湖南省怀化市中方县第一中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

湖南省怀化市中方县第一中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com 数学试卷 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则AB中元素的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意可得，故中元素的个数为2，所以选B.‎ ‎【名师点睛】集合基本运算的关注点：‎ ‎(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．‎ ‎(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．‎ ‎(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．‎ ‎2.设A、B是非空集合，定义：且.‎ 已知，，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 求出集合中的函数的定义域得到：‎ ‎，即 可化为或 解得，即 ‎，‎ 则 故选 ‎3.将根式化为分数指数幂是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用求得正确选项.‎ ‎【详解】由于，故.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根式化为指数形式，属于基础题.‎ ‎4.已知函数的定义域为集合A,函数的值域为集合B，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的定义域求得集合，根据指数函数的值域求得集合，由此求得 ‎【详解】函数的定义域为，函数的值域为，而，故.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数的定义域、函数的值域的求法，考查集合交集和补集的运算，属于基础题.‎ ‎5.下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，函数和函数在区间上为减函数；函数在区间上先减后增的函数，故选A．‎ 考点：函数的单调性．‎ ‎6.若函数在区间上是单调递增的,则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据实数的不同取值进行分类讨论.利用函数的单调性进行求解即可.‎ ‎【详解】当时, ,因为,所以函数是整个实数集上的增函数,故在区间上也是单调递增的,符合题意；‎ 当时，要想函数在区间上是单调递增的只需满足：‎ ‎,综上所述：实数的取值范围为.‎ 故选D ‎【点睛】本题考查了已知函数的单调区间求参数问题,考查了分类讨论思想,考查了数学运算能力.‎ ‎7.设函数f(x)＝ln(1＋x)＋mln(1－x)是偶函数，则(　　)‎ A. m＝1，且f(x)在(0,1)上是增函数 B. m＝1，且f(x)在(0,1)上是减函数 C. m＝－1，且f(x)在(0,1)上是增函数 D. m＝－1，且f(x)在(0,1)上是减函数 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为函数f(x)＝ln(1＋x)＋mln(1－x)是偶函数，所以f＝f，则(m－1)ln 3＝0，即m＝1，则f(x)＝ln(1＋x)＋ln(1－x)＝ln(1－x2)，在(0,1)上，当x增大时，1－x2‎ 减小，ln(1－x2)减小，即f(x)在(0,1)上是减函数，故选B.‎ ‎8.当时，幂函数为减函数，则实数（ ）‎ A. -1 B. 2 C. -1或2 D. 2或0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据幂函数的定义，由求得的可能取值，再由函数的单调性，求得的值.‎ ‎【详解】由于函数为幂函数，故，解得或.当时，，满足在上递减.当时，，在上递增.所以实数的值为.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查幂函数的定义和单调性，属于基础题.‎ ‎9.已知，则的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将都转化为，根据的单调性，判断出的大小关系.‎ ‎【详解】依题意，，.而函数在上递增，故.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查指数运算，考查根据指数函数单调性比较大小，属于基础题.‎ ‎10.关于函数的以下三种性质： ①；②；③所对应的函数分别是（ ）‎ A. ①指数函数、②对数函数、③幂函数 B. ①对数函数、②指数函数、③幂函数 C. ①指数函数、②幂函数、③对数函数 D. ①幂函数、②指数函数、③对数函数 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数函数、指数函数、幂函数的运算性质，选出正确答案.‎ ‎【详解】对于①，令，则，所以①为对数函数.‎ 对于②，令，则，所以②为指数函数.‎ 对于③，令，则，所以③为幂函数.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查对数函数、指数函数和幂函数的运算，属于基础题.‎ ‎11.函数的零点的个数为（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，转为两个函数图像交点个数来判断零点个数.‎ ‎【详解】令，则，画出的图像如下图所示，由图可知，图像有一个交点，也即有一个零点.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数零点个数的判断，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎12.函数的大致图象为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数图像上的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】依题意，由此排除A,B选项.而，由此排除D选项.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数图像的确定，主要采用特殊值排除法，属于基础题.‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知集合，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得，然后求得.‎ ‎【详解】依题意，故.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.‎ ‎14.有下列函数式：①；②；③；④；⑤.其中表示是的函数的表达式的序号是_________.‎ ‎【答案】①③⑤‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的定义，对五个表达式逐一分析，由此确定表示是的函数的表达式的序号.‎ ‎【详解】对于①，，符合函数的定义，故①是函数.‎ 对于②，由于的解集为空集，不符合函数的定义，故②不是函数.‎ 对于③，，符合函数定义，故③是函数.‎ 对于④，对于任意，都有两个与之对应，不符合函数的定义，故④不是函数.‎ 对于⑤，可化为，为一次函数，故⑤是函数.‎ 故答案为①③⑤.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数的定义，属于基础题.‎ ‎15.已知函数，则___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，解出的值，进而求得的值.‎ ‎【详解】令，解得，故.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据表达式求函数值，属于基础题.‎ ‎16.已知函数和的图象如图，直线与两函数的图象分别交于A,B两点，若在函数上存在一点C，使得构成等边三角形，则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出两点的坐标，由此求得，根据等边三角形的性质，求得点的横坐标，结合两点的横坐标和中点坐标公式列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】设.则.设，由于三角形是等边三角形，所以点到直线的距离为，所以，，另根据中点坐标公式有 ‎，所以，解得.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查对数运算，考查指数函数图像变换，考查等边三角形的性质，考查方程的思想，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ 三、简答题（其中17题10分；18、19、20、21、22题均为12分，共70分）‎ ‎17.已知集合，集合.‎ ‎（1）若，求和 ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：⑴把代入求出，，即可得到和 ‎⑵由得到，由此能求出实数的取值范围；‎ 解析：（1）若，则．‎ ‎ ，‎ ‎（2）因为 , ‎ 若，则， ‎ 若，则或， ‎ 综上，‎ ‎18.求下列各式的值.‎ ‎（1）；‎ ‎（2） .‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用对数运算，化简所求表达式；‎ ‎（2）利用对数运算，化简所求表达式；‎ ‎【详解】（1）原式 ‎.‎ ‎（2）原式 ‎.‎ ‎【点睛】本小题主要考查对数运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎19.已知函数的定义域为D.‎ ‎（1）求D；‎ ‎（2）若函数在D上存在最小值2，求实数m的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用函数定义域的求法，求得.‎ ‎（2）根据开口方向，结合对称轴与的位置关系进行分类讨论，由最小值为列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】（1）依题意，解得.‎ ‎（2）函数的开口向上，对称轴为.‎ 当时，在上递增，最小值为，解得.‎ 当时，在上最小值为，不符合题意.‎ 当时，上递减，但在处没有定义，故没有最小值，不符合题意.‎ 综上所述，.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数定义域求法，考查二次函数最值有关问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）判断函数的奇偶性；‎ ‎（2）若函数为增函数，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）奇函数；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据函数奇偶性的定义，判断出函数的奇偶性.‎ ‎（2）利用单调性的定义，结合列不等式，解不等式求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）函数的定义域为，且 ‎，‎ 所以函数奇函数.‎ ‎（2）任取，由于函数为增函数，故，即 ‎，‎ 即，由于，故，‎ 所以，即，解得.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数奇偶性的定义和判定，考查利用函数的单调性求参数的取值范围，考查函数单调性的定义，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎21.已知函数为偶函数，且有一个零点为2.‎ ‎（1）求实数a，b的值.‎ ‎（2）若在上的最小值为－5，求实数k的值.‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据偶函数性质求a，再根据零点求b，（2）根据二次函数对称轴与定义区间位置关系分类讨论函数最小值取法，再根据最小值求k的值.‎ ‎【详解】（1）因为函数为偶函数，所以，即因此，又因为零点为2，所以 ‎（2）,‎ 当<0时，在上的最小值为,舍去，‎ 当>3时，在上的最小值为,舍去，‎ 当03时，在上的最小值为,因为3，所以，‎ 综上.‎ ‎【点睛】研究二次函数最值，一般通过研究对称轴与定义区间位置关系得函数单调性，再根据单调性确定函数最值取法.‎ ‎22.已知函数对任意的实数m,n都有,且当时,.‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)求证：在R上为增函数；‎ ‎(3)若,且关于x的不等式对任意的恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1).‎ ‎(2)证明见解析；‎ ‎(3).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 代入求值即可；‎ ‎(2)利用单调性的定义、充分利用和当时,.即可证明出在R上为增函数；‎ ‎(3)利用、把不等式转化为两个函数值的大小关系的式子,再利用(2)的结论,可以得到一个不等式,要想这个不等式对任意的恒成立,通过构造函数,利用函数的最值最后求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）令,则,∴.‎ ‎（2）证明：任取,且.‎ 则,,∵,‎ ‎∴‎ ‎∴,∴在R上为增函数.‎ ‎（3）∵,即 ‎∴,∵,∴.‎ 又∵在R上为増函数,∴‎ ‎∴对任意的恒成立 令，只需满足即可 当,即时,在上递增 因此,由得,此时；当，即时，‎ ‎,由得,‎ 此时.‎ 综上,实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了抽象函数单调性的证明,考查了通过构造函数解决不等式恒成立问题,考查了数学运算能力.‎ ‎ ‎