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文档介绍
2018届二轮复习 空间中的平行与垂直关系学案(全国通用)
第9讲 空间中的平行与垂直关系 题型1 空间位置关系的判断与证明 (对应 生用书第30页) ■核心知识储备………………………………………………………………………· 1.直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理:a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α. (2)线面平行的性质定理:a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b. (3)面面平行的判定定理:a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥α⇒α∥β. (4)面面平行的性质定理:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b. 2.直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理:m⊂α,n⊂α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n⇒l⊥α. (2)线面垂直的性质定理:a⊥α,b⊥α⇒a∥b. (3)面面垂直的判定定理:a⊂β,a⊥α⇒α⊥β. (4)面面垂直的性质定理:α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β. ■典题试解寻法………………………………………………………………………· 【典题1】 (考查空间位置关系的判断)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则( ) A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥β C.α与β相交,且交线垂直于l D.α与β相交,且交线平行于l [解析] 根据所给的已知条件作图,如图所示. 由图可知α与β相交,且交线平行于l,故选D. [答案] D 【典题2】 (考查空间位置关系的证明)如图91,在三棱锥PABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点. 图91 (1)求证:PA⊥BD; (2)求证:平面BDE⊥平面PAC; (3)当PA∥平面BDE时,求三棱锥EBCD的体积. [思路分析] (1)通过证明PA⊥平面ABC得PA⊥BD; (2)通过证明BD⊥平面PAC得面面垂直; (3)由PA∥平面BDE,D为AC的中点得PA与DE的位置及数量关系,从而求出三棱锥的体积. [解] (1)证明:因为PA⊥AB,PA⊥BC,且AB∩BC=B,所以PA⊥平面ABC. 又因为BD⊂平面ABC,所以PA⊥BD. (2)证明:因为AB=BC,D为AC的中点,所以BD⊥AC. 由(1)知,PA⊥BD,且PA∩AC=A, 所以BD⊥平面PAC, 所以平面BDE⊥平面PAC. (3)因为PA∥平面BDE,平面PAC∩平面BDE=DE,所以PA∥DE. 因为D为AC的中点, 所以DE=PA=1,BD=DC=. 由(1)知,PA⊥平面ABC,所以DE⊥平面ABC, 所以三棱锥EBCD的体积V=BD·DC·DE=. [类题通法] 平行关系及垂直关系的转化 空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化,即通过判定定理、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化. ■对点即时训练………………………………………………………………………· 如图92所示,四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD=. 图92 (1)求证:平面PAB⊥平面PCD; (2)求三棱锥DPBC的体积. 【导 号:07804065】 [解] (1)法一:(几何法)因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, 又CD⊥AD,所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥PA. 因为PA=PD=AD,所以△PAD是等腰直角三角形,且∠APD=,即PA⊥PD. 又CD∩PD=D,所以PA⊥平面PCD. 又PA⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PCD. 法二:(向量法)取AD的中点O、BC的中点Q,连接OP,OQ,易知OQ⊥AD. 因为PA=PD,所以PO⊥AD, 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, 所以PO⊥平面ABCD. 建立如图所示的空间直角坐标系. 由PA=PD=AD=,知OP=1. 则O(0,0,0),A(1,0,0),B(1,2,0),Q(0,2,0),C(-1,2,0),D(-1,0,0),P(0,0,1). 设平面PCD的法向量为n=(x,y,z), 又=(0,2,0),=(1,0,1), 则 即 令x=1,则n=(1,0,-1). 同理,可求得平面PAB的一个法向量为m=(-1,0,-1), 又n·m=-1×1+0×0+(-1)×(-1)=0, 故平面PAB⊥平面PCD. (2)取AD的中点O,连接OP,如图. 因为PA=PD,所以PO⊥AD. 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, 所以PO⊥平面ABCD. 即PO为三棱锥PBCD的高, 由PA=PD=AD=,知OP=1. 因为底面ABCD是正方形,所以S△BCD=×2×2=2. 所以V三棱锥DPBC=V三棱锥PBCD=PO·S△BCD=×1×2=. ■题型强化集训………………………………………………………………………· (见专题限时集训T1、T3、T6、T7、T8、T9、T10、T12、T14) 题型2 平面图形的翻折问题 (对应 生用书第31页) ■核心知识储备………………………………………………………………………· 翻折问题的注意事项 (1)画好两图:翻折之前的平面图形与翻折之后形成的几何体的直观图. (2)把握关系:即比较翻折前后的图形,准确把握平面图形翻折前后的线线关系,哪些平行与垂直的关系不变,哪些平行与垂直的关系发生变化,这是准确把握几何体结构特征,进行空间线面关系逻辑推理的基础. (3)准确定量:即根据平面图形翻折的要求,把平面图形中的相关数量转化为空间几何体的数字特征,这是进行准确计算的基础. ■典题试解寻法………………………………………………………………………· 【典题】 (2016·全国Ⅱ卷)如图93,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF=,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置,OD′=. 图93 (1)证明:D′H⊥平面ABCD; (2)求二面角BD′AC的正弦值. [思路分析] (1)题设条件翻折,D′H⊥EFD′H⊥OH―→D′H⊥平面ABCD; (2)建系―→求法向量―→求二面角的余弦值―→求二面角的正弦值. [解] (1)证明:由已知得AC⊥BD,AD=CD. 又由AE=CF得=, 故AC∥EF. 因为EF⊥HD,从而EF⊥D′H. 由AB=5,AC=6得DO=BO==4. 由EF∥AC得==. 所以OH=1,D′H=DH=3. 于是D′H2+OH2=32+12=10=D′O2,故D′H⊥OH. 又D′H⊥EF,而OH∩EF=H,所以D′H⊥平面ABCD. (2)如图,以H为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系Hxyz,则H(0,0,0),A(-3,-1,0),B(0,-5,0),C(3,-1,0),D′(0,0,3), =(3,-4,0),=(6,0,0),=(3,1,3). 设m=(x1,y1,z1)是平面ABD′的法向量,则 即 所以可取m=(4,3,-5). 设n=(x2,y2,z2)是平面ACD′的法向量,则 即 所以可取n=(0,-3,1). 于是cos〈m,n〉===-. sin〈m,n〉=. 因此二面角BD′AC的正弦值是. [类题通法] 平面图形翻折问题的求解方法 (1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变和不变,一般情况下,线段的长度是不变量,而位置关系往往会发生变化,抓住不变量是解决问题的突破口. (2)在解决问题时,要综合考虑折叠前后的图形,既要分析折叠后的图形,也要分析折叠前的图形. ■对点即时训练………………………………………………………………………· 如图94(1),在四边形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=2AB=4,E,F分别在BC,AD上,EF∥AB,现将四边形ABEF沿EF折起,使平面ABEF⊥平面EFDC,如图94(2). 图94(1) 图94(2) (1)若BE=1,在折叠后的线段AD上是否存在一点P,且=λ,使得CP∥平面ABEF?若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由; (2)求三棱锥ACDF体积的最大值,并求此时二面角EACF的余弦值. 【导 号:07804066】 [解] 因为平面ABEF⊥平面EFDC,平面ABEF∩平面EFDC=EF,FD⊥EF, 所以FD⊥平面ABEF. 又AF⊂平面ABEF,所以FD⊥AF. 易知AF⊥EF,又FD∩EF=F, 所以AF⊥平面EFDC. (1)以F为坐标原点,FE,FD,FA所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则F(0,0,0),A(0,0,1),D(0,5,0),C(2,3,0). ∵=λ,∴=+=. ∴=. 若CP∥平面ABEF,则⊥,即·=0, 即=0,解得λ=. ∴AD上存在一点P,当=时,满足CP∥平面ABEF. (2)设BE=x,则AF=x(0<x≤4),所以三棱锥ACDF的体积 V=x××2(6-x)=x(6-x)≤×=3. ∴当x=3时,三棱锥ACDF的体积V有最大值,最大值为3.此时A(0,0,3),D(0,3,0),C(2,1,0),则=(0,0,3),=(2,1,0). 设平面ACE的法向量m=(x1,y1,z1),则 即 令x1=3,则m=(3,0,2). 设平面ACF的法向量n=(x2,y2,z2),则 即 令x2=1,则n=(1,-2,0). ∴cos〈m,n〉==, 则二面角EACF的余弦值为. ■题型强化集训………………………………………………………………………· (见专题限时集训T2、T4、T5、T11、T13) 三年真题| 验收复习效果 (对应 生用书第32页) 1.(2016·全国Ⅰ卷)平面α过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( ) 【导 号:07804067】 A. B. C. D. A [设平面CB1D1∩平面ABCD=m1. ∵平面α∥平面CB1D1,∴m1∥m. 又平面ABCD∥平面A1B1C1D1, 且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1, ∴B1D1∥m1.∴B1D1∥m. ∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1, 且平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1, 同理可证CD1∥n. 因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角. 在正方体ABCDA1B1C1D1中,△CB1D1是正三角形, 故直线B1D1与CD1所成角为60°,其正弦值为.] 2.(2017·全国Ⅱ卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. C [法一:(几何法)将直三棱柱ABCA1B1C1补形为直四棱柱ABCDA1B1C1D1,如图①所示,连接AD1,B1D1,BD. 图① 由题意知∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1, 所以AD1=BC1=,AB1=,∠DAB=60°. 在△ABD中,由余弦定理知BD2=22+12-2×2×1×cos 60°=3,所以BD=,所以B1D1=. 又AB1与AD1所成的角即为AB1与BC1所成的角θ, 所以cos θ===. 故选C. 法二:(向量法)以B1为坐标原点,B1C1所在的直线为x轴,垂直于B1C1的直线为y轴,BB1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系,如图②所示. 图② 由已知条件知B1(0,0,0),B(0,0,1),C1(1,0,0),A(-1,,1),则=(1,0,-1),=(1,-,-1). 所以cos〈,〉===. 所以异面直线AB1与BC1所成的角的余弦值为. 故选C.] 3.(2016·全国Ⅱ卷)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题: ①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β. ②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n. ③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β. ④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等. 其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号) ②③④ [对于①,α,β可以平行,也可以相交但不垂直,故错误. 对于②,由线面平行的性质定理知存在直线l⊂α,n∥l,又m⊥α,所以m⊥l,所以m⊥n,故正确. 对于③,因为α∥β,所以α,β没有公共点.又m⊂α,所以m,β没有公共点,由线面平行的定义可知m∥β,故正确. 对于④,因为m∥n,所以m与α所成的角和n与α所成的角相等.因为α∥β,所以n与α所成的角和n与β所成的角相等,所以m与α所成的角和n与β所成的角相等,故正确.] 4.(2017·全国Ⅲ卷)a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论: ①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角; ②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角; ③直线AB与a所成角的最小值为45°; ④直线AB与a所成角的最大值为60°. 其中正确的是________.(填写所有正确结论的编号) ②③ [依题意建立如图所示的空间直角坐标系.设等腰直角三角形ABC的直角边长为1. 由题意知点B在平面xOy中形成的轨迹是以C为圆心,1为半径的圆. 设直线a的方向向量为a=(0,1,0),直线b的方向向量为b=(1,0,0),以Ox轴为始边沿逆时针方向旋转的旋转角为θ,θ∈[0,2π),则B(cos θ,sin θ,0), ∴=(cos θ,sin θ,-1),||=. 设直线AB与a所成夹角为α, 则cos α==|sin θ|∈, ∴45°≤α≤90°,∴③正确,④错误. 设直线AB与b所成夹角为β, 则cos β==|cos θ|. 当直线AB与a的夹角为60°,即α=60°时, 则|sin θ|=cos α=cos 60°=, ∴|cos θ|=.∴cos β=|cos θ|=. ∵0°≤β≤90°,∴β=60°,即直线AB与b的夹角为60°. ∴②正确,①错误.] 5.(2015·全国Ⅰ卷)如图95,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC. 图95 (1)证明:平面AEC⊥平面AFC; (2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值. 【导 号:07804068】 [解] (1)证明:如图,连接BD,设BD∩AC=G,连接EG,FG,EF. 在菱形ABCD中,不妨设GB=1.由∠ABC=120°,可得AG=GC=. 由BE⊥平面ABCD,AB=BC,可知AE=EC. 又AE⊥EC,所以EG=,且EG⊥AC. 在Rt△EBG中,可得BE=,故DF=. 在Rt△FDG中,可得FG=. 在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE=,DF=,可得EF=. 从而EG2+FG2=EF2,所以EG⊥FG. 又AC∩FG=G,所以EG⊥平面AFC. 因为EG⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面AFC. (2)如图,以G为坐标原点,分别以,的方向为x轴,y轴正方向,||为单位长度,建立空间直角坐标系Gxyz. 由(1)可得A(0,-,0),E(1,0,),F,C(0,,0), 所以=(1,,),=. 故cos〈,〉==-. 所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.查看更多