2018-2019学年四川省成都市外国语学校高一5月月考数学试题（解析版）

2018-2019学年四川省成都市外国语学校高一5月月考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年四川省成都市外国语学校高一5月月考数学试题 一、单选题 ‎1．计算sin43°cos13°-cos43°sin13°的结果等于 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎2．若为实数，则下列命题正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】B ‎【解析】逐一考查所给选项：‎ A. 若 ，则 ,该说法错误；‎ B. 若 ，则 ，该说法正确；‎ C. 若 ，则 ，则，该说法错误；‎ D. 若 ，则：，两侧除以可得，该说法错误.‎ 本题选择B选项.‎ ‎3．等差数列的前项和为，若，则等于（ ）‎ A．58 B．54 C．56 D．52‎ ‎【答案】D ‎【解析】，得,‎ ‎.‎ 故选D.‎ ‎4．在 中， ， ， ，则 等于（ ）‎ A． 或 B． C． D．以上答案都不对 ‎【答案】C ‎【解析】由题 中， ， ， ，则由正弦定理 得 结合，可得或 ，又，得 ，（舍去）.‎ 故选C.‎ ‎5．等比数列的各项均为正数，且，则　　‎ A．12 B．8 C．10 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由等比数列的性质，a5a6＝a4a7，a5a6＝9，‎ log3a1＋log3a2＋ ＋log3a10＝log3（a1a2a10）= log3＝10．‎ ‎【考点】等差数列的性质以及对数的运算法则．‎ ‎6．如图所示的正方形的边长为lcm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）‎ A．6cm B．8cm C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题目给出的直观图的形状，画出对应的原平面图形的形状，求出相应的边长，则问题可求．‎ ‎【详解】‎ 作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段C′B′∥x′轴，‎ 所以在原图形中对应的线段平行于x轴且长度不变，‎ 点C′和B′在原图形中对应的点C和B的纵坐标是O′B′的2倍，‎ 则OB＝2，所以OC＝3，则四边形OABC的长度为8．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面图形的直观图，考查了数形结合思想，解答此题的关键是掌握平面图形的直观图的画法，能正确的画出直观图的原图形．‎ ‎7．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式是　　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】观察图象的长度是四分之一个周期，由此推出函数的周期，又由其过点 然后求出，即可求出函数解析式.‎ ‎【详解】‎ 解：由图象可知：的长度是四分之一个周期 函数的周期为2，所以 函数图象过所以，并且 ‎，‎ 的解析式是 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由的部分图象确定其解析式，读懂图象是解题关键，并结合图象求出三角函数的解析式，本题是基础题．‎ ‎8．《莱茵德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的是较小的三份之和，则最小的1份为 A．磅 B．磅 C．磅 D．磅 ‎【答案】D ‎【解析】分析：设五个人所分得的面包为（其中），根据题中所给的条件，列出方程组，求出和的值，从而求得最小的一份的值.‎ 详解：设五个人所分得的面包为（其中），‎ 因为把100个面包分给五个人，‎ 所以，解得，‎ 因为使较大的两份之和的是较小的三份之和，‎ 所以，得，‎ 化简得，所以，‎ 所以最小的1份为，故选D.‎ 点睛：该题考查的是有关等差数列的应用题，在解题的过程中，需要根据题中的条件，设出对应的项，根据条件列出等量关系式，求得结果，再根据题意，列出对应的式子，求得结果.‎ ‎9．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据已知不等式的解集，利用韦达定理得到与的关系，代入所求不等式，利用一元二次不等式的解法求出解集即可．‎ ‎【详解】‎ 由不等式的解集为，‎ 得到，且方程的两个根分别为，2．‎ 由韦达定理：，，‎ 化为，‎ 化简得：，即，‎ 解得：或 即不等式的解集为或，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于中档题. 若，则的解集是；的解集是.‎ ‎10．已知，则的值等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由于，因此由诱导公式可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式的应用，三角函数化简求值时，第一步应观察已知角和未知角的关系，通过角的关系确定选用什么公式，千万不能盲目地想当然地选用公式，否则可能会人为地加大难度，甚至不能正确地求解．‎ ‎11．已知则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先将用两角和正弦公式化开，然后与合并后用辅助角公式化成一个三角函数，最后再由三角函数的诱导公式可得答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的化简求值，其中解答中根据三角函数的诱导公式和辅助角公式，得到的值是解答的关键 ，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎12．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是 ‎ A． B． C．‎ ‎ D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】将原问题转化为求最值的问题，然后利用均值不等式求最值即可确定实数m的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 若不等式有解，即即可，‎ ‎，，‎ 则，‎ 当且仅当，即，即时取等号，此时，，‎ 即，‎ 则由得，即，‎ 得或，‎ 即实数m的取值范围是，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键．‎ ‎13．已知点在同一个球面上，，若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由可知为直角三角形，,所以的外形为的中点，由四面体的体积公式可知，当顶点到平面 的距离最大时，有最大体积，所以只有当球体的球心共线，由题及可求得顶点到平面的距离为，假设球体半径,则球心到圆心的距离为,则，可求得，则求得表面积,故本题选择D.‎ ‎【考点】三棱锥的体积，球的表面积.‎ ‎【思路点睛】本题关键在于求四面体的外接球半径，对于一个空几何体，其外接球的球心为到几何体上不共面的四个点的距离相等的点，由为直角三角形，可知当过做四面体面上的高过的中点时，外接球的半径才能够为最大值，有勾股定理求得求得半径，在代入公式便可求得表面积.‎ ‎14．如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，‎ ‎.（）‎ 若 A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等差数列 D．是等差数列 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：表示点到对面直线的距离（设为）乘以长度的一半，即，由题目中条件可知的长度为定值，那么我们需要知道的关系式，由于和两个垂足构成了直角梯形，那么，其中为两条线的夹角，即为定值，那么，，‎ 作差后：，都为定值，所以为定值．故选A．‎ ‎【考点】等差数列的定义．‎ ‎【思路点睛】先求出的高，再求出和的面积和，进而根据等差数列的定义可得为定值，即可得是等差数列．‎ 二、填空题 ‎15．不等式的解集为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：首先将分式不等式转化为整式不等式，利用一元二次不等式的解法，求得其解集，得到结果.‎ 详解：分式不等式可以转化为，解得，所以原不等式的解集为，故答案是.‎ 点睛：该题考查的是有关分式不等式的解法问题，在解题的过程中，注意将分式不等式转化为整式不等式，之后应用一元二次不等式的解法求得结果，涉及到的知识点就是分式不等式与整式不等式的等价转化.‎ ‎16．长方体的同一顶点的三条棱长分别为3、4、5，则该长方体的外接球表面积为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据长方体外接球的特征求得求半径，然后可求得外接球的表面积．‎ ‎【详解】‎ 由题意得长方体外接球的直径为长方体的体对角线的长．‎ ‎∵长方体同一顶点的三条棱长分别为3、4、5，‎ 即，，．‎ ‎∴长方体外接球的半径．‎ ‎∴长方体的外接球表面积为．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 解题时注意以下结论的运用：即长方体一定有外接球，球心为长方体的体对角线的交点，若过长方体一个顶点的三条棱的长度分别为，则求半径为．‎ ‎17．数列满足：，，若，且数列的单调递增数列，则实数的取值范围为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，数列满足，取倒数可得，‎ 即，利用等比数列的通项公式可得，代入得，再利用数列的单调性，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，数列满足 ，取倒数可得，即，所以数列表示首项为2，公比为2的等比数列，所以，‎ 所以，‎ 因为数列是单调递增数列，所以当时，，‎ 即；‎ 当时，，因此.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等比数列的定义的通项公式，以及数列的递推关系式，数列的单调性等知识点的综合应用，其中解答中根据等比数列的定义和递推关系式，合理利用数列的单调性，列出相应的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.‎ ‎18．在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是 .‎ ‎【答案】8.‎ ‎【解析】，又，因此 即最小值为8.‎ ‎【考点】三角恒等变换，切的性质应用 ‎【名师点睛】消元与降次是高中数学中的主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形中恒有，这类同于正、余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时应多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识．此类问题的求解有两种思路：一是边化角，二是角化边．‎ ‎19．已知的内角的对边分别为，若，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由余弦定理结合可得，从而把两元问题转化为一元问题，然后利用均值不等式即可求出的最小值.‎ 详解：由余弦定理及，得 即，再由正弦定理，得即，即所以，所以，‎ 所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为 故答案为：‎ 点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.‎ 三、解答题 ‎20．已知一个几何体的三视图如图所示．‎ ‎（1）求此几何体的表面积；‎ ‎（2）如果点P，Q在正视图中所示位置：P为所在线段中点，Q为顶点，求在几何体表面上，从P点到Q点的最短路径的长．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由三视图知：此几何体是一个圆锥加一个圆柱，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和.利用面积公式分别求面积然后相加得到表面积；（2）沿点与点所在母线剪开圆柱侧面，展开图为矩形，最短距离为对角线.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由三视图知：此几何体是一个圆锥加一个圆柱，其表面积是圆锥的侧面积、‎ 圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和.‎ ‎，，‎ 所以.‎ ‎（2）沿点与点所在母线剪开圆柱侧面，如图 则，‎ 所以从点到点在侧面上的最短路径的长为.‎ ‎【考点】三视图.‎ ‎21．（本题满分14分）在中，内角A，B，C所对的边分别为.已知.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）利用两角和与差的正切公式，得到，利用同角三角函数基本函数关系式得到结论；（2）利用正弦定理得到边的值，根据三角形，两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积.‎ 试题解析：（1）由，得，‎ 所以.‎ ‎（2）由可得，.‎ ‎，由正弦定理知：.‎ 又，‎ 所以.‎ ‎【考点】1.同角三角函数基本关系式；2.正弦定理；3.三角形面积公式.‎ ‎22．已知向量，函数．‎ ‎（1）求函数的最小正周期以及单调递增区间；‎ ‎（2）设的内角 A，B，C的对边分别 a，b，c且，若，求a，b值．‎ ‎【答案】（1）,（2）‎ ‎【解析】（1）由向量数量积的坐标运算求出函数，利用二倍角公式和两角差的正弦公式化简函数为一个角的一个三角函数形式，最后由三角函数的性质求得周期和增区间；‎ ‎（2）由（1）及求得，条件可化为，结合正弦定理可得，再由含有角的余弦定理可求得．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）解：‎ ‎∴最小正周期 由的图象和性质，可知是增区间．‎ ‎∴是增区间，解得：，‎ 所以，的单调增区间为：‎ ‎（2）解：，∴，‎ ‎∵， ∴，∴，∴，∴.‎ ‎∵，∴，由正弦定理，①‎ ‎∵由余弦定理得：，即，②‎ ‎∴联立①、②解得 ‎【点睛】‎ 本题考查向量数量积的坐标运算，考查二倍角公式，两角差的正弦公式，考查正弦定理与余弦定理，属于中档题．解题时要求熟练掌握并能灵活运用三角函数公式，公式的选用不同，解法就不一样．如第（2）小题可另解：由得，展开变形后可求得，从而，由直角三角形的性质易得值．‎ ‎23．设数列的前项和为，且，数列满足，点在上， ‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1），‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】（1）利用与的递推关系可以的通项公式；点代入直线方程得，可知数列是等差数列，用公式求解即可.(2)用错位相减法求数列的和.‎ ‎【详解】‎ 由可得，‎ 两式相减得，．‎ 又，所以．故是首项为1，公比为3的等比数列．所以．‎ 由点在直线上，所以．‎ 则数列是首项为1，公差为2的等差数列．则 因为，所以．‎ 则，‎ 两式相减得：．‎ 所以．‎ ‎【点睛】‎ 用递推关系求通项公式时注意的取值范围，所求结果要注意检验 的情况；由一个等差数列和一个等比数列的积组成的数列求和，常用错位相减法求解.‎ ‎24．建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的大计，是实现中国梦的重要内容.习近平指出：“绿水青山就是金山银山”。某乡镇决定开垦荒地打造生态水果园区，其调研小组研究发现：一棵水果树的产量（单位：千克）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：。此外，还需要投入其它成本（如施肥的人工费等）元.已知这种水果的市场售价为16元/千克，且市场需求始终供不应求。记该棵水果树获得的利润为（单位：元）。‎ ‎（Ⅰ）求的函数关系式；‎ ‎（Ⅱ）当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？最大利润是多少？‎ ‎【答案】(1)见解析(2) 当投入的肥料费用为30元时，种植该果树获得的最大利润是430元.‎ ‎【解析】分析：（1）根据题意可得，根据题中的条件，化为分段函数即可；‎ ‎（2）根据分段函数的解析式即可求出最大利润.‎ 详解：（1） ‎ ‎（2）当 ‎ 当 ‎ 当且仅当时，即时等号成立 ‎ 答：当投入的肥料费用为30元时，种植该果树获得的最大利润是430元.‎ 点睛：该题考查的是有关函数的应用问题，在解题的过程中，注意认真审题，找出等量关系式，求得函数解析式，之后应用函数的解析式求得函数的最值.‎ ‎25．设正数列的前项和为n，且.‎ ‎（1）求证数列为等差数列，并求数列的通项公式 ‎（2）若数列，设为数列的前n项的和，求.‎ ‎（3）若对一切恒成立，求实数的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】（1）根据题目求解的第一个目的，可把已知中替换为 ‎，从而可证明是等差数列，求出后可求得，注意；‎ ‎（2）由（1），可用裂项相消法求得和；‎ ‎（3）对一切恒成立，即，从而有，结合基本不等式可求得的最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）解：∵正数列的前项和为，且，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，∵，解得，‎ 所以是首项为1，公差为1的等差数列∴，∴，‎ ‎∴，‎ 当时，，∴‎ ‎（2）解：，∴，‎ ‎∴‎ ‎（3）解：对一切恒成立，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 当且仅当时取等号，故实数的最小值为 ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的判定，等差数列的通项公式，考查裂项相消法求和以及与数列有关的不等式恒成立问题．有一定的综合性，属于难题．解题中注意与的关系：中，即此关系中不包含数列的首项，因此要特别求出，确认其关系．裂项相消求和与错位相减求和是数列求和的两个典型解法，一定要掌握，它们是特定数列的求和．‎