2012年高考真题理科数学解析汇编：函数与方程

2012年高考真题理科数学解析汇编：函数与方程

‎2012年高考理科试题分类解析汇编：函数与方程 一、选择题 ．（2012年高考（天津理））函数在区间内的零点个数是 （　　）‎ A．0 B．‎1 ‎C．2 D．3‎ ．（2012年高考（新课标理））设点在曲线上,点在曲线上,则最小值为 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ．（2012年高考（重庆理））已知是定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“为[0,1]上的增函数”是“为[3,4]上的减函数”的 ‎ （　　）‎ A．既不充分也不必要的条件 B．充分而不必要的条件 ‎ C．必要而不充分的条件 D．充要条件 ．（2012年高考（四川理））函数的图象可能是 ‎ ．（2012年高考（上海春））记函数的反函数为如果函数的图像过点,那么函数的图像过点 [答] （　　）‎ A．. B．. C．. D．.‎ ．（2012年高考（陕西理））下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ．（2012年高考（山东理））设函数,若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是 （　　）‎ A．当时, B．当时, ‎ C．当时, D．当时,‎ ．（2012年高考（山东理））函数的图像大致为 ．（2012年高考（山东理））定义在上的函数满足.当时,,当时,.则 （　　）‎ A． 335 B．‎338 ‎C．1678 D．2012‎ ．（2012年高考（辽宁理））设函数f(x)满足f()=f(x),f(x)=f(2x),且当时,f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos|,则函数h (x)=g(x)-f(x)在上的零点个数为 （　　）‎ A．5 B．‎6 ‎C．7 D．8‎ ．（2012年高考（江西理））若函数f(x)= ,则f(f(10)= （　　）‎ A．lg101 B．b C．1 D．0‎ ．（2012年高考（江西理））下列函数中,与函数y=定义域相同的函数为 （　　）‎ A．y= B．y= C．y=xex D．‎ ．（2012年高考（湖南理））已知两条直线 :y=m 和: y=(m>0),与函数的图像从左至右相交于点A,B ,与函数的图像从左至右相交于C,D .记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时,的最小值为 （　　）‎ A． B． C． D． ‎ ．（2012年高考（湖北理））函数在区间上的零点个数为 （　　）‎ A．4 B．‎5 ‎C．6 D．7‎ ．（2012年高考（广东理））(函数)下列函数中,在区间上为增函数的是 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ．（2012年高考（福建理））函数在上有定义,若对任意,有,则称在上具有性质.设在[1,3]上具有性质,现给出如下命题:‎ ‎①在上的图像时连续不断的; ②在上具有性质;‎ ‎③若在处取得最大值,则;‎ ‎④对任意,有 其中真命题的序号是 （　　）‎ A．①② B．①③ C．②④ D．③④‎ ．（2012年高考（福建理））设函数,则下列结论错误的是 （　　）‎ A．的值域为 B．是偶函数 C．不是周期函数 [ D．不是单调函数 ．（2012年高考（安徽理））下列函数中,不满足的是 （　　）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题 ．（2012年高考（天津理））已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点,则实数的取值范围是______________.‎ ．（2012年高考（四川理））记为不超过实数的最大整数,例如,,,.设为正整数,数列满足,,现有下列命题:‎ ‎①当时,数列的前3项依次为5,3,2;‎ ‎②对数列都存在正整数,当时总有;‎ ‎③当时,;‎ ‎④对某个正整数,若,则.‎ 其中的真命题有____________.(写出所有真命题的编号)‎ ．（2012年高考（上海理））已知是奇函数,且.若,则 ‎_______ .‎ ．（2012年高考（上海理））已知函数(a为常数).若在区间[1,+¥)上是增函数,则a的取值范围是_________ .‎ ．（2012年高考（上海春））函数的最大值是______.‎ ．（2012年高考（上海春））若为奇函数,则实数______.‎ ．（2012年高考（上海春））方程的解为_______.‎ ．（2012年高考（上海春））函数的定义域为_______.‎ ．（2012年高考（江苏））设是定义在上且周期为2的函数,在区间上,‎ 其中.若,则的值为____.‎ ．（2012年高考（江苏））函数的定义域为____.‎ ．（2012年高考（福建理））对于实数和,定义运算“﹡”:,设,且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根,则的取值范围是_________________.‎ ．（2012年高考（北京理））已知,.若同时满足条件:‎ ①或;② ,. 则的取值范围是________.‎ 三、解答题 ．（2012年高考（上海理））已知函数.‎ ‎(1)若,求的取值范围;‎ ‎(2)若是以2为周期的偶函数,且当时,有,求函数 的反函数.‎ ．（2012年高考（上海春））本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.‎ 定义向量的“相伴函数”为函数 的“相伴向量”为(其中为坐标原点).记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为 ‎(1)设求证:‎ ‎ (2)已知且求其“相伴向量”的模;‎ ‎(3)已知为圆上一点,向量的“相伴函数”‎ 在处取得最大值.当点在圆上运动时,求的取值范围.‎ ．（2012年高考（上海春））本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.‎ 某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为千米(忽略内、外环线长度差异).‎ ‎(1)当列列车同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为分钟,求内环线列车的最小平均速度;‎ ‎(2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为千米/小时,外环线列车平均速度为千米/小时.现内、外环线共有列列车全部投入运行,要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过分钟,问:内、外环线应名投入几列列车运行?‎ ．（2012年高考（江苏））如图,建立平面直角坐标系,轴在地平面上,轴垂直于地平面,单位长度为‎1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上,其中与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.‎ ‎(1)求炮的最大射程;‎ ‎(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标不超过多少时,‎ 炮弹可以击中它?请说明理由.‎ ．（2012年高考（湖南理））某企业接到生产3000台某产品的A,B,C三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比,比例系数为k(k为正整数).‎ ‎(1)设生产A部件的人数为x,分别写出完成A,B,C三种部件生产需要的时间;‎ ‎(2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数k的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.‎ ‎2012年高考理科试题分类解析汇编：函数与方程参考答案 一、选择题 【答案】B ‎ ‎【命题意图】本试题主要考查了函数与方程思想,函数的零点的概念,零点存在定理以及作图与用图的数学能力. ‎ ‎【解析】解法1:因为,,即且函数在内连续不断,故在内的零点个数是1. ‎ 解法2:设,,在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示:可知B正确. ‎ 【解析】选 ‎ 函数与函数互为反函数,图象关于对称 ‎ 函数上的点到直线的距离为 ‎ 设函数 ‎ 由图象关于对称得:最小值为 ‎ 【答案】D ‎ ‎【解析】由是定义在上的偶函数及上的增函数可知在为减函数,又2为周期,所以在上为减函数. ‎ ‎【考点定位】本题主要通过常用逻辑用语来考查函数的奇偶性和对称性,进而来考查函数的周期性,根据图像分析出函数的性质及其经过的特殊点是解答本题的关键. ‎ [答案]C ‎ ‎[解析]采用排除法. 函数恒过(1,0),选项只有C符合,故选C. ‎ ‎[点评]函数大致图像问题,解决方法多样,其中特殊值验证、排除法比较常用,且简单易用. ‎ B ‎ 解析:奇函数有和,又是增函数的只有选项D正确. ‎ 【解析】在同一坐标系中分别画出两个函数的图象,当时,要想满足条件,则有如图,做出点A关于原点的对称点C,则C点坐标为,由图象知即,同理当时,则有,故答案选B. ‎ 另法:,则方程与同解,故其有且仅有两个不同零点.由得或.这样,必须且只须或,因为,故必有由此得.不妨设,则.所以,比较系数得,故.,由此知,故答案为B. ‎ 解析:令,则,设, ‎ 令,则,要使y=f(x)的图像与y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点只需,整理得,于是可取来研究,当时,,解得,此时,此时;当时,,解得,此时,此时.答案应选B. ‎ 另解:令可得.设 ‎ 不妨设,结合图形可知,当时如右图,此时, ‎ 即,此时,,即;同理可由图形经过推理可得当时.答案应选B. ‎ 【解析】函数为奇函数,所以图象关于原点对称,排除A,令得,所以,,函数零点有无穷多个,排除C,且轴右侧第一个零点为 ‎,又函数为增函数,当时,,,所以函数,排除B,选D. ‎ 【解析】由,可知函数的周期为6,所以,,,,,,所以在一个周期内有,所以,选B. ‎ 【答案】B ‎ ‎【解析】因为当时,f(x)=x3. 所以当,f(x)=f(2x)=(2x)3, ‎ 当时,g(x)=xcos;当时,g(x)= xcos,注意到函数f(x)、 g(x)都是偶函数,且f(0)= g(0), f(1)= g(1),,作出函数f(x)、 g(x)的大致图象,函数h(x)除了0、1这两个零点之外,分别在区间上各有一个零点,共有6个零点,故选B ‎ ‎【点评】本题主要考查函数的奇偶性、对称性、函数的零点,考查转化能力、运算求解能力、推理论证能力以及分类讨论思想、数形结合思想,难度较大. ‎ B 【解析】本题考查分段函数的求值. ‎ 因为,所以.所以. ‎ ‎【点评】对于分段函数结合复合函数的求值问题,一定要先求内层函数的值,因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值.另外,要注意自变量的取值对应着哪一段区间,就使用哪一段解析式,体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用,来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式,千万别代错解析式. ‎ D 【解析】本题考查常有关对数函数,指数函数,分式函数的定义域以及三角函数的值域. ‎ 函数的定义域为,而答案中只有的定义域为.故选D. ‎ ‎【点评】求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.其求解根据一般有:(1)分式中,分母不为零;(2)偶次根式中,被开方数非负;(3)对数的真数大于0:(4)实际问题还需要考虑使题目本身有意义.体现考纲中要求了解一些简单函数的定义域,来年需要注意一些常见函数:带有分式,对数,偶次根式等的函数的定义域的求法. ‎ 【答案】B ‎ ‎【解析】在同一坐标系中作出y=m,y=(m>0),图像如下图, ‎ 由= m,得,= ,得. ‎ 依照题意得. ‎ ‎,. ‎ ‎ ‎ ‎【点评】在同一坐标系中作出y=m,y=(m>0),图像,结合图像可解得. ‎ 考点分析:本题考察三角函数的周期性以及零点的概念. ‎ 解析:,则或,,又, ‎ 所以共有6个解.选C. ‎ 解析:A.在上是增函数. ‎ 【答案】D ‎ ‎【解析】正确理解和推断可知①②错误,③④错误 ‎ ‎【考点定位】此题主要考查函数的概念、图像、性质,考查分析能力、推理能力、数形结合思想,转化化归思想. ‎ 【答案】C ‎ ‎【解析】A,B.D 均正确,C错误. ‎ ‎【考点定位】该题主要考查函数的概念、定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性,全面掌握很关键. ‎ 【解析】选 ‎ 与均满足:得:满足条件 ‎ 二、填空题 【答案】 ‎ ‎【命题意图】本试题主要考查了函数的图像及其性质,利用函数图像确定两函数的交点,从而确定参数的取值范围. ‎ ‎【解析】∵函数的图像直线恒过定点,且,,,∴,,,由图像可知. ‎ 解法二:【解析】函数,当时,,当时,,综上函数,做出函数的图象(蓝线),要使函数与有两个不同的交点,则直线必须在四边形区域ABCD内(和直线平行的直线除外,如图,则此时当直线经过,,综上实数的取值范围是且,即或. ‎ [答案]①③④ ‎ ‎[解析]若,根据 ‎ 当n=1时,x2=[]=3, 同理x3=, 故①对. ‎ 对于②③④可以采用特殊值列举法: ‎ 当a=1时,x1=1, x2=1, x3=1, xn=1, 此时②③④均对. ‎ 当a=2时,x1=2, x2=1, x3=1, xn=1, 此时②③④均对 ‎ 当a=3时,x1=3, x2=2, x3=1, x4=2xn=1, 此时③④均对 ‎ 综上,真命题有 ①③④ . ‎ ‎[点评]此题难度较大,不容易寻找其解题的切入点,特殊值列举是很有效的解决办法. ‎ [解析] 是奇函数,则,所以，。‎ [解析]令,则,由于底数,故↑ó↑, ‎ 由的图像知在区间[1,+¥)上是增函数时,a≤1. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 【答案】. ‎ ‎【考点】周期函数的性质. ‎ ‎【解析】∵是定义在上且周期为2的函数,∴,即①. ‎ 又∵,, ‎ ‎∴②. ‎ 联立①②,解得,.∴. ‎ 【答案】. ‎ ‎【考点】函数的定义域,二次根式和对数函数有意义的条件,解对数不等式. ‎ ‎【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件,得 ‎ ‎. ‎ 【解析】由定义运算“*”可知 ,画出该函数图象可知满足条件的取值范围是. ‎ ‎【答案】 ‎ ‎【考点定位】本题主要考查函数的零点,考查新定义新运算,考查创新能力. ‎ 【答案】 ‎ ‎【解析】根据,由于题目中第一个条件的限制,导致在是必须是,当时,,不能做到在时,,所以舍去,因此作为二次函数开口只能向下,故,且此时2个根为,为保证条件成立,只需,和大前提取交集结果为,又由于条件2的限制,可分析得出恒负,因此就需要在这个范围内有取得正数的可能,即应该比两个根中较小的来提大,当时,,解得交集为空,舍去.当时,两个根同为,也舍去,当时,,综上所述. ‎ ‎【考点定位】 本题考查学生函数的综合能力,涉及到二次函数的图像的开口,根的大小,涉及到指数函数的单调性,还涉及到简易逻辑中的“或”,还考查了分类讨论的思想. ‎ 三、解答题 [解](1)由,得. ‎ 由得 ‎ 因为,所以,. ‎ 由得 ‎ ‎(2)当xÎ[1,2]时,2-xÎ[0,1],因此 ‎ ‎ ‎ 由单调性可得. ‎ 因为,所以所求反函数是, ‎ 证明:(1) ‎ 其“相伴向量”, ‎ ‎(2)‎ ‎ ‎ 函数的“相伴向量”,则 ‎ ‎ ‎ ‎(3)的“相伴向量”,其中 ‎ 当时,取得最在值,故当 ‎ ‎ ‎ ‎, ‎ 为直线的斜率,由几何意义知,令,则 ‎ ‎ ‎ 当时,函数单调递减,∴; ‎ 当时,函数单调递减,∴. ‎ 综上所述,. ‎ 解:(1)设内环线列车运行的平均速度为千米/小时,由题意可知, ‎ 所以,要使内环线乘客最长候车时间为10分钟,列车的最小平均速度是‎20千米/小时. ‎ ‎(2)设内环线投入列列车运行,则外环线投入列列车运行,内、外环线乘客最长候车时间分别为分钟,则 ‎ 于是有 ‎ ‎ 又,所以,所以当内环线投入10列,外环线投入8列列车运行,内、外环线乘客最长候车时间之差不超过1分钟. ‎ 【答案】解:(1)在中,令,得. ‎ 由实际意义和题设条件知. ‎ ‎∴,当且仅当时取等号. ‎ ‎∴炮的最大射程是‎10千米. ‎ ‎(2)∵,∴炮弹可以击中目标等价于存在,使成立, ‎ 即关于的方程有正根. ‎ 由得. ‎ 此时,(不考虑另一根). ‎ ‎∴当不超过‎6千米时,炮弹可以击中目标. ‎ ‎【考点】函数、方程和基本不等式的应用. ‎ ‎【解析】(1)求炮的最大射程即求与轴的横坐标,求出后应用基本不等式求解. ‎ ‎(2)求炮弹击中目标时的横坐标的最大值,由一元二次方程根的判别式求解. ‎ 【解析】 ‎ 解:(Ⅰ)设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)分别为 ‎ 由题设有 ‎ ‎ ‎ 期中均为1到200之间的正整数. ‎ ‎(Ⅱ)完成订单任务的时间为其定义域为 ‎ 易知,为减函数,为增函数.注意到 ‎ 于是 ‎ ‎(1)当时, 此时 ‎ ‎, ‎ 由函数的单调性知,当时取得最小值,解得 ‎ ‎.由于 ‎ ‎. ‎ 故当时完成订单任务的时间最短,且最短时间为. ‎ ‎(2)当时, 由于为正整数,故,此时易知为增函数,则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎. ‎ 由函数的单调性知,当时取得最小值,解得.由于 ‎ 此时完成订单任务的最短时间大于. ‎ ‎(3)当时, 由于为正整数,故,此时由函数的单调性知, ‎ 当时取得最小值,解得.类似(1)的讨论.此时 ‎ 完成订单任务的最短时间为,大于. ‎