁夏吴忠中学2019-2020学年高一4月网课学习第一次在线考试数学试题

宁夏吴忠中学2019-2020学年高一4月网课学习第一次在线考试数学试题

2020 年 4 月网课学习第一次在线考试 一、单选题（每题 4 分，共 48 分） 1.设集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据对数不等式求解集合 再求解 即可. 【详解】 ,故 . 故选：C 【点睛】本题主要考查了对数不等式的求解以及交集的运算,属于基础题. 2.已知 ，且 为第三象限角，则 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据诱导公式得 ，再同角的平方关系得 ，再根据二倍角的正弦公式 求解即可． 【详解】解：∵ ，∴ ， 又 为第三象限角，∴ ， ∴ ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、诱导公式以及同角的平方关系，属于基础题． 3.已知 ，向量 与 垂直，则实数 的值为 ( ),2A = −∞ { }3log 1B x x= < A B = ( ),2−∞ ( ),3−∞ ( )0,2 ( )0,3 B A B { } { }3log 1 0 3B x x x x= < = < < A B = ( )0,2 ( ) 4cos 5 π α− = α sin 2α 7 25 7 25 − 24 25 24 25 − 4cos 5 α = − 3sin 5 α = − ( ) 4cos 5 π α− = 4cos 5 α = − α 3sin 5 α = − 24sin 2 2sin cos 25 α α α= = ( ) ( )3,2 , 1,0a b= − = − a bλ + 2a b− λ A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 向量 ＝（－3 －1，2 ）， ＝（－1,2），因为两个向量垂直，故有（－3 －1， 2 ）×（－1,2）＝0，即 3 ＋1＋4 ＝0，解得： ＝ ，故选 A． 4.某程序的框图如图所示，若执行该程序，输出的 值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据程序框图直接逐步计算即可. 【详解】初始值： 1. 判断为“是”； ； ； 2. 判断为“是”； ； ； 3. 判断为“是”； ； ； 4. 判断为“是”； ； 5. 判断为“否”；输出 故选：D 【点睛】本题主要考查了根据程序框图计算输出结果的方法,属于基础题. 1 7 − 1 7 1 6 − 1 6 a bλ + λ λ 2a b− λ λ λ λ λ 1 7 − S 45 36 25 16 1, 0k S= = 8k ≤ 0 1 1S = + = 1 2 3k = + = 8k ≤ 1 3 4S = + = 3 2 5k = + = 8k ≤ 4 5 9S = + = 5 2 7k = + = 8k ≤ 9 7 16S = + = 7 2 9k = + = 8k ≤ 16S = 5.在 中， ， ， ， 为 中点，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题可得： 为等边三角形，运算 即可. 【详解】 ， ， ， 为 中点， 为等边三角形， ， ， 故选：B 【点睛】本题主要考查向量数量积的运算，属于基础题. 6.下列说法中错误的个数是（ ） ①从某社区 65 户高收入家庭，280 户中等收入家庭，105 户低收入家庭中选出 100 户调查社 会购买力的某一项指标，应采用的最佳抽样方法是分层抽样 ②线性回归直线 一定过样本中心点 ③对于一组数据 ，如果将它们改变为 ，则平均数与方差均发生变化 ④若一组数据 1、 、2、3 的众数是 2，则这组数据的中位数是 2 ⑤用系统抽样方法从编号为 1，2，3，…，700 的学生中抽样 50 人，若第 2 段中编号为 20 的 学生被抽中，按照等间隔抽取的方法，则第 5 段中被抽中的学生编号为 76 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 ①应该采用分层抽样满足抽样合理性；②线性回归直线 一定过样本中心点 ； ③平均数肯定变化，方差指数据和平均数的离散程度，不变；④由众数算出 即可求中位数； ⑤用系统抽样，700 个抽样 50 每隔 14 人抽一次，根据第二次抽中编号为 20 可推知第五次被 抽中的编号。 ABC 1AB = 2BC = 60B = ° M BC AB AM⋅  0 1 2 1 2 ABM AB AM⋅   1AB = 2BC = 60B = ° M BC ABM∴ 1, 60AB A BAM M∴ = = ∠ =   1cos 2AB AM AB AM BAM⋅ = ⋅ ∠∴ ⋅ =    y bx a= +   ( , )x y 1,2,3,4,5 11,12,13,14,15 a y bx a= +   ( ),x y a 【详解】①从某社区 65 户高收入家庭，280 户中等收入家庭，105 户低收入家庭中选出 100 户调查社会购买力的某一项指标，采用分层抽样满足抽样合理性，正确； ②线性回归直线 一定过样本中心点 ，正确； ③对于一组数据 ，如果将它们改变 ，平均数由 变为 ， 方差 没发生变，不正确； ④因为众数是 2，所以 ，所以这组数据的中位数是 ，正确； ⑤用系统抽样，700 个抽样 50 每隔 14 人抽一次，第二次抽中编号为 20，则第三次是 34， 第四次是 48.第五次是 62，不正确； 所以错误的是③⑤ 故选：C 【点睛】此题考查概率中分层抽样，系统抽样，众数，中位数，平均数，方差等知识点，熟 练掌握知识点很容易解决，属于简单题目。 7.若函数 ，又 ， ，且 的最小 值为 ，则正数 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ， 由 ， 得 ， ， 由 ， 得 ， 则 ，当 时， 取 为 y bx a= +   ( ),x y 1,2,3,4,5 11,12,13,14,15 1 2 3 4 5 35 + + + + = 11 12 13 14 15 135 + + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 3 2 3 3 3 4 3 5 3 11 13 12 13 13 13 14 13 15 13 5 5 − + − + − + − + − − + − + − + − + −= 2a = 2 2 22 + = ( ) ( )sin 3 cos Rf x x x xω ω= + ∈ ( ) 2f α = − ( ) 0f β = α β− 3 4 π ω 1 3 3 2 4 3 2 3 ( ) 2 3f x sin x πω = +   ( ) 2f α = − 1 12 ,3 2k k Z π πωα π+ = − ∈ 12 5 6 k π πα ω ω∴ = − ( ) 0f β = 2 2 2, ,3 3 kk k Z ππ πωβ π β ω ω+ = ∈ ∴ = − ( ) ( ) ( )1 2 1 22 4 4 1 ,2 2 2 k k k k k k Z π π π ππα β ω ω ω − − − −− = − = = ∈ 0k = α β− 得最小值 ，则 ，解得 ，故选 D. 8.已知 ，则 的值为（ ） A. － B. － C. － D. － 【答案】B 【解析】 【分析】 利用两角和的正切得 tan（ α） ，由此能求出 tanα,再利用二倍角公式和同 角三角函数关系式求解即可． 【详解】∵tan（ α） ， 解得 tanα ． ． 故选 B 点睛】本题考查三角函数值的求法，考查诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查 运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 9.已知函数 ，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 1 B. 的最小正周期为 C. 的图像关于直线 对称 D. 的图像关于点 对 称 【答案】C 【解析】 【 2 π ω 3 2 4 π π ω = 2 3 ω = 1tan 4 2 π α + =   2sin 2 cos 1 cos2 α α α − + 5 3 5 6 1 6 3 2 4 π + 1 1 1 2 tan tan α α += =− 4 π + 1 14 1 21 4 tan tan tan tantan tan π α α π αα + += = =−− 1 3 = − 2sin 2 cos 1 cos2 α α α − + 2 2 2 2 sin cos cos α α α −= 2 2 2 2 sin cos cos cos α α α α −= 2 1 5 2 6 tanα −= = − 2 1( ) sin 3sin cos 2f x x x x= + + ( )f x ( )f x 2π ( )y f x= 3x π= ( )y f x= 7 ,012 π     【分析】 利用二倍角公式和辅助角公式化简得 f(x)的解析式，再利用三角函数函数性质考查各选项即可． 【详解】函数 = sin（2x ）+1 对于 A：根据 f（x）＝sin（2x ）+1 可知最大值为 2；则 A 不对； 对于 B：f（x）＝sin（2x ）+1，T＝π 则 B 不对； 对于 C：令 2x = ，故图像关于直线 对称则 C 正确； 对于 D：令 2x = ，故 的图像关于点 对称则 D 不对． 故选 C． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本 题的关键． 10.向量 ， ，若 ， 的夹角为钝角，则 的范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】 若 ， 的夹角为钝角，则 且不反向共线，进而利用坐标运算即可得解. 【详解】若 ， 的夹角为钝角，则 且不反向共线， ，得 . 向量 ， 共线时， ，得 .此时 . 所以 且 . 故选 C. 【点睛】本题主要考查了利用数量积研究向量的夹角，当为钝角时，数量积为 0，容易忽视反 2 1( ) sin 3sin cos 2f x x x x= + + 1 cos2 3 1sin 22 2 2 x x- + + = 6 π− 6 π− 6 π− 6 π− ,2 2 3 kk x k Zp p pp + = + Î， 3x π= 6 π− ,2 12 kk x k Zp pp = + Î， ( )y f x= 7 ,112 π     (2, )a t= ( 1,3)b = − a b t 2 3t < 2 3t > 2 3t < 6t ≠ − 6t < − a b 0a b  < a b 0a b  < 2 3 0a b t= − + < 2 3t < ( )2,a t= ( )1,3b = − 2 3 t× = − 6t = − 2a b = − 2 3t < 6t ≠ − 向共线时，属于易错题. 11.已知 ，则 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由 可 得 ， 化 简 则 ，从而可得结果. 【详解】 ， ，故选 C. 【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来 看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系， 结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的 三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种 关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定 角． π 4cos sin 36 5 α α − + =   7sin( )6 πα + 2 3 5 − 2 3 5 4 5 − 4 5 π 4cos sin 36 5 α α − + =   1 3 4cos2 2 5sinα α+ = 7sin 6 πα +   3 1( sin cos )2 2 α α= − + cos( ) sin cos cos6 6 6sin sin sin π π πα α α α α− + = + + 3 1cos sin sin2 2 α α α= + + 3 3 4cos sin 32 2 5 α α= + = 1 3 4cos2 2 5sinα α∴ + = 7 sin6 6sin π πα α   ∴ + = − +       3 1 4( sin cos )2 2 5 α α= − + = − 12.已知两个向量 ，则 的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据向量的线性运算得 2 的表达式，再由向量模的求法，逆用两角差的正弦公式进行化 简，即可求出答案． 【详解】解：∵向量 ， ∴2 （2cosθ ，2sinθ+1）， ∴ ＝4﹣4 cosθ+4sinθ+4 ＝8sin（θ ）+8 8+8＝16，当 sin（θ ）＝1 时，取“＝”， ∴ 的最大值为 4． 故选 C． 【点睛】本题主要考查向量的线性运算和模的运算以及逆用两角差的正弦公式，是基础题 目． 二．填空题（每题 4 分，共 16 分） 13.已知向量 ， 满足 ， ，且 与 的夹角为 120°，则 ＝__________． 【答案】 【解析】 【分析】 先根据向量的数量积的定义，求出 ，再利用平面向 ( ) ( )3, 1a cos sin bθ θ= = − ， 2a b−  2 2 2 4 4 2 a b−  ( ) ( )cos sin 3 1a bθ θ= = − ， ， ， a b− = 3− ( ) ( ) ( )22 22 2cos 3 2sin 1a b θ θ− = − + + 3 3 π− ≤ 3 π− ( )22 2 2 2 16 4a b a b a b∴ − = − = − ≤ =      2a b − a → b → 1a → = 1b → = a → b → 3a b → → − 13 1 1cos120 1 1 2 2a b a b → → → →  = = × × − = −    量的数量积的性质，求出 的值. 【详解】解：由题可知， ， ，且 与 的夹角为 120°， ， ， . 故答案为： . 【点睛】本题考查平面向量的数量积的定义和应用，以及向量求模的方法，考查运算能力. 14.已知 ， ，则 __________． 【答案】7 【解析】 【分析】 由 的范围求出 的范围，根据 sin（ ）的值，利用同角三角函数间的基本关系求 出 cos（ ）的值，进而求出 tan（ ）的值，tanA 变形为 tan[（ ） ]，利 用两角和与差的正切函数公式化简，计算即可求出值． 【详解】解：∵ ∈（ ， ）， ∴ ∈（ ，π）， ∵sin（ ） ， ∴cos（ ） ， ∴tan（ ）＝ ， 3a b → → − 1a → = 1b → = a → b → 1 1cos120 1 1 2 2a b a b → → → →  ∴ = = × × − = −    2 2 2 13 6 9 1 6 9 132a b a a b b → → → → → →  − = − + = − × − + =    3 13a b → → − =∴ 13 4sin 4 5 πα + =   3,4 4 π πα  ∈   tanα = α 4 πα + 4 πα + 4 πα + 4 πα + 4 πα + 4 π− α 4 π 3 4 π 4 πα + 2 π 4 πα + 4 5 = 4 πα + 2 31 4 5sin πα = − + = −   4 πα + 4 3 − 则 tanA＝tan[（ ） ] ． 故答案为 【点睛】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，两角和与差的正切公式，熟练掌握基本 关系是解本题的关键． 15.已知 ，则 _____________. 【答案】 【解析】 【分析】 令 ，得 ，可得出 ，然后代入 结合诱导公式和二倍角 的余弦公式可计算出 的值. 【详解】令 ，得 ，则 ， . 故答案为： . 【点睛】本题考查三角函数求值，涉及诱导公式和二倍角余弦公式的应用，考查计算能力， 属于中等题. 16.已知 、 是两个单位向量，它们的夹角是 ，设 ， 则向量 与 的夹角大小是__________． 【答案】 【解析】 分析】【 4 πα + 4 π− 14 7 1 4 tan tan πα πα  + −  = = + +   7 3cos 6 3 πα − =   sin 2 6 πα + =   1 3 − 6t πα= − 6t πα = + 3cos 3t = 6t πα = + sin 2 6 πα +   6t πα= − 6t πα = + 3cos 3t = 2 1sin 2 sin 2 sin 2 cos2 2cos 16 6 6 2 3t t t t π π π πα       + = + + = + = = − = −             1 3 − 1e → 2e → 60° 1 2 1 22 , 3 2a e e b e e → → → → → → = + = − + a → b → 120 根 据 题 意 ， 得 出 ， ， 根 据 向 量 的 数 量 积 的 定 义 求 出 和 ，根据向量模的求法，分别求出 和 ，最后利用平 面向量的数量的应用，求出 ，即可得出 与 的夹角大小. 【详解】已知 、 是两个单位向量，它们 夹角是 ， ， ，则 ， 因为 ， ， 则 ， 即： ， 则 ， ， ， 所以向量 与 的夹角为 . 故答案为： . 【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求两向量的夹角，以及单位向量的概念和向量的模 的求法，考查计算能力. 三．解答题（共 56 分） 的 1 1e → = 2 1e → = 1 2 1 2e e → → = 1 2 1 2 72 3 2 2a b e e e e → → → → → →   = + − + = −        a → b → cos , a ba b a b → → → → → → =  a → b → 1e → 2e → 60° 1 1e → ∴ = 2 1e → = 1 2 1 2 1 1cos60 1 1 2 2e e e e → → → → = = × × = 1 22a e e → → → = + 1 23 2b e e → → → = − + 1 2 1 22 3 2a b e e e e → → → → → →   = + − +        2 2 1 1 2 2 1 76 2 6 22 2e e e e → → → → = − + + = − + + = − 7 2a b → → = − 2 2 2 1 2 1 1 2 2 12 4 4 4 4 1 72a e e e e e e → → → → → → → = + = + + = + × + =    2 2 2 1 2 1 1 2 2 13 2 9 12 4 9 12 4 72b e e e e e e → → → → → → → = − + = − + = − × + =    7 12cos , 27 7 a ba b a b → → → → → → − ∴ = = = − ×  a → b → 120 120 17.已知 是同一平面内的三个向量， ； （1）若 ，且 ，求 的坐标； （2）若 ，且 与 垂直，求 与 的夹角 . 【答案】（1） 或 ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）设向量 ，根据 和 得到关于 的方程组，从而得到答案； （2）根据 与 垂直，得到 的值，根据向量夹角公式得到 的值，从而得 到 的值. 【详解】（1）设向量 ， 因为 ， ， ， 所以 ，解得 ，或 所以 或 ； （2）因为 与 垂直， 所以 ， 所以 而 ， ， 所以 ，得 ， 与 的夹角为 ，所以 ， 因为 ，所以 . 【点睛】本题考查根据向量的平行求向量的坐标，根据向量的垂直关系求向量的夹角，属于 , ,a b c   ( )1,2a = 2 5c = c a ∥ c 5 2b = 2a b+  2a b−  a b θ ( )2,4c = ( )2, 4c = − − π ( ),c x y= 2 5c = c a ∥ ,x y 2a b+  2a b−  a b⋅  cosθ θ ( ),c x y= ( )1,2a = 2 5c = c a ∥ 2 2 2 5 2 x y x y  + = = 2 4 x y =  = 2 4 x y = −  = − ( )2,4c = ( )2, 4c = − − 2a b+  2a b−  ( ) ( )2 2 0a b a b+ ⋅ − =    2 2 2 4 2 0a a b a b b− ⋅ + ⋅ − =      5 2b = 2 21 2 5a = + = 52 5 3 2 04a b× + ⋅ − × =  5 2a b⋅ = −  a b θ 5 2cos 1 55 2 a b a b θ −⋅= = = − ⋅ ×     [ ]0,θ π∈ θ π= 简单题. 18.已知 ， ， . （1）求 的值； (2)求 的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （ 1 ） 根 据 的 范 围 ， 利 用 同 角 三 角 函 数 可 求 得 ， 从 而 构 造 ，利用两角和差正弦公式求解得到结果；（2）根据同角三角函数 求出 ；利用二倍角正切公式求得 ；根据两角和差的正切公式求得结果. 【详解】（1） （2） ，则由（1）可知， ， , 0, 2 πα β  ∈   3sin 4 5 πα − =   1tan 2 β = sinα tan( 2 )α β+ 7 2 10 1− 4 πα − cos 4 πα −   sin sin 4 4 π πα α  = − +     tanα tan 2β 0, 2 πα  ∈   ,4 4 4 π π πα  ∴ − ∈ −   2 4cos 1 sin4 4 5 π πα α   ∴ − = − − =       sin sin sin cos cos sin4 4 4 4 4 4 π π π π π πα α α α      ∴ = − + = − + −             3 2 4 2 7 2 5 2 5 2 10 = × + × = 0, 2 πα  ∈   2 2cos 1 sin 10 α α= − = tan 7α = 1tan 2 β = 2 2tan 4tan 2 1 tan 3 ββ β∴ = =− ( ) 47tan tan 2 3tan 2 141 tan tan 2 1 7 3 α βα β α β ++∴ + = = = −− − × 【点睛】本题考查同角三角函数的求解、二倍角公式的应用、两角和差的正弦和正切公式的 应用问题，属于基础题. 19.大庆实验中学在高二年级举办线上数学知识竞赛，在已报名的 400 名学生中，根据文理学 生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分 成 7 组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图： （1）估算一下本次参加考试的同学成绩的中位数和众数； （2）已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数； （3）已知样本中有一半理科生的分数不小于 70，且样本中分数不小于 70 的文理科生人数相 等．试估计总体中理科生和文科生人数的比例． 【答案】（1）中位数 72.5，众数 75；（2）20 人；（3）3:2 【解析】 【分析】 （1）由频率分布直方图知，样本中分数低于 50 分的频率为 0.1，可以估计中位数为： ，众数则由直方图即可得出； （2）由（1）得样本中分数低于 50 分的频率为 0.1，可求出样本中分数低于 50 分的人数，而 样本中分数小于 40 的学生有 5 人，即可求出样本中分数在区间[40，50)内的人数，进而可估 计总体中分数在区间[40，50)内的人数； （3）根据频率分布直方图，得出样本中分数不小于 70 的人数为： 人， 结合题中条件，即可求出 100 个样本中理科生人数为 60 人，女生人数为 40 人，最后根据分 层抽样的原理，即可估计总体中理科生和文科生人数的比例. 【详解】解：（1）由频率分布直方图知，样本中分数低于 50 分的频率为： ， 170 10 72.54 + × = ( )0.4 0.2 100 60+ × = ( )1 0.01 0.02 0.02 0.04 10 0.1− + + + × = 在[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90]的频率分别为：0.1，0.2，0.4，0.2， 观察可知，中位数位于[70，80]内， 则可以估计中位数为： ， 则众数 ： . （2）由（1）得样本中分数低于 50 分的频率为 0.1， 所以样本中分数低于 50 分的人数为： 人， 而样本中分数小于 40 的学生有 5 人， 所以样本中分数在区间[40，50)内的人数为：10-5=5 人， 根据分层抽样，可估计总体中分数在区间[40，50)内的人数为： 人. （3）根据题意，样本中分数不小于 70 的人数为： 人， 而样本中分数不小于 70 的文理科生人数相等， 则样本中分数不小于 70 的文科人数为 30 人，理科人数为 30 人， 而样本中有一半理科生的分数不小于 70， 则 100 个样本中理科生人数为： 人，文科人数为 40 人， 根据分层抽样的原理，可估计出总体中理科生和文科生人数的比例为：60：40=3:2. 【点睛】本题考查由频率分布直方图求频率、频数、中位数和众数，以及分层抽样的原理， 考查推理能力和计算能力. 20.已知 . （1）求 的最小正周期及单调递减区间； （2）求函数 在区间 上的最大值和相应的 x 值. 【答案】（1） ，单调递减区间为 ；（2）答案见解析 【解析】 【分析】 （1）由 ，根据向量的数量积的运用可得 的解析式，化简，利用周期公式 求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函 为 170 10 72.54 + × = 70 80 752 + = 100 0.1 10× = 5400 20100 × = ( )0.4 0.2 100 60+ × = 30 2 60× = ( ) ( )22sin ,cos , ( 3 cos ,2),a x x b x f x a b= = = ⋅   ( )f x ( )f x 0, 2 π     T π= 2, ,6 3k k k Z π ππ π + + ∈   ( )f x a b= ⋅  ( )f x 数的单调递减区间； （2） 上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可得出 的最大值和最小值. 【详解】解： ， 由 （1）∴ 的最小正周期 . 由 . 得： ∴ 的单调递减区间为 ； （2） 上时， 可得： ， 当 ，即 时，函数 取得最小值为 . 当 ，即 时，函数 取得最大值为 . 故得函数 在区间 上的最大值 3，最小值 0. 【点睛】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函 数公式将函数进行化简是解决本题的关键.属于基础题. 21.某书店销售刚刚上市的某高二数学单元测试卷，按事先拟定的价格进行 5 天试销，每种单 价试销 1 天，得到如下数据： 单价 x/元 18 19 20 21 22 销量 y/册 61 56 50 48 45 0, 2x π ∈   ( )f x ( )22sin ,cos , ( 3 cos ,2)a x x b x= = 2( ) 2 3sin cos 2cos 3sin2 cos2 1 2sin 2 16f x a b x x x x x x π = ⋅ = + = + + = + +    ( )f x 2 2T π π= = 32 2 2 ,2 6 2k x k k Z π π ππ π+ ≤ + ≤ + ∈ 2 6 3k x k π ππ π+ ≤ ≤ + ( )f x 2, ,6 3k k k Z π ππ π + + ∈   0, 2x π ∈   72 ,6 6 6x π π π + ∈   72 6 6x π π+ = 2x π= ( )f x 72sin 1 06 π + = 2 6 2x π π+ = 6x π= ( )f x 2sin 1 32 π + = ( )f x 0, 2 π     （1）求试销 天的销量的方差和 关于 的回归直线方程； 附： . （2）预计以后的销售中，销量与单价服从上题中的回归直线方程，已知每册单元测试卷的成 本是 10 元，为了获得最大利润，该单元测试卷的单价应定为多少元？ 【答案】（1）33.2, （2）21.5 元 【解析】 【分析】 （1）根据公式计算可得结果； （2）)获得的利润 ，再根据二次函数知识可求得结果. 【详解】解：(1) , 关于 的回归直线方程为 . (2)获得的利润 ，即 二次函数 的图象开口向下， ∴当 时， 取最大值 5 y x 1 1 2 2 2 1 1 ( )( ˆ ˆ, ( ˆ ) ) n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b a y bx x x x nx = = = = − − − = = = − − − ∑ ∑ ∑ ∑  4 132y x= − + 24 172 1320z x x= − + − 18 19 20 21 22 205x + + + += = 61 56 50 48 45 525y + + + += = ( )2 2 2 2 2 21 9 4 2 4 7 33.25ys∴ = + + + + = 5 5 2 1 1 ( )( ) 40, ( ) 10i i i i i x x y y x x = = − − = − − =∑ ∑ 5 1 5 2 1 ( )( ) 4 ( ) i i i i i x x y y b x x = = − − = = − − ∑ ∑   52 20 4 132a y bx= − = + × = y x  4 132y x= − + ( ) ( )( )10 10 4 132z x y x x= − = − − + 24 172 1320z x x= − + − 24 172 1320z x x= − + − 172 21.58x = = z ∴当单价定为 元时，可获得最大利润. 【点睛】本题考查了求回归直线方程，考查了利用回归方程进行回归分析，属于中档题. 22.已知函数 （1）求函数 的对称中心坐标； （2）若关于 方程 在 上有两个不同的解，求实数 的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）根据余弦的差角公式与降幂公式，将三角函数式化简，结合正弦函数的性质即可求得对 称中心的坐标． （2）根据 x 的取值范围，先求得 的值域，根据 在 上有两个不同 的解，即可求得 m 的取值范围． 【详解】解：（1） 所以，函数 的对称中心坐标为 （2）由 则 当 时， ， 21.5 ( ) 2cos cos 6f x x x π = − −   23sin sin cos 1x x x+ + ( )f x x ( ) 2f x m= + 0, 2x π ∈   m ,1 ( )2 6 k k Z π π − ∈   3 1 1m− ≤ < ( )f x ( ) 2f x m= + 0, 2x π ∈   ( ) 2cos cos 6f x x x π = − −   23sin sin cos 1x x x+ + 23 cos sin cosx x x= + − 23sin sin cos 1x x x+ + 3 cos2 sin 2 2sin 2 13x x x π = + = + +   ( )f x ,1 ( )2 6 k k Z π π − ∈   ( ) 2sin 2 13f x x π = + +   0, 2x π ∈   42 ,3 3 3x π π π + ∈   由图像得最小值为 函数 的最大值为 要使方程 上在 上有两个不同的解， 即函数 和 在 上有两个不同的交点， 即 ， 即 . 【点睛】本题考查了三角函数图象与性质的综合应用，三角函数式的化简，属于中档题． ( )0 1 2sin 1 33f π= + = + ( )f x 1 2 3+ = ∴ ( ) 2f x m= + 0, 2x π ∈   ( )f x ( ) 2f x m= + 0, 2x π ∈   1 3 2 3m+ ≤ + < 3 1 1m− ≤ <