数学理卷·2018届海南省海南中学高二上学期期末考试（2017-01）

数学理卷·2018届海南省海南中学高二上学期期末考试（2017-01）

‎2016-2017学年海南中学高二年级期末考试 理科数学（1-15班）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．设复数在复平面内的点关于实轴对称，，则（ ）‎ A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．‎ ‎2．已知函数的导函数是且，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．4‎ ‎3．用反证法证明命题“已知，，，则中至少有一个不小于0”假设正确是（ ）‎ ‎ A.假设都不大于0 B.假设至多有一个大于0 ‎ ‎ C.假设都大于0 D.假设都小于0‎ ‎4．下面几种推理中是演绎推理的为(　　)‎ A．高二年级有21个班，1班51人，2班53人，三班52人，由此推测各班都超过50人 B．猜想数列，，，…的通项公式为an＝(n∈N＋)‎ C．半径为r的圆的面积S＝πr2，则单位圆的面积S＝π D．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质 ‎5．求曲线与所围成封闭图形的面积，其中正确的是（ ）‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎6．设a，b为实数，则“ab＞1”是“b＞”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7．观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，‎ ‎13＋23＋33＋43＋53＋63＝(　　)‎ A．192 B．202 C．212 D．222‎ ‎8．已知函数有极大值和极小值，则实数 的取值范围是( ) ‎ A． B． C．或 D．或 ‎9．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为(　　)‎ A. B．2 C．3 D．2‎ ‎10．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2.则f(x)>2x＋4的解集为(　　)‎ A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)‎ ‎11．设函数，若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数f（x）=（e为自然对数的底数），函数g（x）满足 g′（x）=f′（x）+2f（x），其中f′（x），g′（x）分别为函数f（x）和g（x）的导函数，若函数g（x）在[﹣1，1]上是单调函数，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．a≤1 B．﹣≤a≤1 C．a＞1 D．a≥﹣‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分.）‎ ‎13．复数（为虚数单位），则______．‎ ‎14．用数学归纳法证明：时,从“到”左边需增加的代数式是__________.‎ ‎15．内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为 ‎ ‎16．对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”‎ ‎，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。给定函数，请你根据上面探究结果，计算 ‎ 三.解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．(本小题满分10分)‎ 已知函数f(x)＝ax2＋bx＋4ln x的极值点为1和2．‎ ‎(1)求实数a，b的值；‎ ‎(2)求函数f(x)在定义域上的极大值、极小值 ‎18．(本小题满分12分)‎ 设函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2.‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ 如图6，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，‎ BC＝2AB＝2AD＝4BE，平面PAB⊥平面ABCD.‎ ‎ (1)求证：直线ED⊥平面PAC；‎ ‎(2)若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，‎ 求二面角A—PC—D的余弦值．‎ ‎20. (本小题满分12分)‎ 已知曲线C上的动点P(x,y)满足到点F(0,1)的距离比到直线l:y=-2的距离小1.‎ ‎(1)求曲线C的方程.‎ ‎(2)动点E在直线l上,过点E分别作曲线C的切线EA,EB,切点为A,B.直线AB是否恒过定点,若是,求出定点坐标,若不是,请说明理由.‎ ‎21．(本小题满分12分)‎ 已知函数f(x)＝x2－mlnx，h(x)＝x2－x＋a.‎ ‎(1)当a＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；‎ ‎(2)当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎22．(本小题满分12分)‎ 设函数f(x)＝xex.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间与极值；‎ ‎(2)是否存在实数a，使得对任意的x1、x2∈(a，＋∞)，当x1＜x2时恒有＞成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎2016-2017学年海南中学高二年级期末考试 理科数学（1-15班）参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ 题 号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答 案 B D D C A D C C A B A B 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分.）‎ ‎13、5 14、 15、R和R 16、2016‎ 三.解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．(10分)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋4ln x的极值点为1和2．‎ ‎(1)求实数a，b的值；‎ ‎(2)求函数f(x)在定义域上的极大值、极小值 解：（1）f′(x)＝2ax＋b＋＝，x∈(0，＋∞)，‎ 由y＝f(x)的极值点为1和2，‎ ‎∴2ax2＋bx＋4＝0的两根为1和2，‎ ‎∴解得 ‎（2）由(1)得f(x)＝x2－6x＋4ln x，‎ ‎∴f′(x)＝2x－6＋‎ ‎＝，x∈(0,+ )．‎ 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(0,1)‎ ‎1‎ ‎(1,2)‎ ‎2‎ ‎(2,+)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ 单调递增 ‎－5‎ 单调递减 ‎4ln 2－8‎ 单调递增 极大值f(1)＝－5，极小值f(2)＝4ln 2－8，‎ ‎18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2.‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．‎ ‎【解】　易知f(x)的定义域为.‎ ‎(1)f′(x)＝＋2x＝ ‎＝.‎ 当－0；‎ 当－1－时，f′(x)>0，‎ 从而f(x)在区间，上单调递增，在区间上单调递减．‎ ‎(2)由(1)知f(x)在区间上的最小值为f＝ln 2＋.‎ 又因为，所以为最大值 ‎19. (本小题满分12分)如图6，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC＝2AB＝2AD＝4BE，平面PAB⊥平面ABCD.‎ ‎ (1)求证：直线ED⊥平面PAC；‎ ‎(2)若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求二面角 A—PC—D的余弦值．‎ ‎【解】　(1)证明：∵平面PAB⊥平面ABCD，‎ 平面PAB∩平面ABCD＝AB，‎ AB⊥PA，‎ ‎∴PA⊥平面ABCD，‎ 又∵AB⊥AD，故可建立空间直角坐标系Oxyz如图所示，‎ 不妨设BC＝4，AP＝λ(λ>0)，‎ 则有D(0,2,0)，E(2,1,0)，C(2,4,0)，P(0,0，λ)，‎ ‎∴＝(2,4,0)，＝(0,0，λ)，＝(2，－1,0)，‎ ‎∴·＝4－4＋0＝0，‎ ‎·＝0，‎ ‎∴DE⊥AC，DE⊥AP且AC∩AP＝A，‎ ‎∴DE⊥平面PAC.‎ ‎ (2)由(1)知，平面PAC的一个法向量是＝(2，－1，0)，＝(2,1，－λ)，‎ 设直线PE与平面PAC所成的角为θ， ‎ ‎∴sin θ＝|cos〈，〉|＝＝，解得λ＝±2.‎ ‎∵λ>0，∴λ＝2，即P(0,0,2)，‎ 设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，＝(2,2,0)，＝(0，－2,2)，‎ 由n⊥，n⊥，‎ ‎∴不妨令x＝1，则n＝(1，－1，－1)．‎ ‎∴cos〈n，〉＝＝，‎ 显然二面角A—PC—D的平面角是锐角，‎ ‎∴二面角A—PC—D的余弦值为.‎ ‎20. (本小题满分12分)已知曲线C上的动点P(x,y)满足到点F(0,1)的距离比到直线l:y=-2的距离小1.‎ ‎(1)求曲线C的方程.‎ ‎(2)动点E在直线l上,过点E分别作曲线C的切线EA,EB,切点为A,B.直线AB是否恒过定点,若是,求出定点坐标,若不是,请说明理由.‎ ‎【解析】(1)因为动点P(x,y)满足到点F(0,1)的距离比到直线l ‎:y=-2的距离小1,所以动点P(x,y)满足到点F(0,1)的距离与直线l′:y=-1的距离相等.‎ 所以曲线C是以F(0,1)为焦点,y=-1为准线的抛物线,所以曲线C的方程是:x2=4y.‎ ‎(2)(方法一)设E(a,-2),切点为,由x2=4y得y=,所以y′=,所以=,解得:x0=a±,所以A,‎ B,化简直线AB方程得:‎ y-2=x,所以直线AB恒过定点(0,2).‎ ‎（2）方法（二）设E(a,-2)‎ 过A点的切线方程为 因为切线过点E（a,-2）代入切线得：整理得 是方程两根 所以AB的中点为 所以直线AB的方程为化简得 所以 直线AB过定点（0，2）‎ ‎21．(本小题满分12分)‎ 已知函数f(x)＝x2－mlnx，h(x)＝x2－x＋a.‎ ‎(1)当a＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；‎ ‎(2)当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．‎ 解析：(1)由f(x)≥h(x)，得m≤在(1，＋∞)上恒成立．‎ 令g(x)＝，则g′(x)＝，‎ 当x∈(1，e)时，g′(x)＜0；‎ 当x∈(e，＋∞)时，g′(x)＞0，‎ 所以g(x)在(1，e)上递减，在(e，＋∞)上递增．‎ 故当x＝e时，g(x)的最小值为g(e)＝e.‎ 所以m≤e.‎ 即m的取值范围是(－∞，e]．‎ ‎(2)由已知可得k(x)＝x－2lnx－a.‎ 函数k(x)在(1,3)上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x)＝x－2lnx与直线y＝a有两个不同的交点．‎ φ′(x)＝1－＝，‎ 当x∈(1,2)时，φ′(x)＜0，φ(x)递减，‎ 当x∈(2,3)时，φ′(x)＞0，φ(x)递增．‎ 又φ(1)＝1，φ(2)＝2－2ln2，φ(3)＝3－2ln3，‎ 要使直线y＝a与函数φ(x)＝x－2lnx有两个交点，则2－2ln2＜a＜3－2ln3.‎ 即实数a的取值范围是(2－2ln2,3－2ln3)．‎ ‎ ‎ ‎22．(本小题满分12分)设函数f(x)＝xex.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间与极值；‎ ‎(2)是否存在实数a，使得对任意的x1、x2∈(a，＋∞)，当x1＜x2时恒有＞成立？‎ 若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎6、解：(1)f′(x)＝(1＋x)ex.令f′(x)＝0，得x＝－1.‎ f′(x)，f(x)随x的变化情况如下：‎ x ‎(－∞，－1)‎ ‎－1‎ ‎(－1，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎∴f(x)的单调递减区间是(－∞，－1)，单调递增区间是(－1，＋∞)；‎ f(x)极小值＝f(－1)＝－.‎ ‎(2)设g(x)＝，由题意，对任意的x1、x2∈(a，＋∞)，当x1＜x2时恒有g(x2)＞g(x1)，即y＝g(x)在(a，＋∞)上是单调递增函数．‎ 又g′(x)＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝，‎ ‎∴∀x∈(a，＋∞)，g′(x)≥0.‎ ‎ 令h(x)＝x2ex－axex－aex＋aea，‎ h′(x)＝2xex＋x2ex－a(1＋x)ex－aex ‎＝x(x＋2)ex－a(x＋2)ex ‎＝(x＋2)(x－a)ex.‎ 若a≥－2，当x＞a时，h′(x)＞0，h(x)为(a，＋∞)上的单调递增函数，‎ ‎∴h(x)＞h(a)＝0，不等式成立．‎ 若a＜－2，当x∈(a，－2)时，h′(x)＜0，h(x)为(a，－2)上的单调递减函数，‎ ‎∴∃x0∈(a，－2)，h(x0)＜h(a)＝0，与∀x∈(a，＋∞)，h(x)≥0矛盾．‎ 综上，a的取值范围为[－2，＋∞)．‎