江苏省南京市2020届高三9月学情调研卷数学含附加题

江苏省南京市2020届高三9月学情调研卷数学含附加题

1 南京市 2020 届高三年级学情调研 数 学 2019.09 注意事项： 1．本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题~第 14 题）、解答题（第 15 题~第 20 题）两 部分．本试卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应 题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参考公式： 柱体的体积公式： V S h ，其中 S 为柱体的底面积， h 为柱体的高. 球的体积公式： 34 3VR ，其中 R 为球体的半径. 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置 上． 1. 函数  1fxx 的定义域为 . 【答案】  1,  【解析】被开方式大于等于 0 【点评】考查函数定义域的求解，该题属于基础题型. 2. 已知复数 z 满足 21zii ，其中 i 是虚数单位，则复数 z 的模为 . 【答案】 10 【解析】 zabi ， 2 1 3, 1 10z i i a b z         【点评】考查复数的运算，属于基础题型. 3. 某算法的流程图如图所示，则输出的 n 的值为 . 2 【答案】 4 【解析】 2,4;3,9;4,16npnpnp 【点评】考查流程图，属于基础题型. 4. 某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：  4 0 ,5 0 ，  5 0 ,6 0 ，  6 0 ,7 0 ，  7 0 ,8 0 ，  8 0 ,9 0 ，  9 0 ,1 0 0 ，则图中 x 的值为 . 【答案】 0.018 【解析】 0.1 (0.006 0.006 0.01 0.054 0.006) 0.018x   【点评】考查统计知识的基本运用，属于基础题型. 5. 有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自选择其中一个参加，且每位同学参加各个兴趣小组 的可能性相同，则这两位同学参加了不同的兴趣小组的概率为 . 【答案】 2 3 3 【解析】 3 2 2 3 3 3P  【点评】考查组合，属于基础题型. 6. 把一个底面半径为 3cm ，高为 4cm 的钢质实心圆柱熔化，然后铸成一个实心钢球（不计损 耗），则该钢球的半径为 cm . 【答案】 3 【解析】由圆柱和球的体积相等得： 23434 33 RR 【点评】考查圆柱和球的体积计算，属于基础题型. 新东方高中数学教研组 7. 在平面直角坐标系 x O y 中，若双曲线  22 2210,0xy abab 的一条准线与两条渐近线恰 能围成一个等边三角形，则该双曲线的离心率为 . 【答案】 23 3 【解析】由渐近线与准线的交点构成等边三角形，可得 2 2 3tan30 3 ba bac a a c    ，得 2 2 231 3 be a 【点评】考查双曲线的离心率计算，属于基础题型. 8. 若函数  2sin 06fxx   的最小正周期为  ，则当 0, 2x  时，  fx的值域 为 . 【答案】   1,2 【解析】由周期为 ，得 2  ，则  2sin2 6fxx  ， 0, 2x  时，    1,2fx 【点评】考查三角函数的图像和性质，属于基础题型. 9. 若锐角  满足 tan3tan14  ，则 tan 2 的值为 . 【答案】 3 4 【解析】由题意化简得： tan3tan10∴ 1tan0tan 3或 ∵ 为锐角 ∴ 1tan 3  ∴ 3tan 2 4  4 【点评】考查三角函数中 t a n 的和差以及二倍角公式，该题属于基础题型. 10. 已知函数   1 xfx x  ，则不等式    3 2 0f x f x   的解集为 . 【答案】 1x  【解析】由题意得  fx为奇函数，通过分离常数法得  fx是 R 上的增函数 转换可得    32f x f x   ，即 32xx   ， 1x  【点评】考查通过函数的奇偶性和单调性解决不等式的问题，新东方高中数学教研组 11. 等差数列   na 的前 n 项和记为 nS ，已知 147 258=99 93aaaaaa ， ，若存在正整 数 k ，使得对任意 *nN ，都有 nkSS 恒成立，则 k 的值为__________ 【答案】 20 【解析】由等差数列，可得 43 9 9a  ，∴ 4 33a  ， 53 9 3a  ，∴ 5 31a  ，∴ 2d  ， 1 39a  ， 2 40nSnn  ， nS 最大值为 20S ，所以 20k  . 【点评】此题考查的是对等差数列求 n 项和的表达式配方求最值的题型，该题属于基础题 型. 12. 在 ABC 中，点 P 是边 AB 的中点，已知 24,3, 3CACPACB  ，则CP CA uuur uuur 的值 为____________ 【答案】 6 【解析】∵ 1 2CPCACB uuuruuuruuur ∴ 2 2 2111 cos442CPCACBCA CBACB uuuruuuruuuruuur uuur ∴ 21344CB CB   uuur uuur ，解得 2CB  uuur ∴ 21 1 1 1 1 1 116 4 2 62 2 2 2 2 2 2CP CA CA CB CA CA CA CB                        uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 【点评】向量的数量积，考察向量的中点公式和模长；另外还可通过建系去做. 难度适中. 13. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆    22: 2 4M x a y a    ，圆 5  22:214Nxy  ，若圆 M 上存在一点 P ，使得以点 P 为圆心，1 为半径的圆与圆 N 有公共点，则实数 a 的取值范围为___________ 【答案】   2 ,2 【解析】设   ,P x y ，因为以 P 为圆心，半径为 1 的圆与圆 N 有公共点 所以  221213 xy ，又 P 在圆 M 可得：    222 2 1 5aa    ，可得：  2,2a 【点评】圆的存在性问题，考察圆与圆的位置关系. 难度适中，新东方高中数学教研组 14. 已知函数  32 2 211,0 31, 1 ,04 xx fxxxgx xxx    ，若函数有  y g f x a有 6 个 零点（互不相同），则实数 a 的取值范围为____________ 【答案】 3 ,24   【解析】新东方高中数学教研组，作出  fx与  gx的图像， 由题知，   g f x a 有 6 个解，令  f x t  ， ①当 0a  时，  g t a  只有一个解，且 4t  ，对应  f x t  只有一个解，舍去； ②当 30 4a时，  g t a  有两个个解，且 224 3, 1 0tt       ，结合图像可知  f x t  没有 6 个解，舍去； ③当 3 24 a时，  g t a  有两个不同的解，且 12,3,1tt ，结合图像可知  f x t  有 6 个解； ④当 2a  时， gta  有一个解，且 1t  ，  f x t 只有一解，舍去. 综上得 a 的取值范围是 3 ,24   6 【点评】本题主要考查根的个数，利用换元法转化为两个函数的焦点问题个数问题，利用 分类讨论和数形结合时解决本题的关键，综合性较大. 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．解答题写出必要的文字说明，证明过程或演算 步骤，请把答案填写在答题卡相应位置上． 15.（本小题满分 14 分） 已知 ABC 的内角 ,,A B C 所对的边分别为 ,,abc，且 sin 22sinaBbA  （1）求 B 的大小； （2）若 5cos 5C  ，求  sin AC 的值. 【解析】（1） sin 22sinaBbA  由正弦定理得：sinsin22sinsinABBA  2sinsincos2sinsinABBAB sin 0,sin 0ABQ 2cos 2B 0 B Q 4B  （2） 5cos ,05CC  Q 25sin 5C ABC Q ABC   3 10sin sin sin cos cosBsinC 10A B C B C      7  10coscossinsincoscos 10ABCBCBC   2sinsincosCcosAsinC 10ACA 【点评】本题主要考察了解三角形及三角恒等变换的应用。第一问主要考察了利用正弦定 理对三角形进行边角互化，第二问主要考察了和差角的恒等变换，本题作为解答题的第一 题，难度较低。 16. （本小题满分 14 分） 如图，在三棱柱 111A B C A B C 中， A C B C ， ,EF分别为 11,A B A B 的中点. （1）求证： AF∥ 平面 1B C E ； （2）若 1 1 1A B B C ，求证：平面 1B CE  平面 ABC . 【解析】（1）Q 三棱柱 111ABCA B C .  侧面 11A B B A 为平行四边形  11ABAB∥ 又 Q EF、 为 11ABAB、 中点  1AEBF∥ 四边形 1A E B F 为平行四边形  1AEBF∥  1AF B E∥ 又 Q AF 平面 1B CE , 1BE 平面 1B CE  AF∥平面 1B CE （2）Q 1 1 1B C A B , 11ABA B∥  1AB B C Q AC BC , E 为 AB 中点 8  A B C E 又 Q 1A B B C 1,C E B C  平面 1B C E 1B C CE CI  AB  平面 1B C E 又 Q AB  平面 ABC  平面 1B C E 平面 ABC 【点评】本题主要考查立体几何当中线面平行的证明以及面面垂直的证明。第一问难度比 较低，直接通过平行四边形得到线线平行来证线面平行；第二问则是用线线垂直来推出线 面垂直，从而得到最终要求的面面垂直。本体的难度适中，需要学生对立体几何部分的平 行以及垂直判定定理比较熟悉。新东方高中数学教研组 17. （本小题满分 14 分） 随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利. 根据大数据统计，某条地铁线 路运行时，发车时间间隔 t （单位：分钟）满足： 415,ttN ，平均每趟地铁的载客人 数  pt （单位：人）与发车时间间隔 t 近似地满足下列函数关系：   2 49,180015 9, 915,1800, ttpt t     其中 tN （1）若平均每趟地铁的载客人数不超过 1500 人，试求发车时间间隔t 的值； （2）若平均每趟地铁每分钟的净收益为 67920 100ptQ t （单位：元），问当发车时间 间隔 t 为多少时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大？并求出最大净收益. 【解析】（1）当9 15t 时，  1800pt  超过1500 ，所以不行 当    24 9, 1800 15 9t p t t     ，载客数不超过1500 ，即  2180015 91500t ， 当 9205t  ，因为 49, ttN ，所以 4t  （2）当 49t    2 26 1800-15 9- 7920 10800 90 9 7920100 100 t tQ tt        44101520 90tt    9 4410 901260,tt  当 4410 9 0 , 7ttt ，此时 max 260Q  当 9 1 5t ， 6180079202880 100100Q tt   ，单调递减，所以当 max9 , 2 2 0tQ 答：发车时间为 7 分钟时，受益最大为 260 元 【点评】本题考的是函数型应用题。第一问除了考察一元二次不等式之外还要注意 t 的取 值范围才能得出正确答案；第二问要分段讨论，考察基本不等式和观察法判断函数单调 性，总体难度偏低。 18. （本小题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系 x O y 中，椭圆   22 2210xy abab 的左、右顶点分别为 ,AB,点 ,32 a e  和   ,3be都在椭圆上，其中 e 为椭圆的离心率. （1）求椭圆的标准方程； （2）设点 C 是椭圆上异于左、右顶点的任一点，线段 BC 的垂直平分线与直线 BCAC， 分 别交于点 ,PQ，求证： O B P Q uuur uuur 为定值. 【解析】 （1） 2 2 2 22 2 22 22 94 4+1 33 1 a e aab bbe ab          椭圆的标准方程为 22 143 xy （2）     00 00 2, , 2,0 , ,22 xyC x y B P   10   0 0 00 0 0 0 0 :22 22: 22 :22 BC PQ AC ylyx x yxxly xy ylyx x          0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 00 0 22 22 2422 2 222 y x xyxy y x x yxxx y yyyxx                 2 00 22 00 22 24 xyx xy    2 0 0 0 22 00 22 22,0, ,2 42 QP xyxOBPQ yyxy   uuuruuur 2 0 22 00 22 4 yOBPQ xy   uuuruuur CQ 在椭圆上 2 2 2 20 0 0 0 2 0 2 0 1 1 44 3 3 22 121 3 x y yx yOB PQ y               uuur uuur 【点评】考察直线与椭圆综合问题，第一问利用点在椭圆上，将点坐标代入椭圆方程求 解；第二问考查定值问题，设出点坐标，将所求定值的表达式写出，化简求值，难度一 般，思路较为清晰，但计算量较大。 19. （本小题满分 16 分） 已知函数   22ln, ,.f xxaxbx a bR （1）若曲线 ()yfx 在 1x  处的切线为 23yx，求实数 ,ab的值； （2）若 0a  ，且 ()2fx 对一切正实数 x 恒成立，求实数b 的取值范围； （3）若 4b  ，求函数  fx的单调区间. 【解析】（1）   2'2f x ax bx   11 由题意可得：     '1222 11 fab fab   解得： 1, 2ab （2）当 0a  时，   2l nf x x b x，   2fx 对一切正实数 x 恒成立，即 2l n 2xb x  对一切正实数 x 恒成立. 设   2l n 2xgx x  ，   2 2l n xgx x   令   0gx  ，可得 01x； 令   0gx  ，可得 1x  ， 即  gx在  0 ,1 上单调递增，  1,  上单调递减， 所以 max 12gxg  所以 2b  （3）当 4b  时， 2()2ln4fxxaxx ， 22242'()24 axxfxax xx  令 2()21gxaxx 1o 当 0a  时， ()21gxx   ，在 1(0 , )2 上， ( ) 0gx  ， '()0fx ， ()fx单调递增； 在 1( , )2  上， ()0,'()0,()gxfxfx单调递减 2 o 当 0a  时， 44a ① 0 时，解得 1a  ， 若 0a  ，令 ( ) 0gx ，解得 11ax a  或 11ax a  （舍） 在 11(0, )a a 上， ( ) 0gx ， '( ) 0fx ， ()fx单调递增； 在 11(,) a a  上， ()0gx ， '()0fx ， ()fx单调递减 若 01a， 在 11(0, )a a 和 11( , )a a  上， ( ) 0gx ， '( ) 0fx ， ()fx单调递增； 12 在 1111()aa aa  ， 上， ( ) 0gx  ， ' ( ) 0fx ， ()fx单调递减 ② 0 ， 1a  ，在 (0 , ) 上， ( ) 0gx  ， ' ( ) 0fx ， ()fx单调递增. 综上所述， 当 0a  时， ()fx单调增区间为 11(0 , ) a a  ， ()fx单调减区间为 11( , ) a a  ； 当 0a  时， ()fx单调增区间为 1(0 , )2 ， ()fx单调减区间为 1( , )2  ； 当 01a时， ()fx单调增区间为 11(0 , ) a a  和 11( , ) a a  ， ()fx单调减区间为 1111()aa aa  ， ； 当 1a  时， ()fx单调增区间为 (0 , ) ，无减区间 【点评】第一问考察切线方程，根据函数值和导数值列出方程组求解即可，较为基础；第 二问恒成立问题既可以通过分离参数法求解，也可以通过整体构造函数进行求解，较为简 单；第三问属于含参的分类讨论问题，题型常规，难度适中。 20. （本小题满分 16 分） 已知数列   na 的首项 1 2a  ，前 n 项和为 nS ，且数列 nS n  是以 1 2 为公差的等差数列. （1）求数列   na 的通项公式； （2）设 2,n nnb a n N，数列  nb 的前 n 项和为 nT ， ①证：数列 nT n  为等比数列； ②若存在整数 ,1mnmn ，使得   mm nn mST TnS     ，其中  为常数，且 2  ，求 的所 有可能值. 【解析】 （1） 21 13132 (1) 2 2222 n n S nnSnnn       1 1( 2)n n na S S n n     ， 1n  时也适合，所以 1nan. （2） ( 1)2n nbn ， 122 2 3 2 ( 1) 2n nTn       L 13 23 122232(1)2 n nTn L 错位相减得 2 3 14 2 2 2 ( 1)2nn nTn       L 化简得 12 n nTn  . 1 1 2 n n T n T n    ，所以 {}nT n 是以 4 为首项，公比为 2 的等比数列. （3） () () mm nn T m S T n S     11 (3)(3) 22 22mn mmnn    ，令 1 (3) 2() (2)2n nn fn n      2 2 22 (1)(4) 32 22 22(1)() 22nn nn nnnn fnfn        ，令 2 () 222 nngn  易知 ()gn 在 (2 , ) 单调减， ()(3)420gng    ，所以对于 3n  ， ( 1 ) ( )f n f n 所以要存在两个函数值相等必须 (2)101g  ， ①若 1  ， (3)(2)0ff此时 2 3 n m    . ②若 1  ，则 (2) (3) (4) (5)f f f f   L 所以必须使 2n  ， 2 25 226 23 22680(4)42 m m m mm mmm       2()3 22680(4)mh mmmm ， (4 ) 0h  ， (1)()0hmhm 所以只有唯一根 4，此时 2 24 n m      综上： 1,2  【点评】新东方高中数学教研组，前两问这次相对比较友好，第一问比起之前的递推简单 很多，第二问错位相减也是一轮数列常用的方法，第三问存在性问题需要转化到单调性控 制范围. 14 南京市 2019 届高三年级第一次模拟考试 数学附加题 2019.09 注意事项： 1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共 40 分，考试时间 30 分钟． 3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对 应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 21．【选做题】在 A、B、C 三小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分．请在答卷 卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. 选修 4-2：矩阵与变换 已知二阶矩阵 23A 21   . （1）求 1A ； （2）若曲线 C 在矩阵 A 对应的变换作用下得到曲线 '22:31,Cxy 求曲线 C 的方程. 【答案】（1） 1 13 44 11 22 A     ；（ 2） C 的方程为 226 8 1yx 【解析】 法一：设 1 abA cd    ，则 1 23232310 21 2201 abacbdAA cdacbd           ，即 1 4 2 3 1 3 2 3 0 4 20 1 221 1 2 a ac bbd ac c bd d           ，得 1 13 44 11 22 A     15 法二： 2640A  ， 1 13 44 11 22 A     （2） 2 3 2 3 2 1 2 x x y x xyyy                  ，设曲线 C 上一点 ( , )C x y ， ( , )C x y   ，则 2 2 2 2(2 3 ) 3(2 ) 1 6 8 1x y x y y x       【点评】考查矩阵的运算和方程的求解，该题属于基础题型。 B. 选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 x O y 中，直线 4,: 1 xtl y a t    ( t 为参数, a 为常数)曲线 2 c o s , s i n xC y      ： （  为参数）. 若曲线 C 上的点 P 到直线 l 的距离最大值为 3，求 a 的值. 【答案】 3a  【解析】由题意可得圆 C： 22(2)1xy 和直线 l : 440axy , 曲线 C 上的点 P 到直线 l 的距离的最大值为 3， 即圆心（2,0）到直线 l 的距离为 2 2 242 16 ad a   ，∴ 3a  【点评】考察极坐标参数方程的转化，直线与圆的位置关系以及点到直线的距离，难度较 小。 C．选修 4-5：不等式选讲 解不等式 2 2 | 1| 6.xx   22．（本小题满分 10 分） 如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是矩形， PA  平面 ABCD ， 2,,PAADE F 分别 为 ,PA AB 的中点，且 .DF CE （1）求 AB 的长； 16 （2）求直线 CF 与平面 D E F 所成角的正弦值. 【解析】（1） 22；（ 2） 2 42 21 （1）以 A 为原点， AB 为 x 轴， AD 为 y 轴， AP 为 z 轴，建立如图所示坐标系 设 A B x (0,2,0),(,0,0),(,2,0),(0,0,1)2 xDFCxE ( , 2,0),( , 2,1 , 0,2 22 22 xDFCExDFCEDF CExAB   uuur uuur uuur uuur Q）， ， （2） ( 2, 2,0), (0, 2,1), ( 2,0, 1)CF DE EF       uuur uuur uuur 设平面 DEF 的法向量为 (,,)nxyz r 0, 0, nDE nEF    ruuur ruuur 取 21,(1,,2) 2xn r 242cos, 21 CFnCF n CFn    uuurruuurr uuurr 2 42 21CFDEF直线与平面所成角的正弦值为 【点评】考察直线与平面所成的角及空间向量问题，可建立空间直角坐标系求解，难度适 中 23．（本小题满分 10 分） 已知集合  1,2,3,4A  和集合  1,2,3, ,Bn L ，其中 *5,n n N，从集合 A 中任取三个不 17 同的元素，其中最小的元素用 S 表示，从集合 B 中任取三个不同的元素，其中最大的元素 用 T 表示，记 X T S. （1）当 5n  ，求随机变量 X 的概率分布和数学期望  EX ； （2）求   3P X n  【解析】（1） S 的可能取值为 12, ； T 的可能取值为 3 4 5，，； 则 X 的可能取值为 12 ,3,4, ； 12 45 1 1 1( 1) 40PX CC    22 33 3333 4545 113(2) 20 CCPX CCCC 22 2 33 4 3332 4545 13(3) 8 CC CPX CCCC 2 2 3 4 33 45 9(4) 20 C CPX CC X 1 2 3 4 ()PX 1 40 3 20 3 8 9 20 1 3 3 9 13( ) 1 2 3 44 20 8 20 4EX          （2） S 的可能取值为 12, ； T 的可能取值为3 4, ,nL， ； 则 X 的可能取值为12,3,,1 n K, ； 则 X 取 3n  时，有 2 种情况 ① 1, 2S T n   ② 2, 1S T n   则 22 2 33 2 3333 44 13( 3)(2 7)(3) 2 ( 1)( 2) nn nn C CC nnP X n C CC Cn nn     【点评】第一问考察了随机变量的分布列和数学期望的求解问题，计算概率时需考虑全 面；第二问和第一问方法上类似，注意分析清楚两种情况，利用组合的方法列出公式求 解，展开组合公式计算得出结果，总体难度适中，符合前两年高考附加题命题风格。