【数学】2018届一轮复习人教A版 双曲线 学案
第6讲 双曲线
最新考纲 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).
知 识 梳 理
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)，则点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：
(1)若a
c时，则集合P为空集.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
图 形
性 质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( )
(2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( )
(3)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( )
(4)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.( )
(5)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( )
解析 (1)因为||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|，表示的轨迹为两条射线.
(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.
(3)当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y轴上的双曲线.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
2.(2016·全国Ⅰ卷)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )
A.(－1，3) B.(－1，)
C.(0，3) D.(0，)
解析 ∵方程－＝1表示双曲线，∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m20，b>0)，则a＝＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－3＝1，故双曲线方程为－y2＝1，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝.
答案 y＝±x
考点一 双曲线的定义及其应用
【例1】 (1)(2017·杭州模拟)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以B为直角顶点的等腰直角三角形，则e2＝( )
A.1＋2 B.4－2
C.5－2 D.3＋2
(2)(2015·全国Ⅰ卷)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C左支上一点，A(0，6)，当△APF周长最小时，该三角形的面积为________.
解析 (1)如图所示，因为|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，|BF1|＝|AF2|＋|BF2|，所以|AF2|＝2a，|AF1|＝4a.
所以|BF1|＝2a，所以|BF2|＝2a－2a.
因为|F1F2|2＝|BF1|2＋|BF2|2，
所以(2c)2＝(2a)2＋(2a－2a)2，
所以e2＝5－2.
(2)设左焦点为F1，|PF|－|PF1|＝2a＝2，
∴|PF|＝2＋|PF1|，△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2＋|PF1|，△APF周长最小即为|AP|＋|PF1|最小，当A，P，F1在一条直线时最小，过AF1的直线方程为＋＝1.与x2－＝1联立，解得P点坐标为(－2，2)，此时S＝S△AF1F－S△F1PF＝12.
答案 (1)C (2)12
规律方法 “焦点三角形”中常用到的知识点及技巧
(1)常用知识点：在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用.
(2)技巧：经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1||PF2|的联系.
提醒 利用双曲线的定义解决问题，要注意三点
①距离之差的绝对值.②2a＜|F1F2|.③焦点所在坐标轴的位置.
【训练1】 (1)如果双曲线－＝1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点P到它的左焦点的距离是( )
A.4 B.12
C.4或12 D.不确定
(2)(2016·九江模拟)已知点P为双曲线－＝1右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心，若S△PMF1＝S△PMF2＋8，则△MF1F2的面积为( )
A.2 B.10 C.8 D.6
解析 (1)由双曲线方程，得a＝2，c＝4.设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，根据双曲线的定义|PF1|－|PF2|＝±2a，
∴|PF1|＝|PF2|±2a＝8±4，∴|PF1|＝12或|PF1|＝4.
(2)设内切圆的半径为R，a＝4，b＝3，c＝5，
因为S△PMF1＝S△PMF2＋8，
所以(|PF1|－|PF2|)R＝8，
即aR＝8，所以R＝2，
所以S△MF1F2＝·2c·R＝10.
答案 (1)C (2)B
考点二 双曲线的标准方程及性质(多维探究)
命题角度一 与双曲线有关的范围问题
【例2－1】 (2015·全国Ⅰ卷)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则y0的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析 因为F1(－，0)，F2(，0)，－y＝1，
所以·＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝x＋y－3＜0，即3y－1＜0，解得－＜y0＜.
答案 A
命题角度二 与双曲线的离心率、渐近线相关的问题
【例2－2】 (1)(2016·全国Ⅱ卷)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为( )
A. B. C. D.2
(2)(2016·天津卷)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为( )
A.－y2＝1 B.x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析 (1)设F1(－c，0)，将x＝－c代入双曲线方程，
得－＝1，所以＝－1＝，
所以y＝±.因为sin∠MF2F1＝，所以
tan ∠MF2F1＝＝＝＝＝－＝－＝，所以e2－e－1＝0，所以e＝，故选A.
(2)由题意得c＝，＝，则a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1.
答案 (1)A (2)A
规律方法 与双曲线有关的范围问题的解题思路
(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.
(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.
【训练2】 (1)(2017·慈溪调研)设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
(2)(2017·武汉模拟)已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为________.
解析 (1)因为有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，所以直线A1B1和A2B2关于x轴对称，并且直线A1B1和A2B2与x轴的夹角为30°，双曲线的渐近线与x轴的夹角大于30°且小于等于60°，否则不满足题意.可得＞tan 30°，即＞，＞，所以e＞.同样的，当≤tan 60°，即≤3时，≤3，即4a2≥c2，∴e2≤4，∵e＞1，所以1＜e≤2.
所以双曲线的离心率的范围是.
(2)由题可知A1(－1，0)，F2(2，0).设P(x，y)(x≥1)，
则＝(－1－x，－y)，＝(2－x，－y)，·＝(－1－x)(2－x)＋y2＝x2－x－2＋y2＝x2－x－2＋3(x2－1)＝4x2－x－5.
因为x≥1，函数f(x)＝4x2－x－5的图象的对称轴为x＝，所以当x＝1时，·取得最小值－2.
答案 (1)A (2)－2
考点三 双曲线的综合问题
【例3】 (1)已知椭圆＋＝1(a＞0)与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为( )
A. B. C.4 D.
(2)(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点.若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________.
解析 (1)因为椭圆＋＝1(a＞0)与双曲线－＝1有相同的焦点(±，0)，则有a2－9＝7，所以a＝4.
(2)设P(x，y)(x≥1)，因为直线x－y＋1＝0平行于渐近线x－y＝0，所以c的最大值为直线
x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0之间的距离，由两平行线间的距离公式知，该距离为＝.
答案 (1)C (2)
规律方法 解决与双曲线有关综合问题的方法
(1)解决双曲线与椭圆、圆、抛物线的综合问题时，要充分利用椭圆、圆、抛物线的几何性质得出变量间的关系，再结合双曲线的几何性质求解.
(2)解决直线与双曲线的综合问题，通常是联立直线方程与双曲线方程，消元求解一元二次方程即可，但一定要注意数形结合，结合图形注意取舍.
【训练3】 (2016·天津卷)已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析 由双曲线－＝1(b>0)知其渐近线方程为y＝±x，
又圆的方程为x2＋y2＝4，①
不妨设渐近线与圆在第一象限的交点为B，将y＝x代入方程①式，
可得点B.
由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为，，故＝2b，得b2＝12.
故双曲线的方程为－＝1.
答案 D
[思想方法]
1.与双曲线－＝1 (a>0，b>0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为－＝t (t≠0).
2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“
0”就得到两渐近线方程，即方程－＝0就是双曲线－＝1 (a>0，b>0)的两条渐近线方程.
[易错防范]
1.双曲线方程中c2＝a2＋b2，说明双曲线方程中c最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆.
2.求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，＋∞)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错.
3.双曲线－＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±x，－＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±x.
4.直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.
